人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题专题强化试卷检测
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人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题专题强化试卷检测
一、解答题
1.已知,四边形ABCD 是正方形,点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点(不与点D 重合),AB =AE ,过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ,连接CF .
提出问题:当点E 运动时,线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变? 探究问题:
(1)首先考察点E 的一个特殊位置:当点E 与点B 重合(如图①)时,点F 与点B 也重合.用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系: ;
(2)然后考察点E 的一般位置,分两种情况:
情况1:当点E 是正方形ABCD 内部一点(如图②)时;
情况2:当点E 是正方形ABCD 外部一点(如图③)时.
在情况1或情况2下,线段CF 与线段DE 之间的数量关系与(1)中的结论是否相同?如果都相同,请选择一种情况证明;如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同,请说明理由;
拓展问题:
(3)连接AF ,用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系: .
2.如图,在矩形ABCD 中,AD nAB =,E ,F 分别在AB ,BC 上.
(1)若1n =,
①如图,AF DE ⊥,求证:AE BF =;
②如图,点G 为点F 关于AB 的对称点,连结AG ,DE 的延长线交AG 于H ,若AH AD =,猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系,并证明你的猜想.
(2)如图,若M 、N 分别为DC 、AD 上的点,则EM FN
的最大值为_____(结果用含n 的式子表示);
(3)如图,若E 为AB 的中点,ADE EDF ∠=∠.则
CF BF
的值为_______(结果用含n 的式子表示).
3.在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使点B 落在边AD (含端点)上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F (如图1和图2),然后展开铺平,连接BE ,EF . (1)操作发现:
①在矩形ABCD 中,任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形;
②当折痕经过点A 时,BE 与AE 的数量关系为 .
(2)深入探究:
在矩形ABCD 中,AB 3BC =3
①当△BEF 是等边三角形时,求出BF 的长;
②△BEF的面积是否存在最大值,若存在,求出此时EF的长;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知▱OABC的顶点A(10,0)、C(2,4),点D是OA 的中点,点P在BC上由点B向点C运动.
(1)求点B的坐标;
(2)若点P运动速度为每秒2个单位长度,点P运动的时间为t秒,当四边形PCDA是平行四边形时,求t的值;
(3)当△ODP是等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
5.如图.正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动,运动时间为t秒(t>0),以AE为一条边,在正方形ABCD左侧作正方形AEFG,连接BF.
(1)当t=1时,求BF的长度;
(2)在点E运动的过程中,求D、F两点之间距离的最小值;
(3)连接AF、DF,当△ADF是等腰三角形时,求t的值.
6.如图1,在正方形ABCD(正方形四边相等,四个角均为直角)中,AB=8,P为线段BC 上一点,连接AP,过点B作BQ⊥AP,交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′交AD于点N.
(1)求证:BP=CQ;
(2)若BP=1
3
PC,求AN的长;
(3)如图2,延长QN交BA的延长线于点M,若BP=x(0<x<8),△BMC'的面积为S,求S与x之间的函数关系式.
7.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AC的一点,连接EB,过点A做AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.
(1)猜想:如图(1)线段OE与线段OF的数量关系为;
(2)拓展:如图(2),若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,AM、DB的延长线相交于点F,其他条件不变,(1)的结论还成立吗?如果成立,请仅就图(2)给出证明;如果不成立,请说明理由.
8.在矩形ABCD中,BE平分∠ABC交CD边于点E.点F在BC边上,且FE⊥AE.
(1)如图1,①∠BEC=_________°;
②在图1已有的三角形中,找到一对全等的三角形,并证明你的结论;
(2)如图2,FH∥CD交AD于点H,交BE于点M.NH∥BE,NB∥HE,连接NE.若AB=4,AH=2,求NE的长.
9.点E在正方形ABCD的边BC上,点F在AE上,连接FB,FD,∠ABF=∠AFB.
