大连市重点名校2018-2019学年高一下学期期末教学质量检测数学试题含解析

大连市重点名校2018-2019学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ) A ．sin(2)10
y x π
=-
B ．y =sin(2)5
x π
-
C ．y =1
sin()2
10
x π
- D ．1sin()2
20
y x π
=-
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin(x －10
π); 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
1sin()210
y x π
=-.故选C.
2．已知a R ∈且为常数,圆22:220C x x y ay ++-=,过圆C 内一点()1,2的直线l 与圆C 相交于,A B 两点,当弦AB 最短时,直线l 的方程为20x y -=,则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x ﹣y ＝0垂直，再由斜率的关系列式求解． 【详解】
圆C ：2
2
220x x y ay ++﹣
＝化简为2
2
2
11x y a a +++（）（﹣）＝，
圆心坐标为1C a （﹣，） 如图，
由题意可得，当弦AB 最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线20x
y ﹣＝垂直． 则
21
112
a -=---，即a ＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
3．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S 的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为
A 3π
B ．23π
C ．
16
3
π D ．4π
【答案】B 【解析】 【分析】
过该圆锥顶点S 的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积. 【详解】
过该圆锥顶点S 的截面三角形面积最直角三角形， 设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为,l r ， 则
2
122
l =，即2l =， 又cos303r l =⋅︒=
所以圆锥的侧面积1
2232
S r l ππ=⨯⨯=； 故选B. 【点睛】
本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式2
1=
sin 2S l θ，当2
πθ=，即截面是等腰直角三角时面积最大. 4．已知x 与y 之间的一组数据如表，若y 与x 的线性回归方程为ˆ2y bx
=-，则ˆb 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出样本中心点(,)x y ，代入回归直线方程，即可求得ˆb
的值，得到答案. 【详解】
由题意，根据表中的数据，可得01231357
1.5,444
x y ++++++=
===，
又由回归直线方程ˆ2y bx
=-过样本中心点(,)x y ， 所以ˆ4 1.52b
=⨯-，解得ˆ4b =， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了线性回归直线方程的应用，其中解答中熟记线性回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．下列叙述中，不能称为算法的是（ ） A ．植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤
B ．按顺序进行下列运算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100
C ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
D ．3x ＞x+1 【答案】D 【解析】 【分析】
利用算法的定义来分析判断各选项的正确与否，即可求解，得到答案.
由算法的定义可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步骤： 可得A 、B 、C 为算法，D 没有明确的规则和步骤，所以不是算法， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了算法的概念，其中解答的关键是理解算法的概念，由概念作出正确的判断，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．在△ABC 中，
AC=1，30B ︒∠=，△ABC
的面积为2
，则C ∠=（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．75°
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：
由三角形面积公式得，1||sin 302BC ︒⋅=,所以||2BC =．显然三角形为直角三角形，且90A ︒∠=，所以C 60︒∠=． 考点：解三角形．
7．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布35
31
尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列{}n a 中，公比2q ，前n 项和为n S ，55S =，35
31
m S =
，求m 的值． 因为()515
12512
a S -==-，解得1531a =，()5
1235311231
m m
S -==-，解得3m =．故选B ．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，已知,13
A a b π
===，则B =（ ）
A ．
3
π
B ．
6
π C ．
56
π D ．
6π或
56
π
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由已知知b a <，所以B ＜A=3π，由正弦定理sin sin a b A B
=得，sin sin b A B a =
1sin π⨯12，所以6B π=，故选B
考点：正弦定理
9
10y -+=的倾斜角的大小为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
10y -+=,
可知直线的斜率k =
设直线的倾斜角为α
，则tan α=， 又[0,180)α∈︒︒，所以60α=︒， 故选B ．
10．已知函数()sin()sin ((0,))2f x x x π
αααπ⎛⎫
=+++
-∈ ⎪⎝
⎭
的最大值是2，则α的值为（ ） A ．6
π B ．
4
π
C ．
3
π D ．
2
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，根据辅助角公式结合范围求最值取得的条件即可得解. 【详解】
由题函数()sin()sin 2f x x x π
αα⎛⎫=+++
- ⎪⎝
⎭
()sin()cos x x αα=++-
sin cos cos sin cos cos sin sin x x x x αααα=+++
()()cos sin sin cos sin cos x x αααα=+++
)
cos sin sin 4x παα⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，最大值是2，
所以cos sin αα+=，平方处理得：12cos sin 2αα+=， 所以sin21α=，(0,)απ∈，所以4
π
α=
. 故选：B 【点睛】
此题考查根据三角函数的最值求参数的取值，考查对三角恒等变换的综合应用.
