数学分析-福州大学研究生院
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
福州大学硕士研究生入学考试考试大纲—000610高等数学
福州大学
2016年硕士研究生入学考试专业课考试大纲
(考试大纲是考研学生复习的重要参考资料，是关于考试科目、题型设置及知识点要求的指导性文件，目的是为便于报考者了解、准备和参加考试，它指出了所考科目的大致考试范围，也是考研命题的重要参考依据。
)
一、课程名称:高等数学
注意：
1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
排序从易到难。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
福州大学初试科目参考书目-福州大学研究生院
《外国现代设计史》张夫也高等教育出版社北京2009年3月第1版
(626)建筑学基础（自）
《中国建筑史》中国建筑史编写组；《外国建筑史－19世纪末以前》陈志华著；《外国近现代建筑史》同济大学等合编，中国建筑工业出版社；《公共建筑设计原理》天津大学编；《建筑空间组合论》彭一刚著；《建筑初步》田学哲著；《建筑构造(上)》李必瑜著
《话语分析入门：理论与方法》James Paul Gee,外研出版社,《英美概况》张奎武，吉林科技出版社;《语言学教程》胡壮麟,北大出版社;《英国文学简史》刘炳善;《美国文学简史》常耀信,南开大学出版社;《英汉翻译教程》张培基编;《新编汉英翻译教程》陈宏薇
(616)电动力学
郭硕鸿，《电动力学》(第二版)，北京：高等教育出版社，1997年7月；黄乃本，周义昌，《电动力学习题与题解》，广州：中山大学出版社，1980年11月
(618)马克思主义哲学
本书编写组：《马克思主义哲学》（马克思主义理论研究和建设工程重点教材）、高等教育出版社、人民出版社，2009年9月第一版
(619)法律综合考试（法理学、民法学、刑法学）
《法理学》张文显主编，高等教育出版社、北京大学出版社2011年第四版；吴汉东、陈小君主编：《民法学》，法律出版社2013年版；《中华人民共和国民法总则》；《中华人民共和国刑法》及修正案
(621)马克思主义基本原理
本书编写组：《马克思主义基本原理概论》（2015修订版），高等教育出版社，2015年版；十八大以来党的重要文献
(622)社会学原理
郑杭生主编：《社会学概论新修》（第四版），中国人民大学出版社，2013年
(623)艺术概论
《艺术学概论》（2006年第三版）彭吉象北京大学出版社
考研数学分析试题及答案
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
福建师范大学数学分析考研试题汇编2000-2008(缺2001、2003)
福建师范大学研究生入学考试试卷(2000年)一、判断下列结论是否正确对的用√，错的用×表示，共10分，每小题2分()1．若－～－，则～. A B B A A B ()2．是中的孤立点集，则导集. E nR φ='E ()3．上的绝对连续函数必在上一致连续. ],[b a ],[b a ()4．设在上可测，则也在上可测.f E 2f E ()5．设,且，则于.)(E L f n ∈⎰→En dm f 0..0e a f n ，→E ()二、单项选择题共15分，每小题3分()1．设是开集，是闭集，则－是A B A B ()1闭集 2开集 3既开又闭集 4非开非闭集()()()()2．系数为有理数的多项式全体所成的集，其势是()1自然数 2可数势 3连续势 4大于连续势()n ()a ()c ()c 3．设为无界可测集，则满足E mE ()1=0 20﹤﹤ 3= 40()mE ()mE ∞()mE ∞()≤mE ≤∞4．设、在上可测，且，则当 时，.f g E f ≤g ())(E L f ∈1、2、 3、 4、()+f )(E L g ∈+()+f )(E L g ∈-()-f )(E L g ∈+()-f)(E L g ∈-5．关于积分的－公式成立的充要条件L N L ⎰≤≤=-xab x a dm x f a f x f )()()()('是在上f ],[b a ()1连续 2可积 3有界变差 4绝对连续()()L ()()三、填空题共15分，每小题3分()1．设 表示到的距离，则___. ),(A x d x A =⇔∈),(A x d A x 2．设，，则的势___.nR E ⊂φ≠0E E =E3．设为奇数时，；为偶数时，，则 n ]1,1[n A n -=n ]1,1[nA n -=____. ____.=n nlim =n nA lim 4．