(1)如图1,求证:∠AFD=∠ADF;
(2)如图2,过点F作垂线交AB于G,交DC的延长线于H,求证:DH=2 AG;
(3)在(2)的条件下,若EF=2,CH=3,求EC的长.
10.已知:正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),连接DE、BF,P是DE的中点,连接AP.将△AEF绕点A逆时针旋转.
(1)如图①,当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时,则线段AP与线段BF的位置关系为,数量关系为.
(2)当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时,证明:第(1)问中的结论仍然成立.
(3)若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为.
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一、解答题
1.(1)DE CF ;(2)在情况1与情况2下都相同,详见解析;(3)AF +CF =
DF 或|AF -CF |
【分析】
(1)易证△BCD 是等腰直角三角形,得出CB ,即可得出结果;
(2)情况1:过点C 作CG ⊥CF ,交DF 于G ,设BC 交DF 于P ,由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ,得出DG=FB ,CG=CF ,则△GCF 是等腰直角三角形,CF ,连接BE ,设∠CDG=α,则∠CBF=α,∠DEA=∠ADE=90°-α,求出∠DAE=2α,则∠EAB=90°-2α,
∠BEA=∠ABE=12
(180°-∠EAB )=45°+α,∠CBE=45°-α,推出∠FBE=45°,得出△BEF 是等腰
直角三角形,则EF=BF ,推出EF=DG ,DE=FG ,得出CF ;
情况2:过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ,连接BE ,设CD 交BF 于P ,由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ,得出DG=FB ,CG=CF ,则△GCF 是等腰直角三角形,得CF ,设∠CDG=α,则∠CBF=α,证明△BEF 是等腰直角三角形,得出EF=BF ,推出DE=FG ,得出
CF ;
(3)①当F 在BC 的右侧时,作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ,由(2)得△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,由SSS 证得△ABF ≌△AEF ,得出∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°,则△HDF 是等腰
直角三角形,得DF ,DH=DF ,∵∠HDF=∠ADC=90°,由SAS 证得△HDA ≌△FDC ,得
CF=HA ,即可得出;
②当F 在AB 的下方时,作DH ⊥DE ,交FC 延长线于H ,在DF 上取点N ,使CN=CD ,连接BN ,证明△BFN 是等腰直角三角形,得BF=NF ,由SSS 证得△CNF ≌△CBF ,得
∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°,则△DFH 是等腰直角三角形,得,DF=DH ,由SAS
证得△ADF ≌△CDH ,得出CH=AF ,即可得出DF ;
③当F 在DC 的上方时,连接BE ,作HD ⊥DF ,交AF 于H ,由(2)得△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,由SSS 证得△ABF ≌△AEF ,得∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°,则△HDF 是等腰直
角三角形,得出DF ,DH=DF ,由SAS 证得△ADC ≌△HDF ,得出AH=CF ,即可得出
;
④当F 在AD 左侧时,作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ,连接BE ,设AD 交BF 于P ,证明△BFE 是等腰直角三角形,得EF=BF ,由SSS 证得△ABF ≌△AEF ,得
∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°,则∠DFH=∠EFA=45°,△HDF 是等腰直角三角形,得DH=DF ,
,由SAS 证得△HDA ≌△FDC ,得出AF=CF ,即可得出DF .