11．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
【答案】A 【解析】
试题分析：结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论
解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件． 但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件． 故选A
考点：互斥事件与对立事件．
12．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且h =则2
c a b c c b b ++
的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦定理化简可得22
22cos c b a a A b c bc bc ++
=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得2
2cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】
由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，
故：222222
22cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc
+++++
===+， 而2
111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，
故2sin a A =，
所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π
++
=+=+=+． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题 13．已知7
cos ,(π,2π)25θθ=-∈ ，则sin cos 22
θθ+= __________． 【答案】
1
5
【解析】
π431(,π)sin ,cos ,sin cos 222525225
θ
θθθθ∈∴====-∴+=
14．已知点(,)M a b 在直线:3425l x y +=__________. 【答案】5 【解析】 【分析】
表示点(0,0)到点(,)a b 的距离，再利用点到直线的距离求解. 【详解】
表示点(0,0)到点(,)a b 的距离. 又∵点(,)M a b 在直线:3425l x y +=上， ∴
(0,0)到直线34250x y +-=的距离d ，
且
5d ==.
【点睛】
本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．函数f(x)＝cos 2
x
πcos
(1)
2
x π-的最小正周期为________．
【答案】2 【解析】 f(x)＝cos
2
x
πcos
(1)
2
x π-＝cos
2
x
π·sin
2
x
π＝
12
sinπx ，最小正周期为T ＝2π
π＝2
16．若三棱锥P ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，6PA PB PC ===,则
该三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】12π 【解析】 【分析】
由已知计算后知PAB ∆也是以AB 为斜边的直角三角形，这样AB 的中点D 到棱锥四个顶点的距离相等，即为外接球的球心，从而很容易得球的半径，计算出表面积． 【详解】
因为222PA PB AB +=，所以PAB ∆是等腰直角三角形，且AB 为斜边，D 为AB 的中点，
因为底面ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，所以3DA DB DC DP ====D 即为球心，则该三棱锥的外接圆半径3r =2
412S r ππ==表.
【点睛】
本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球，解题关键是找到外接球的球心，证明PAB ∆也是以AB 为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质是本题的关键．也是寻找外接球球心的一种方法． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．
()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；
()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名
同学数学成绩均在[
)105,115中的概率．
【答案】（1）123.6（2）2
3
【解析】 【分析】
⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；
⑵首先可通过分层抽样确定6人中在[)95105
，分数段以及[
)105115，分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在[
)105115
，中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果． 【详解】
⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：
()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；
⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，
则用分层抽样抽取6人中，分数在[
)95105
，有1人，用a 表示， 分数在[
)105115
，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示， 则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、
()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，
满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、
()45,b b ，共10个，
所以这两名同学分数均在[
)105115
，中的概率为102
153
P ==． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题． 18．已知数列{
}2
n
n a -为等差数列，且138,26a a ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【答案】 (1)26n
n a n =+；（2）123(1)2n n S n n +=++-.
【解析】
试题分析：(1)由于{
}2
n
n a -为等差数列，根据已知条件求出{}
2n n
a -的第一项和第三项求得数列
{}
2n n
a
-的公差，即得数列{
}
2n n a -的通项公式，移项可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知,通
过分组求和根据等差数列和等比数列的前n 项和公式求得{}n a 的前n 项和. 试题解析: （1）设数列{
}
2
n
n a -的公差为d ，∵3
1326,218a a -=-=，∴186
62
d -=
=， ∴266(1)6n n a n n -=+-=，∴26n
n a n =+．
（2）12
122(1)2226(12)623(1)2122
n n
n n n n S n n n ++-+=++
++++
+=+⨯=++--
考点：等差数列的通项公式及数列求和.