设为康妥集，则P Cantor ()⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[cos .sin )(P x x P x x x f ，，____.=⎰dm f ]1,0[5．上的函数若满足_____条件，则是绝对连续函数. ][b a ，)(x f 四、证明题共60分，每小题10分.()1．试证上的单调递增函数的不连续点至多可数个.][b a ，2．设…都是可测集，，且，证明，，、21(=n B A n n )n n B E A ⊂⊂0)(→-n n A B m E 是可测集.3．设和…都是上有限的可测函数，若对任何>0，有可测集f ，，21(=n f n )E ..e a ε，使得<且在上一致收敛于，证明(依测度收E F ⊂)(F E m -εF {}n f f f f n ⇒敛).4．求(应说明理由).⎰-+=nxn ndm e n x I 02)1(lim5．设，且对任意闭集有，证明：f )(E L ∈E A ⊂⎰=Afdm 0于...,0)(e a x f =E 6．设和…都是上的可积函数，且 于，f ，，21(=n f n )E ..)()(e a x f x f n ，→E ，证明.dm f dm f EEn n⎰⎰=lim dm f f En ⎰-1福建师范大学研究生入学考试试卷(2002年)一、判断题(2分×5.答题册内写法示范：一.1.对 2.错 3….)1．.''')(A A =2．是集上的实值函数， ),2,1( =n f f n ，X 令，})()({1mn mn x f x f X x A <-∈=：则.11{()()}n mk k n m nx X f x f x A ∞∞∞→∞===∈==I UIn ：lim 3．中Lebesgue 可测集的基数等于的子集的全体的基数. R R 4．设和都是中的可测集，则A B nR -L .)()()()(B m A m B A m B A m +=+ 5．对任意是可测集.'\2E E E R ，∈-L 二、选择题(3分×5.答题册内写法示范：二.1…)C B A A B A ,,3.2.,注意：请依各小题具体情况，自行判定是单项或多项选择.1．是中的开集的一个子集，则满足的充分条件是 A nR G A G G \=() ()是至多可数集；（）是有限集 A ；0=mA B A C A 2．表示中的内点的集，则0E nR E ()()（）A 0()A B A B ⊃U U ；B ；000)(B A B A ⊂C.)(000B A B A =3．完备测度空间(上的一个函数是可测函数的充分必要条件是)μ，，A X f ()有简单函数列一致收敛于；()有简单函数列处处收敛于；A n f f B n f f （）有可测函数列几乎一致收敛于.C n f f 4．有限闭区间上的有界可测函数黎曼可积的充分条件是],[b a f ()可积；()几乎处处连续；（）的不连续点集只有可数个A f -L B f C f 极限点.5．是完备测度空间(上的可测函数，则f )μ，，A X2()可积等价于可积；()可积等价于可积；（）是可积函A f f B 2f f C f 数列的一致收敛极限时可积.f 三、计算题（3分×5.只要计算结果，不必给过程.答题册内写法示范：三.1=20，2=3，…） 1．设求∑∞==12)(n n A ，μ().n limA μ2．在集上在的长度为的余区间Cantor P ，0)(=x f P n-3，n x f =)(求.⎰1)(dm x f 3．，求. )21(1 ，，，===⊂n A X X A n n μμ)(n A μ4．在上可积，且一致连续，求.)(x F R -L lim ()x F x →∞5．当时，，而当时，求全变差]1,0[∈x x x f -=1)()21(，∈x 2)(=x f .)(20f V 四、论证题（任选5题作答，以12分×5计分，如6题都答，以10分×6计分）1．（1）叙述中疏集定义，并证明集疏等价于无处稠，即：每个开区R A A 间 都包含一个闭子区间，使得是空集； ),(b a ],[11b a ],[11b a A （2）可数个疏集的并集还是疏集吗?请证明或举反例；（3）证明每个闭区间都不可能表示为可数个疏集的并集. )](,[b a b a <2．是非空集，取定一，对任给的，定义.证明：X X a ∈X A ⊂)(a A A χμ=是完备的概率测度空间.其中表示集的特征函数.)(μ，X )(x A χA 3．设的个可测子集有性质：每个至少X X ，∞<μn )1(n k A k ，=X x ∈属于个，求证有某个.q )1(n q A k ≤≤X A n q k μμ)(≥4．是上的单调函数，求证绝对连续的充分必要条件是：)(x F ],[b a )(x F .