【详解】
解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴CD=CB ,∠BCD=90°,
∴△BCD 是等腰直角三角形,
∴DB=2
CB ,
当点E 、F 与点B 重合时,则DE=2CF ,
故答案为:DE=2CF ;
(2)在情况1或情况2下,线段CF 与线段DE 之间的数量关系与(1)中结论相同;理由如下:
情况1:∵四边形ABCD 是正方形,
∴CD=CB=AD=AB=AE ,∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°,
过点C 作CG ⊥CF ,交DF 于G ,如图②所示:
则∠BCD=∠GCF=90°,
∴∠DCG=∠BCF ,
设BC 交DF 于P , ∵BF ⊥DE ,
∴∠BFD=∠BCD=90°,
∵∠DPC=∠FPB ,
∴∠CDP=∠FBP ,
在△CDG 和△CBF 中,
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
===, ∴△CDG ≌△CBF (ASA ),
∴DG=FB ,CG=CF ,
∴△GCF 是等腰直角三角形,
∴2,
连接BE ,
设∠CDG=α,则∠CBF=α,∠ADE=90°-α,
∵AD=AE ,
∴∠DEA=∠ADE=90°-α,
∴∠DAE=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠EAB=90°-2α,
∵AB=AE ,
∴∠BEA=∠ABE=1
2(180°-∠EAB )=12
(180°-90°+2α)=45°+α, ∴∠CBE=90°-(45°+α)=45°-α,
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°,
∵BF ⊥DE ,
∴△BEF 是等腰直角三角形,
∴EF=BF ,
∴EF=DG ,
∴EF+EG=DG+EG ,即DE=FG ,
∴DE=2CF ;
情况2:过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ,连接BE ,设CD 交BF 于P ,如图③所示:
∵∠GCF=∠BCD=90°,
∴∠DCG=∠BCF ,
∵∠FPD=∠BPC ,
∴∠FDP=∠PBC ,
在△CDG 和△CBF 中,
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
===, ∴△CDG ≌△CBF (ASA ),
∴DG=FB ,CG=CF ,
∴△GCF 是等腰直角三角形,
∴2,
设∠CDG=α,则∠CBF=α,
同理可知:∠DEA=∠ADE=90°-α,∠DAE=2α,
∴∠EAB=90°+2α,
∵AB=AE ,
∴∠BEA=∠ABE=45°-α,
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-(45°-α)=45°,
∵BF ⊥DE ,
∴△BEF 是等腰直角三角形,
∴EF=BF ,
∴EF=DG ,
∴DE=FG ,
∴
DE=2CF ;
(3)①当F 在BC 的右侧时,作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ,如图④所示:
由(2)得:△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,
在△ABF 和△AEF 中,
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
===,
∴△ABF ≌△AEF (SSS ), ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°, ∴△HDF 是等腰直角三角形,
∴2,DH=DF ,
∵∠HDF=∠ADC=90°,
∴∠HDA=∠FDC ,
在△HDA 和△FDC 中,
DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===,
∴△HDA ≌△FDC (SAS ),
∴CF=HA ,
2,即2DF ;
②当F 在AB 的下方时,作DH ⊥DE ,交FC 延长线于H ,在DF 上取点N ,使CN=CD ,连接BN ,如图⑤所示:
设∠DAE=α,则∠CDN=∠CND=90°-α,
∴∠DCN=2α,
∴∠NCB=90°-2α,
∵CN=CD=CB ,
∴∠CNB=∠CBN=12(180°-∠NCB )=12
(180°-90°+2α)=45°+α, ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-(90°-α)=90°+α,
∴∠FNB=90°+α-(45°+α)=45°,
∴△BFN 是等腰直角三角形,
∴BF=NF ,
在△CNF 和△CBF 中,
CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩
===,
∴△CNF ≌△CBF (SSS ),
∴∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°, ∴△DFH 是等腰直角三角形,
∴2,DF=DH ,
∵∠ADC=∠HDE=90°,
∴∠ADF=∠CDH ,
在△ADF 和△CDH 中,
AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===,
∴△ADF ≌△CDH (SAS ),
∴CH=AF ,
∴FH=CH+CF=AF+CF ,
∴
AF+CF=2DF ;
③当F 在DC 的上方时,连接BE ,作HD ⊥DF ,交AF 于H ,如图⑥所示:
由(2)得:△BEF 是等腰直角三角形,EF=BF ,
在△ABF 和△AEF 中,
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
===,
∴△ABF ≌△AEF (SSS ), ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°, ∴△HDF 是等腰直角三角形,
∴2,DH=DF ,
∵∠ADC=∠HDF=90°,
∴∠ADH=∠CDF ,
在△ADC 和△HDF 中,
AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===,
∴△ADC ≌△HDF (SAS ),
∴AH=CF ,
∴HF=AF-AH=AF-CF ,
∴2DF ;
④当F 在AD 左侧时,作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ,连接BE ,设AD 交BF 于P ,如图⑦所示:
∵AB=AE=AD ,
∴∠AED=∠ADE ,
∵∠PFD=∠PAB=90°,∠FPD=∠BPA ,
∴∠ABP=∠FDP ,
∴∠FEA=∠FBA ,
∵AB=AE ,
∴∠AEB=∠ABE ,
∴∠FEB=∠FBE ,
∴△BFE 是等腰直角三角形,
∴EF=BF ,
在△ABF 和△AEF 中,
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
===,
∴△ABF ≌△AEF (SSS ),
∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°, ∴∠DFH=∠EFA=45°,
∴△HDF 是等腰直角三角形,
∴DH=DF ,2DF ,
∵∠HDF=∠CDA=90°,
∴∠HDA=∠FDC ,
在△HDA 和△FDC 中,
DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
===,
∴△HDA ≌△FDC (SAS ),
∴AF=CF ,
∴AH-AF=CF-AF=HF ,
∴CF-AF=2DF , 综上所述,线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系:AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF , 故答案为:AF+CF=2DF 或|AF-CF|=2DF .
【点睛】
本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键.
2.(1)①见解析;②AG FB AE =+,证明见解析;(2)21n ;(3)241n -
【分析】
(1)①证明△ADE ≌△BAF (ASA )可得结论.
②结论:AG=BF+AE .如图2中,过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ,证明AE=BK ,AG=GK ,即可解决问题.
(2)如图3中,设AB=a ,AD=na ,求出ME 的最大值,NF 的最小值即可解决问题. (3)如图4中,延长DE 交CB 的延长线于H .设AB=2k ,则AD=BC=2kn ,求出CF ,BF 即可解决问题.
【详解】
(1)①证明:如图1中,
∵四边形ABCD 是矩形,n=1,
∴AD=AB ,
∴四边形ABCD 是正方形,
∴∠DAB=∠B=90°,
∵AF ⊥DE ,
∴∠ADE+∠DAF=90°,∠DAF+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF ,
∴△ADE ≌△BAF (ASA ),
∴AE=BF ;
②结论:AG=BF+AE .
理由:如图2中,过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ,
由(1)可知AE=BK ,
∵AH=AD ,AK ⊥HD ,
∴∠HAK=∠DAK ,
∵AD ∥BC ,
∴∠DAK=∠AKG ,
∴∠HAK=∠AKG ,
∴AG=GK ,
∵GK=GB+BK=BF+AE ,
∴AG=BF+AE ;
(2)如图3中,设AB=a ,AD=na ,
当ME 的值最大时,NF 的值最小时,ME NF
的值最大, 当ME 是矩形ABCD 的对角线时,ME 的值最大,最大值()222na 1a n +=+,
当NF ⊥AD 时,NF 的值最小,最小值=a ,
∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +, 21n +;
(3)如图4中,延长DE 交CB 的延长线于H .设AB=2k ,则AD=BC=2kn ,
∵AD ∥BH ,
∴∠ADE=∠H ,
∵AE=EB=k ,∠AED=∠BEH ,
∴△AED ≌△BEH (ASA ),
∴AD=BH=2kn ,
∴CH=4kn ,
∵∠ADE=∠EDF ,∠ADE=∠H ,
∴∠H=∠EDF ,
∴FD=FH ,设DF=FH=x ,
在Rt △DCF 中,∵CD 2+CF 2=DF 2,
∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2, ∴2
142n x k n
+=⋅, ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅,241222n k BF kn k n n
-=-⋅=, ∴22412412n k CF n n k BF
n
-⋅==-, 故答案为:241n -.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题.