19．已知函数()()()()2
cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫
=+++<<
⎪⎝
⎭
.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）π；（2）12
x x k π
π⎧=-
+⎨⎩
或()4x k k Z π
π⎫
=
+∈⎬⎭
【解析】 【分析】
（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x π
ϕ⎛
⎫
=+
++ ⎪⎝
⎭
，再求周期即可； （2）由13f π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可. 【详解】
解：（1）()()()()2
cos 2cos
f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=
++++
2sin 2216x πϕ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
，
则()f x 的最小正周期为2T ππω==. （2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212
k k Z ππϕ=-∈. 因为02π
ϕ<<，所以12
π
ϕ=. 因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛
⎫+
+= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则2236x k ππ
π+=+或()52236x k k Z π
ππ+=
+∈， 解得12x k π
π=-+或()4x k k Z π
π=+∈.
故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧
=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭
. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.
20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,D E 分别是线段11,BB AC 的中点.
（1）求证：DE 平面ABC ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BB C C ，110BB =，求三棱锥A DCE -的体积.
【答案】（1）见解析（2）
2033 【解析】
【分析】
（1）取AC 中点为H ，连接,HE BH ，由中位线定理证得//,HE BD HE BD =，即证得平行四边形EHBD ，于是有//DE BH ，这样就证得线面平行；
（2）由等体积法变换后111122
A DCE E ACD C ACD A CDC V V V V ----==
=可计算． 【详解】 证明：（1）取AC 中点为H ，连接,HE BH ，
111111,,,,22
BD CC BD CC HE CC HE CC HEDB ∴==∴∥∥是平行四边形， ,HB DE HB ∴⊂∥平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴DE 平面ABC
解：（2）E 是线段1AC 中点，则
1111111104222323
A DCE E ACD C ACD A CDC V V V V ----===⨯=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】
本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积．线面平行的证明关键是找到线线平行，而棱锥的体积常常用等积变换，转化顶点与底．
21．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值. 【答案】 (1) 2T π=；(2)2a =-或6a =
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x 通过换元的
方式变为21112
y t at a =-+-
-，1t ≤≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.
【详解】 （1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ ()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=
∴最小正周期2T π=
（2）()1sin2sin cos 12
g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-
2
2221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭
sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 由42x π
π-≤≤得244
x πππ-≤-≤
1t ≤≤ ①
当2
a <
a <-时
当t =
max 122y a ⎫=--⎪⎭
由1222a ⎫--=⎪⎭
，解得(
)
817a ==->-（舍去) ②
当12
a ≤≤
，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142
a y a =- 由21242
a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当
12
a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =
【点睛】
本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.
22．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不
存在，请说明理由；
（Ⅲ）设32
n n n b a -=-，若对于任意的*n N ∈，不等式
12
111(1)(1)(1)n b b b ≤+++m 的最大值． 【答案】（1）1(51)2
n -（2）不存在（3）1
【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112
a =． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.
故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，
52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22
n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：
假设存在*,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2
m n k -+-=
-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………1分 （Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-
=--=+，
12111(1)(1)(1)
n b b b ≤+++
可转化为 ≤3121231111n n b b b b b
b b b ++++⋅⋅⋅4682235721n
n +=⋅⋅⋅⋅⋅+． 设46822()357
21n f n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+
则(1)21
()35721f n n f n n ⋅⋅⋅++=⋅⋅
⋅⋅⋅+
2423n n +==+ 24
124
n n +=
>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当
n 增大时，()f n 也增大．
1
2111(1)(1)(1)n b b b ≤+++
*n N
∈min ()f n ≤即可． 因为min 4()(1)3f n f ==
=≤. 即43112448151515
m ⨯≤==. 所以，正整数m 的最大值为1． ………………………………………14分。