⎰=-badm F a F b F ')()(5．在中几乎处处连续且在每个有限闭区间中有界，证明：),[∞a )(x f ],[b a 广义黎曼积分绝对收敛的充分必要条件是在可积，且⎰∞adx x f )(f -∞L a ),[3这时.⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞==aaaafdm dx x f dm f dx x f )()2()()1(；6．设是上的绝对连续函数列，.求证：(1)n f ],[b a '1bn an f dm ∞=<∞∑⎰；''11bb nn aan n f dm f dm ∞∞===∑∑⎰⎰ (2)当进而知道在某点收敛时，则是绝对连续1()nn fx ∞=∑],[b a c ∈1n n f f ∞==∑函数，且几乎处处有.''1nn f f∞==∑福建师范大学2004年数学分析考试试卷一.(20分)判断下列命题,若正确请在答题卡括号内填””,否则填”” √⨯1.若,则lim ,lim n n n n x y a →∞→∞=∞=≠∞lim n n n x y →∞=∞2.若对,在上连续,则在上连续 0ε∀>()f x [],a b εε+-()f x [],a b 3.若在上可积,则必存在一点使得()f x [],a b (),a b ξ∈()()()baf x dx f b a ξ=-⎰4.平面中点集的界点要么是孤立点要么是聚点,二者必居其一 5.若,为自然数,则 ()1lim n n f x f x A n →∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦n ()f x A '=6.广义积分收敛 0⎰7.若幂级数的收敛半径为,则幂级数的收敛半径为0nn n a x∞=∑20nn n a x∞=∑2R 8.函数列在上一致收敛{}nx(]0,1ε-()01ε<<9.若在点存在偏导数,则在点必连续 (),u f x y =()00,x y (),u f x y =()00,x y 10.设区域由曲线所围成,则二重积分D 222x y a +=222222x y a a a DDDedxdy e dxdy edxdy ea π+===⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰二.(16分)求下列极限1.)lim x x →+∞-2.()()()()22,0,0limln x y x y x y →++三.(10分)从定义出发证明数列的极限不存在(){}11,1,2,n n +-=⋅⋅⋅四.(12分)求球面的内部被柱面所划出的部分的体积 22224x y z R ++=222x y Rx +=五.(12分)设具有连续导数,计算积分()f t ,其中为下半球面()()222232113SI f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰S 的上侧()22210x y z z ++=<六.(15分)若在上可微,试证: 在上连续的充要条件是在()f x [],a b ()f x '[],a b ()f x [],a b上一致可微,即,当时0,0εδ∀>∃>0h δ<<,对一切成立()()()f x h f x f x hε+-'-<[],x a b ∈七.(15分)计算之值 ()20cos 2x I y e yxdx +∞-=⎰八.(15分)求级数的和()()221121nn n n ∞=-⋅-∑九.(15分)设在上存在二阶导数,且,,则[]0,1()()010f f ==()[]{}min 0,11f x x ⎜∈=-,使()0,1ξ∃∈()8f ξ''≥十.(20分)1.设在必矩形上有意义,若对于,在连续,证明(),f x y []0,1;0,1[]00,1x ∀∈(),f x y ()0,0x ,使在矩形上有界0δ∃>(),f x y []0,1;0,δ2.设是正数列,对所有的自然数成立,求证:存在{}n x ,m n m n n m x x x +≤+limnn x n→∞福建师范大学2005年数学分析考试试卷一.(10分)从定义出发证明21lim 123x x x →-=+二.(10分)指出函数的不连续点,并确定其不连续点的类型.(其中表示()[]1sin f x x x=[]x x 的整数部分) 三. (16分)计算1. 