3.(1)①等腰;②2BE =
;(2)①2;②存在,3512
【分析】
(1)①由折叠的性质得EF =BF ,即可得出结论;
②当折痕经过点A 时,由折叠的性质得AF 垂直平分BE ,由线段垂直平分线的性质得AE =BE ,证出ABE 是等腰直角三角形,即可得出BE 2AE ;
(2)①由等边三角形的性质得BF=BE,∠EBF=60°,则∠ABE=30°,由直角三角形的性
质得BE=2AE,AB,则AE=1,BE=2,得BF=2即可;
②当点F在边BC上时,得S△BEF≤1
2
S矩形ABCD,即当点F与点C重合时S△BEF最大,由折叠的
性质得CE=CB=EF=
当点F在边CD上时,过点F作FH∥BC交AB于点H,交BE于点K,则S△EKF=
1 2KF•AH≤
1
2
HF•AH=
1
2
S矩形AHFD,S△BKF=
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH=
1
2
S矩形BCFH,得S△BEF≤
1
2
S
矩形ABCD =3,即当点F为CD的中点时,BEF的面积最大,此时,DF=
1
2
CD E
与点A重合,由勾股定理求出EF即可.
【详解】
解:(1)①由折叠的性质得:EF=BF,
∴BEF是等腰三角形;
故答案为:等腰;
②当折痕经过点A时,
由折叠的性质得:AF垂直平分BE,
∴AE=BE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠A=90°,
∴ABE是等腰直角三角形,
∴BE;
故答案为:BE;
(2)①当BEF是等边三角形时,BF=BE,∠EBF=60°,∴∠ABE=90°﹣60°=30°,
∵∠A=90°,
∴BE=2AE,AB
∴AE=1,BE=2,
∴BF=2;
②存在,理由如下:
∵矩形ABCD中,CD=AB BC=
∴矩形ABCD的面积=AB×BC6,
第一种情况:当点F在边BC上时,如图1所示:
此时可得:S △BEF ≤12S 矩形ABCD , 即当点F 与点C 重合时S △BEF 最大,此时S △BEF =3,
由折叠的性质得:CE =CB =23,
即EF =23;
第二种情况:当点F 在边CD 上时,
过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ,交BE 于点K ,如图2所示:
∵S △EKF =12KF •AH ≤12HF •AH =12S 矩形AHFD ,S △BKF =12KF •BH ≤12HF •BH =12
S 矩形BCFH , ∴S △BEF =S △EKF +S △BKF ≤
12S 矩形ABCD =3, 即当点F 为CD 的中点时,BEF 的面积最大,
此时,DF =12CD =32
,点E 与点A 重合,BEF 的面积为3, ∴EF 22AD DF +=512
; 综上所述,BEF 的面积存在最大值,此时EF 的长为351. 【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题,此题难度较大,掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键.
4.(1)B (12,4);(2)52
t s =
;(3)58,4,3,4,2,4,,42 【分析】
(1)由四边形OABC 是平行四边形,得到OA BC =,//OA BC ,于是得到 10OA =,2OE AF ,可求出点B 的坐标;
(2)根据四边形PCDA 是平行四边形,得到PC AD =,即1025t -=,解方程即可得到结论;
(3)如图2,可分三种情况:①当5PD OD 时,②当5PO OD 时,③当 PD OP =时分别讨论计算即可.
