一元二次方程(第2课时一元二次方程的解及其估算)

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8-2x = 6 和 5-2x = 3 的方法求出其解为 x = 1.
例3 在上一课中,梯子的底端滑动的距离x满足方程x2 +12 x - 15 =
0.你能猜出滑动距离x的大致范围吗? x的整数位是几?十分位是几
解?:
x
0
0.5
1
1.5
2

x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
一个根吗?
x=2或x=-1
一元二次方程解的估算
在上一课的问题中,我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足 方程 (8-2x)(5-2x)=18,你能求出这个宽度吗?
对于方程(8-2x)(5-2x)=18. (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理
由.
x不可能小于0 ; 根据题意,8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽,所以8-2x>0,52x>0, 因此 x 不可能大于 4,也不可能大于 2.5. (2) x的大致范围是多少? x 的大致范围是 0<x<2.5.
2.一元二次方程的一般形式是什么?
二次项
一次项
a x 2 + b x + c =(a ≠ 0)
0
二次项系数
一次项系数
知识讲解
一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 (又叫做根).
练一练:
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2,0 ,1,2,3 ,4.
(2)通过对 x 取值进行逼近,使得 ax2 +bx+c 的值无限接近
于 0,逐步获得方程的近似解 .
随堂训练
1.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m-1)x2 +x+1 = 0
的一个解,则 m 的值是(B )
A.1
B.-1
C.0
D. 无法确定
2.小亮同学在探究一元二次方程 ax2 +bx+c = 0
可知x取值的大致范围是1<x<1.5.
进一步计算:
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1<x<1.2,由此他猜测x整数部分是1 ,十分位部分是
1.
方法技巧
“夹逼法”估算一元二次方程的近似解通常采用列表的方式 . (1)根据实际情况确定出解的适当范围 .
(a ≠ 0)的近似解时,填好了下面的表格:
根据以上信息,请你确定方程ax2 +bx+c = 0的一个解的范围 是 3.24<x.<3.25
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3,求a的值.
解:把x=3代入方程x2+ax+a=0,得32+3a+a=0, 即9+4a=0, ∴4a=-9,
8.1 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解及其估算
学习目标
1 理解一元二次方程解的概念. 2 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3 会估算一元二次方程的解.(难点)
知识回顾
1.一元二次方程有哪些特点?
①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数); ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
解:1和3.
你注意到了吗? 一元二次方程的
根可能不止一个.
例1 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根, 求 3a2+6a+ 2 020的值.
解:由题意,得 a2 2a 2 0, 即a2 2a 2.
∴ 3a2+6a+2020=3(a2+2a)+2 020 =3×2 +2 020
=2 026.
方法总结:已知方程的解求代数式的值,一般先把已知解代入方程,得到 等式,将所求代数式的一部分看作一个整体,再用整体思想代入求值.
例2 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解:由题意,得 a 12 b 1 c 0, 即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解:由题意,得 a b c 0. 即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的
a 9. 4
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0,求m的
值.
解:将x=0代入方程,得m2-4=0, 解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0, ∴ m ≠-2, 综上所述,m =2.
二次项系数 不为零不容 忽视
5.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1). 解:(1)列表.依次取x=0,1,2,3,…
… …
由表可发现,当2.4<x<2.5时,-0.04< x2 - 2x - 1 <0.25. (3)取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4<x<2.45,∴x≈2.4.
课堂小结
一元二次 方程的解
一元二次方程 的解及其估算
解的估算
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
(1)确定其解的大致范围 (2)列表、计算 (3)进行两边“夹逼” (4)求得近似解
x
0
1
2
3
x2 - 2x - 1 -1
-2
-1
2
由上表可发现,当2<x<3时, -1< x2 - 2x -1 <2. (2)继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.56 -0.31 -0.04 0.25
… …
对于方程(8-2x)(5-2x)=18.
(3)完成下表:
x
0 0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x) 40
28
1
10
4
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少8 吗? 还有其他求解方法吗?与
同伴进行交流.
因为所求宽度 x 的大致范围是 0<x<2.5,所以所求宽度是 1 m 时,
可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立 . 还可以将 18 分解因数为 6×3,用
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