132lim 2x x x x x e →+∞⎡⎛⎫-+-⎢ ⎪⎝⎭⎣2.sin cos 2dxx x ⎰四. (16分)设在上具有连续导数,为上半平面内的有向分段光滑曲()f x (),-∞+∞L ()0y >线,其起点为,终点,记 (),a b (),c d ()()222111L x I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦⎰(1)证明曲线积分与路径无关 I (2)当时,求的值ab cd =I 五. (15分)设函数列的每一项在上连续,且在上一致收敛于(){}n S x ()n S x [],a b [],a b ,求证在上也连续()S x ()S x [],a b 六.(15分)设正值函数在上连续,试证:()f x []0,1()()11ln 0f x dx e f x dx ⎰≤⎰七.(15分)证明函数在上连续 ()21sin x F dx xαα+∞=⎰0α>八.(18分)设()22220,00x y f x y x y +≠=+=⎩(1)证明在点连续(),f x y ()0,0(2)证明,在全平面有界 (),x f x y (),y f x y (3)证明在点不可微(),f x y ()0,0九.(15分)若函数具有二阶连续偏导数,试将方程变成(),z z x y =2222202z z zx x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.假设 (),w w u v =,,22u v u vx y w xy z +-===-十.(20分)1.设是上的非负连续函数并满足 ()f x [)0,+∞(1)在上存在有界导数 [)0,+∞()f x '(2),试证()f x dx <+∞()lim 0x f x →+∞=2.设是上连续,单调,有界,,试证明数列收敛()f x [)0,+∞()()0F n f x dx +∞=⎰(){}F n12006年福建师范大学研究生入学考试《数学分析》试题和答案一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
福州大学611数学分析专业课历年真题及答案解析
《2014福州大学611数学分析专业课历年真题及答案解析》《2014福州大学611数学分析专业课历年真题及答案解析》是根据善学教育多年考研专业课成功辅导经验，由善学教育和福州大学考研研究中心组织福州大学数学计算机科学学院老师全面研究近几年考研真题，解题思路清晰、答案详实、能使考生对考试的实际难度与要求和自己目前的复习状况有所了解，并且通过对常考经典题的掌握可以帮助考生更好的理解知识点。
以图表的形式总结了近年来各考点的详细分布及历年的试卷结构分析，以事实为依据让考生对专业课考试各考点的重要程度及历年的命题情况、试卷结构了然于胸。
该书总结历年专业课考试高分考生的答题经验，对2014年专业课考试可能涉及的每种题型答题技巧进行分析，并用相关的真题进行举例解释说明。
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为保证产品质量，善学教育官方每年均根据当年最新考试要求对本书进行改版升级并提供超值的售后服务，请考生务必谨慎辨别，避免购买其他机构或个人销售的往年的盗版材料而耽误备考，甚至影响前途。
1. 考试科目代码及名称：611数学分析2. 适用专业范围：数学计算机科学学院：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、统计学离散数学研究中心：基础数学、应用数学、运筹学与控制论考研真题是每个考生复习必不可少的资料，而拥有一份权威、正确的参考答案尤为重要，通过研究历年真题能洞悉考试出题难度和题型，了解常考章节与重要考点，能有效指明复习方向。
同时，福州大学的很多题目是从题库中抽取的，真题有很高的重复率，往年真题也常常反复再考。
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善学教育组织福州大学最权威的老师进行编写，该内容包含数学分析近几年的的考研真题与答案解析，每一个题目不但包括详细答案解析，同时对考查重点进行了分析说明，为考生提供最权威的真题答案解析。
资料来源：/Product-219.aspx（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
福州大学611数学分析2021年考研专业课初试大纲
福州大学
2021年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
一、考试科目名称: 数学分析
二、招生学院：数学与计算机科学（软件）学院
基本内容(可续页):
第一篇极限论
变量与函数，极限与连续，实数的基本定理及闭区间上连续函数性质证明。
第二篇单变量微积分学
1．单变量微分学：导数与微分，微分学基本定理及导数的应用。