【详解】
解:如图1,过C 作CE OA ⊥于E ,过B 作BF OA ⊥于 F ,
四边形OABC 是平行四边形,
OA BC ,//OA BC , A ,C 的坐标分别为(10,0), (2,4), 10OA ∴=,2OE AF , 10BC ∴=,
(12,4)B ;
(2)设点P 运动t 秒时,四边形PCDA 是平行四边形,
由题意得:102PC t =-,
点D 是OA 的中点, 152OD BC AD OA ,
四边形PCDA 是平行四边形,
PC AD ,即1025t -=,
52
t ∴=, ∴当52
t =秒时,四边形PCDA 是平行四边形; (3)如图2,①当5PD
OD 时,过1P 作1PE OA 于 E ,
则14PE ,
3DE ∴=,
1(8,4)P ,
又D ,C 的坐标分别为()5,0,(2,4), ∴225245CD ,
即有,当点P 与点C 重合时,5PD OD ,
2,4P ; ②当5PO
OD 时,过2P 作2P G OA 于 G , 则24P G ,
3OG ∴=,
2(3,4)P ;
③当PD OP =时,过3P 作3P F
OA 于 F , 则34P F ,52
OF =, 35(2
P ,4); 综上所述:当ODP ∆是等腰三角形时,点P 的坐标为(8,4), 5(2
,4),(3,4),(2,4). 【点睛】
本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.
5.(1 (2)(3)2或4
【分析】
(1)由勾股定理可求出答案;
(2)延长AF ,过点D 作射线AF 的垂线,垂足为H ,设AH =DH =x ,在Rt △AHD 中,得出x 2+x 2=42,解方程求出x 即可得出答案;
(3)分AF =DF ,AF =AD ,AD =DF 三种情况,由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案.
【详解】
解:(1)当t =1时,AE =1,
∵四边形AEFG 是正方形,
∴AG =FG =AE =1,∠G =90°,
∴BF ,
(2)如图1,延长AF ,过点D 作射线AF 的垂线,垂足为H ,
∵四边形AGFE 是正方形,
∴AE =EF ,∠AEF =90°,
∴∠EAF =45°,
∵DH ⊥AH ,
∴∠AHD =90°,∠ADH =45°=∠EAF ,
∴AH =DH ,
设AH =DH =x ,
∵在Rt △AHD 中,∠AHD =90°,
∴x 2+x 2=42,
解得x 1=﹣22(舍去),x 2=22,
∴D 、F 两点之间的最小距离为22;
(3)当AF =DF 时,由(2)知,点F 与点H 重合,过H 作HK ⊥AD 于K ,如图2,
∵AH =DH ,HK ⊥AD ,
∴AK =2
AD =2, ∴t =2.
当AF =AD =4时,设AE =EF =x , ∵在Rt △AEF 中,∠AEF =90°,
∴x 2+x 2=42,
解得x 1=﹣2(舍去),x 2=2,
∴AE =2,
即t =2.
当AD =DF =4时,点E 与D 重合,t =4,
综上所述,t 为2或22
或4.
【点睛】
本题是四边形综合题,考查了勾股定理,正方形的性质,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握正方形的性质,学会用分类讨论的思想思考问题.
6.(1)见解析;(2)4.8;(3)
1282x x
- 【分析】
(1)证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论;
(2)证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ,设AN =NC '=a ,则DN =8﹣a ,利用勾股定理即可求出a ;
(3)过Q 点作QG ⊥BM 于G ,设MQ =BM =y ,则MG =y ﹣x ,利用勾股定理求出MQ ,再根据面积相减得到答案.
【详解】
解:(1)证明:∵∠ABC =90°
∴∠BAP +∠APB =90°
∵BQ ⊥AP
∴∠APB +∠QBC =90°,
∴∠QBC =∠BAP ,
在△ABP 于△BCQ 中, ABP BCQ AB BC
BAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△ABP ≌△BCQ (ASA ),
∴BP =CQ ,
(2)由翻折可知,AB =BC ',
连接BN ,在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中,AB =BC ',BN =BN ,
∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN (HL ),
∴AN =NC ',
∵BP =13
PC ,AB =8, ∴BP =2=CQ ,CP =DQ =6,
设AN=NC'=a,则DN=8﹣a,
∴在Rt△NDQ中,(8﹣a)2+62=(a+2)2
解得:a=4.8,
即AN=4.8.