2．单变量积分学：不定积分与定积分的概念、性质与计算，定积分存在的条件，定积分的
应用。
第三篇级数
1．数项级数的性质与敛散性判别，反常积分性质与敛散性判别。
2．函数项级数的性质与一致收敛性判别，幂级数，Fourier级数与Fourier变换。
第四篇多变量微积分学
1．多元函数的极限与连续性。
2．多变量微分学: 偏导数和全微分,极值和条件极值,隐函数存在定理、函数相关。
3．含参变量的积分和反常积分的概念与性质，含参变量广义积分的一致收敛及判别法。
4．多变量积分学：积分(二重、三重积分，曲线、曲面积分)的定义和性质,重积分的计算及应用,曲线积分和曲面积分的计算,各种积分间的联系和场论初步。
参考书目(须与专业目录一致)(包括作者、书目、出版社、出版时间、版次)：
1．教材：《数学分析》（上、下），复旦大学数学系欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋
编著，高等教育出版社，2018年8月，第四版。
2．教学参考书：
[1].《数学分析简明教程》（上、下），邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，2006年
12月，第二版。
[2].《数学分析》（上、下），华东师大数学系编，高等教育出版社，2010年7月，第四版。
数学分析考研重点内容及常见题型
数学分析考研重点内容及常见题型数学分析是高等院校数学类各专业主干课程之一，是数学各专业硕士研究生入学考试的必考课程.数学分析内容丰富，知识面广，综合性强，理论体系严谨，解题方法灵活巧妙.主要包括一元函数极限、一元函数的连续性、一元微分学、一元函数积分学、级数、多元函数微分学、多元函数积分学等，分别涉及七章内容[1，2].学生在复习考研数学分析时，主要通过例题体会和掌握相应内容的思想方法和解题技巧，通过习题训练达到巩固基础知识，提高理论水平和应用能力.如何掌握好该课的基本内容并能熟练地运用其中的基本技巧至关重要.本文作者根据多年的教学研究与实践，依据考研大纲[3，4]，结合高等院校硕士研究生的入学考试试题，对考研数学分析的重点内容及常见题型进行归纳和总结，使其所涉及的知识点之间相互关系清晰明了，同时也将数学分析课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可供学生考研复习数学分析时参考，对教师进行数学分析教学也具有参考价值.1 一元函数极限极限是考研热点问题.本章包含四个部分，即函数；用定义证明极限的存在性；求极限值的若干方法；O.Stolz公式.其中极限的求法是核心.重点内容：（1）极限定义，基本理论.（2）几个常用的不等式.（3）极限存在性的证明.（4）极限的求法.（5）实数基本定理.常见题型：（1）几个常用的不等式的证明.（2）用定义证明极限.（3）利用单调有界原理证明极限存在.（4）求极限（利用等价量、利用已知极限、利用两边夹法则、利用洛必达法则、利用Taylor公式、利用定积分定义、利用级数收敛的必要条件）.（5）实数基本定理的应用.2 一元函数的连续性本章包含连续性的证明、连续性的应用、一致连续、半连续、函数方程.重点内容：（1）函数连续性的证明，证明的主要方法有：用定义证明、用左右极限证明（对分段函数）、用归结原则证明.（2）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（3）一致连续性.常见题型：（1）直接证明函数在某区间或某点连续.（2）讨论间断点的类型.（3）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）.（4）利用一致连续的定义及其否定形式证题.（5）Cantor定理的应用.（6）借助连续模数证明一致连续.3 一元微分学本章是基础性内容，包含导数；微分中值定理；Taylor公式；不等式与凸函数；导数的综合应用.一元函数微分学在微积分学中占有极重要的位置，是微积分学的重要内容之一.重点内容：（1）函数导数与微分的概念.（2）微分中值定理——罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理与泰勒中值定理.（3）Taylor公式.（4）导数的应用.常见题型：（1）利用导数（或左右导数）定义解题.（2）求函数的高阶导数.（3）函数零点问题讨论（利用Rolle定理证明零点的存在性，利用单调性证明零点的唯一性）.（4）利用Lagrange定理证明函数与函数的导数同时存在的命题.（5）利用导数法证明恒等式.（6）导数介值性的应用.（7）利用Cauchy中值定理证题.（8）利用Taylor公式证明含有高阶导数的命题.