(3)解:过Q点作QG⊥BM于G,由(1)知BP=CQ=BG=x,BM=MQ.
设MQ=BM=y,则MG=y﹣x,
∴在Rt△MQG中,y2=82+(y﹣x)2,
∴
32
2
x
y
x
=+.
∴S△BMC′=S△BMQ﹣S△BC'Q=11
22
BM QG BC QC
''
⋅-⋅,
=1321
()88 222
x
x
x
+⨯-⨯,
=128
2x x
-.
【点睛】
此题考查正方形的性质,三角形全等的判定及性质,勾股定理,正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.
7.(1)OE OF
=;(2)成立.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质对角线垂直且平分,得到OB=OA,又因为AM⊥BE,所以
∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.(2)根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA,再根据已知条件求证出
Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.
【详解】
解:(1)正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AM⊥BE,
∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°,
∵∠AFO=∠BFM(对顶角相等),
∴∠OAF=∠OBE(等角的余角相等),
又OA=OB (正方形的对角线互相垂直平分且相等),
∴△BOE ≌△AOF (ASA ),
∴OE=OF.
故答案为:OE=OF ;
(2)成立.理由如下:
证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴90BOE AOF ∠=∠=︒,OB OA =
又∵AM BE ⊥,
∴90F MBF ∠+∠=︒,90E OBE ∠+∠=︒,
又∵MBF OBE ∠=∠
∴F E ∠=∠∴BOE AOF ∆≅∆,
∴OE OF =
【点睛】
本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定,并运用了类比的思想,两个问题都是证明BOE AOF ∆≅∆解决问题.
8.(1)①45;②△ADE≌△ECF,理由见解析;(2)
【分析】
(1)①根据矩形的性质得到90ABC BCD ∠=∠=︒,根据角平分线的定义得到45EBC ∠=︒,根据三角形内角和定理计算即可;
②利用ASA 定理证明ADE ECF ≅;
(2)连接HB ,证明四边形NBEH 是矩形,得到NE BH =,根据勾股定理求出BH 即可.
【详解】
(1)①∵四边形ABCD 为矩形,
∴∠ABC=∠BCD=90°,
∵BE 平分∠ABC,
∴∠EBC=45°,
∴∠BEC=45°,
故答案为45;
②△ADE≌△ECF,
理由如下:∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ABC=∠C=∠D=90°,AD=BC .
∵FE⊥AE,
∴∠AEF=90°.
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°.
∵∠AED+∠DAE=90°,
∴∠FEC=∠EAD,
∵BE 平分∠ABC,
∴∠BEC=45°.
∴∠EBC=∠BEC.
∴BC=EC.
∴AD=EC.
在△ADE 和△ECF 中,
DAE CEF AD EC
ADE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△ADE≌△ECF;
(2)连接HB ,如图2,
∵FH∥CD,
∴∠HFC=180°-∠C=90°.
∴四边形HFCD 是矩形.
∴DH=CF,
∵△ADE≌△ECF,
∴DE=CF.
∴DH=DE.
∴∠DHE=∠DEH=45°.
∵∠BEC=45°,
∴∠HEB=180°-∠DEH -∠BEC=90°.
∵NH∥BE,NB∥HE,
∴四边形NBEH 是平行四边形.
∴四边形NBEH 是矩形.
∴NE=BH.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAH=90°.
∵在Rt△BAH 中,AB=4,AH=2,
【点睛】
本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
9.(1)见解析;(2)见解析;(3)7
【分析】
(1)利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD,则∠AFD=∠ADF;
(2)首先得出四边形AGHN为平行四边形,可得FM=MD,进而NF=NH,ND=NH,即可得出答案;
(3)首先得出△ADN≌△DCP(ASA),得到PC=DN,再利用在Rt△ABE中,
BE2+AB2=AE2,即可求出答案.