（9）利用Taylor 公式作导数的中值估计、界的估计.（10）利用Taylor公式求极限.（11）不等式的证明（利用单调性、微分中值定理、Taylor公式、函数的极值、单调极限证明）.（12）导数在几何中的应用.4 一元函数积分学本章包含积分与极限、定积分的可积性、积分值的估计、积分不等式及定积分的应用、若干著名的不等式、反常积分.一元函数积分学是一元函数微积分学的最重要内容，涉及面较广，影响深远.重点内容：（1）定积分的定义、几何意义、性质.（2）利用定积分定义求极限.（3）积分的极限.（4）积分值的估计.（5）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）.（6）反常积分的概念、计算、敛散性的判断.常见题型：（1）利用定积分的定义求和式的极限.（2）运用定积分的各种特性和运算法则求积分的极限.（3）利用变量替换、分部积分、缩放被积函数或积分区间、微分中值公式或Taylor公式对被积函数进行变形，从而估计积分值.（4）几个著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）的证明、变形及应用.（5）利用Newton-Leibniz公式、变量替换、分部积分法计算反常积分.（6）判定反常积分的敛散性.（7）讨论无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限的关系.5 级数级数是一门工具，又有完善的理论，是《数学分析》课程中三大基本内容之一.历年来均为考研热点.本章包含数项级数、函数项级数、幂级数及Fourier级数四个部分.重点内容：（1）数项级数敛散定义，正项级数敛散判别法（Cauchy准则、判阶法、比较判别法、根式判别法等），变号级数收敛性判别法.（2）函数项级数（及序列）一致收敛的定义及判别法.（3）一致收敛级数的性质（三大解析性质：连续性、可积性、可微性）.（4）幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数的性质.（5）傅立叶级数——傅立叶级数的概念，函数展开成傅立叶级数，正弦级数与余弦级数.常见题型：（1）利用Cauchy准则证明级数敛散性.（2）利用判阶法及比较判别法证明正项级数敛散性.（3）利用部分和有界证明正项级数收敛.（4）利用Leibniz定理、Abel判别法、Dirichlet判别法研究变号级数收敛性.（5）利用级数收敛的必要条件求极限或证明极限存在.（6）函数项级数一致收敛的证明（利用定义、Cauchy准则、M判别法、A-D判别法）.（7）一致收敛级数逐项取极限定理及其应用.（8）和函数连续性、可微性、可积性的应用.（9）求幂级数收敛半径、收敛域及和函数（将级数通过代数运算、变量置换、逐项求导、逐项积分等手段化成已知和函数的级数，如几何级数，从而求得和函数）.（10）求某些数项级数的和（由定义求部分和数列的极限，或将其看作某个幂级数或某个傅立叶级数在某点处的值，先求出该幂级数或傅立叶级数的和函数，再求出该数项级数的和）.6 多元函数微分学本章包含多元函数的极限与连续、偏导数和全微分、多元函数的应用三部分.重点内容：（1）多元函数（主要是二元、三元函数）的概念、极限与连续.（2）多元函数的偏导数和全微分.（3）多元函数微分在几何上的应用.（4）多元函数的极值和条件极值.（5）方向导数和梯度.常见题型：（1）多元函数极限的计算.（2）证明二元函数极限不存在.（3）关于全面极限愈特殊路径极限的讨论.（4）求多元函数的一阶、二阶偏导数与全微分.（5）讨论二元函数连续性与可微性.（6）求复合函数的一阶、二阶偏导数.（7)对微分方程作变量替换.（8）求空间曲线的切线与法平面方程.（9）求曲面的切平面和法线方程.（10）求多元函数的极值与最大、最小值.（11）利用极值证明不等式.（12）利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.（13）证明隐函数的存在性.（14）求多元函数的方向导数和梯度.7 多元积分学本章包含含参变量积分、重积分、曲线积分与Green公式、曲面积分Gauss 公式及Stokes公式、场论等五大部分.多元函数积分学是多元函数微积分学的重要内容，涉及三大类重要积分，应用面较广.重点内容：（1）含参变量积分的正常积分、含参变量积分反常积分的一致收敛性、含参变量积分反常积分的连续性、可积性、可微性.（2）二重积分的概念、性质与计算.（3）三重积分的概念、性质与计算.（4）曲线积分的概念、性质与计算.（5）格林公式，平面上曲线积分与路径无关的充要条件.（6）曲面积分的概念、性质与计算.（7）高斯公式与斯托克斯公式.（8）梯度、散度与旋度的概念及各种公式.常见题型：（1）含参变量积分正常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（2）证明含参变量积分反常积分的一致收敛性.（3）含参变量积分反常积分的积分号下求极限、积分号下求导、积分号下求积分.（4）证明含参变量积分反常积分的连续性.（5）利用直角坐标与极坐标计算二重积分.（6）直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分.（7）二重积分、三重积分在几何和物理上的应用，如求面积、体积、质量、重心坐标、引力等.（8）曲线积分的计算（利用对称性、利用格林公式、利用与路径无关性）.（9）曲面积分的计算（利用对称性、利用公式、利用高斯公式）.（10）斯托克斯公式的应用.。
2017年福建师范大学 838线性代数与数学分析 硕士研究生考试大纲
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《线性代数与数学分析》考试大纲
《线性代数与数学分析》是全日制教育硕士专业自命题入学考试科目，旨在考查考生大学数学基础部分知识掌握程度，为教育硕士专业学习提供最基本的数学知识支撑。
一、命题原则
1.线性代数：以矩阵理论、线性方程组理论为考查重点，要求考生比较系统掌握矩阵理论和线性方程组理论的基本概念、基本方法和基本的逻辑关系。
2.数学分析：以单变量微分积分学为考核重点，特别是数列极限、函数极限、函数连续性、导数及其应用、积分及其应用等为主要考试内容，要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握分析领域的基本研究方法。
3.线性代数与数学分析的内容比例各占50%。
二、考试形式与时间要求
考试形式为笔试，时间为180分钟
三、题型及各分数比例
1．选择题：约20%
2．填空题：约20%
3．计算题：约40%
4．证明题：约20%
四、难度要求
试题难度系数约为0.6
五、参考书目
1.邱维声，《高等代数》，高等教育出版社，2004年。
2.张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社，1983年。
3.北京大学数学系，《高等代数》，高等教育出版社，1988年
4.华东师范大学数学系，《数学分析》，高等教育出版社，2001年。
5.陈纪修，《数学分析》，高等教育出版社，2004年。
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[1].《数学分析简明教程》（上、下），邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，2006年12月，第二版。
[2].《数学分析》（上、下），华东师大数学系编，高等教育出版社，2010年7月，第四版。
说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
3．含参变量的积分和反常积分的概念与性质，含参变量广义积分的一致收敛及判别法。
4．多变量积分学：积分(二重、三重积分，曲线、曲面积分)的定义和性质,重积分的计算及应用,曲线积分和曲面积分的计算,各种积分间的联系和场论初步。
参考书目(须与专业目录一致)(包括作者、书目、出版社、出版时间、版次)：
1．教材：《数学分析》（上、下），复旦大学数学系欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编著，高等教育出版社，2007年4月，第三版。
2．单变量积分学：不定积分与定积分的概念、性质与计算，定积分存在的条件，定积分的应用。
第三篇级数
1．数项级数的性质与敛散性判别，反常积分性质与敛散性判别。
2．函数项级数的性质与一致收敛性判别，幂级数，Fourier级数与Fourier变换。
第四篇多变量微积分学
1．多元函数的极限与连续性。
2．多变量微分学:偏导数和全微分,极值和条件极值,隐函数存在定理、函数相关。
福州大学
2015年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
•考试科目名称:《数学分析》
•招生学院和专业：数学与计算机科学（软件）学院
基本内容(可续页):
第一篇极限论
变量与函数，极限与连续，实数的基本定理及闭区间上连续函数性质证明。
第二篇单变量微积分学
1．单变量微分学：导数与微分，微分学基本定理及导数的应用。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答Βιβλιοθήκη 全部考题，略有一些时间进行检查和思考。