【详解】
(1)证明:∵∠ABF=∠AFB,
∴AB=AF,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,
∴AF=AD,
∴∠AFD=∠ADF;
(2)证明:如图1所示:过点A作DF的垂线分别交DF,DH于M,N两点,
∵GF⊥DF,
∴∠GFD=∠AMD=90°,
∴AN∥GH,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AG∥NH,
∴四边形AGHN为平行四边形,
∴AG=NH,
∵AF=AD,AM⊥FD,
∴FM=MD,
连接NF,则NF=ND,
∴∠NFD=∠NDF,
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H,
∴∠NFH=∠H,
∴NF=NH,
∴ND=NH,
∴DH=2NH=2AG;
(3)解:延长DF交BC于点P,如图2所示:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BC,
∴∠ADF=∠FPE,
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE,
∴EF=EP=2,
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC ,
∴∠DAM=∠PDC ,
∵四边形ABCD 为正方形,
∴AD=DC ,∠ADN=∠DCP ,
在△ADN 和△DCP 中
DAN PDC AD DC
ADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△ADN ≌△DCP (ASA ),
∴PC=DN ,
设EC=x ,则PC=DN=x+2,DH=2x+4,
∵CH=3,
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3,BE=x+1,
在Rt △ABE 中,BE 2+AB 2=AE 2,
∴(x+1)2+(2x+1)=(2x+3)2.
整理得:x 2﹣6x+7=0,
解得:x 1=7,x 2=﹣1(不合题意,舍去)
∴EC=7.
【点睛】
本题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识,解题关键是正确把握正方形的性质.
10.(1)AP⊥BF,12AP BF =
(2)见解析;(3)1≤AP ≤2 【分析】
(1)根据直角三角形斜边中线定理可得12
AP ED PD == ,即△APD 为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA,可证△AED≌△ABF 可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED 由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF 由全等可得1122AP ED BF == 即12
AP BF = (2)延长AP 至Q 点使得DQ ∥AE,PA 延长线交于G 点,利用P 是DE 中点,构造△AEP≌△PDQ 可得∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA 可得∠QDA=∠FAB 可证△FAB≌△QDA 得到
∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等
可得
11
22 AP AQ FB ==
(3)由于
1
2
AP BF
=即求BF的取值范围,当BF最小时,即F在AB上,此时BF=2,
AP=1
当BF最大时,即F在BA延长线上,此时BF=4,AP=2可得1≤AP≤2【详解】
(1)
根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得
1
2
AP ED PD
==,即△APD为等
腰三角形.
∴∠DAP=∠EDA
又AE=AF,∠BAF=∠DAE=90°,AB=AD ∴△AED≌△ABF
∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED
设AP与BF相交于点O
∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB
∴∠AOF=90°即AP⊥BF
∴
11
22
AP ED BF
==即
1
2
AP BF
=
故答案为AP⊥BF,
1
2 AP BF
=
(2)
延长AP至Q点使得DQ∥AE,PA延长线交于G点∴∠EAP=∠PQD,∠AEP=∠QDP
∵P是DE中点,
∴EP=DP
∴△AEP≌△PDQ
则∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA
∠QDA=180°-(∠PAD+∠PQD)
=180°-∠EAD
而∠FAB=180°-∠EAD,则∠QDA=∠FAB
∵AF=DQ,∠QDA=∠FAB ,AB=AD
∴△FAB≌△QDA
∴∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB
而∠EAP+∠FAG=90°
∴∠AFB+∠FAG=90°
∴∠FAG=90°
∴AG⊥FB
即AP⊥BF
又
11
22 AP AQ FB ==
∴
1 AP
2
BF
=
(3)∵
1
2 AP BF
=
∴即求BF的取值范围
BF最小时,即F在AB上,此时BF=2,AP=1
BF最大时,即F在BA延长线上,此时BF=4,AP=2∴ 1≤AP≤2
【点睛】
掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线,灵活运用各种角关系是解题的关键.。