人教版九年级数学上册《正多边形和圆形》圆PPT优质课件
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A. ①②④
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②③
课堂练习
题1【解析】首先由垂径定理确定③正确，再由在OO中
，OA=AB，确定△OAB是等边三角形，即可得到
∠A0B=60°，得到①正确，又由垂径定理，求得
∠AOC=30°，得到②正确，根据同弧所对圆周角等于其
对圆心角的一半，即可求得∠BAC=15°，则问题得解结
第二十四章
圆
24.3 正多边形和圆
情境引入
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经
常能看到的利用正多边形得到的物体，你能
从这些图案中找出正多边形吗？
你还能举出一些这样正多边形的例子吗？
情境引入
你知道正多边形和圆有关系吗？怎样就能作出一个正
多边形来？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边的边心距。
知识要点
正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、
正多边的边心距r之间的等量关系：①正n边形的
360⁰
2
中心角=
；②（ ） +r2=R2；③正n边形的面
2
积=n个等于三角形面积或者2n个直角三角形面
积。
知识要点
画正多边形的方法。
360⁰
方法一：用量角器作一个等于
的圆心角。
方法二：尺规作正方形、正六边形等。
课堂练习
例1：如图所示，以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长
为三边作三角形，（ B ）。
A. 这个三角形是等腰三角形
B. 这个三角形是直角三角形
C. 这个三角形是锐角三角形
D. 不能构成三角形
课堂练习
1
360⁰
方法一：用量角器作一个等于
的圆心角。
方法二：尺规作正方形、正六边形等。
论正确的有①②③。
小练习
2. 已知A、B两点，如图24-3-8所示，求作：过A、B两点的OO及OO的
内接正六边形ABCDEF。（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不
必写作法及证明）
【解析】首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次
连接六个等分点即可。如图。
知识要点
正多边和圆的有关概念：
分点，即可得到正六边形（图右）。
探索新知
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直
尺来作。例如，我们也可以这样来作正六边形
。由于正六边形的边长等于半径，所以在半径
为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆
六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的
正六边形（图右上）。再如，用直尺和圆规作
两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从
的零件，也需要等分圆周。
探索新知
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此
作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相
应的正多边形.例如，画一个边长为1.5cm的正
六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，
360⁰
用量角器画一个等于
6
= 60⁰的圆心角，它
对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相
等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五
边形ABCDE的外接圆。
探索新知
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这
个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多
边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的
一边的距离叫做正多边形的边心距。
的正六边形，求地基的周长和面积（结果保
留小数点后一位）。
探索新知
问题一
解：如图，连接0B，OC。因为六边形ABCDEF是正
360⁰
六边形，所以它的中心角等于
，∆OBC是等边三
60⁰
角形，从而正六边形的边长等于它的半径。因此，亭
子地基的周长 = 6 × 4 = 24（m）。作OP⟂BC，垂
探索新知
思考：
（1）正多边形的中心角怎么计算？
➢
360°
正n边形的中心角=
。
（2）边长a、半径R、边心距r有什么关系？
➢
2
2
+ 2 = 2。
（3）正多边形的面积有如何计算呢？
➢ 正n边形的面积=n个等于三角形面积或者2n个直
角三角形面积。
探索新知
问题一
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m
等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆。
探索新知
如图，把OO分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。
=
=
∵=
=，
∴AB=BC=CD=DE=EA，=Leabharlann =。∴∠A=∠B。
同理∠B=∠C=∠D=∠E。
2
例1【解析】如图所示，①因为OC=1，∠OCD=30°，所以OD= ；②因为OB=1，
2
2
1
2
3
2
∠0BE=45°，所以OE= ；③因为OA=1，∠A0D=30°，所以AD= ，OD= 。因
1 2
2 2
3 2
为（ ） +（ ） =（ ） ，所以这个三角形是直角三角形。故选B。
2
2
2
课堂练习
例2：在下图上画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形。（画图工具不限
而作出正方形（图右下）。
知识梳理
知识点1：正多边形的计算。
正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、
正多边的边心距r之间的等量关系：①正n边形的
360⁰
2
中心角=
。②
2
+ 2 = 2。③正n边形的面积
=n个等于三角形面积或者2n个直角三角形面积。
知识梳理
知识点2：正多边形的画法。
足为P。在Rt∆OPC中，OC=4m，PC=
2
=
4
（m），
2
利用勾股定理，可得边心距 = 42 − 22 = 2 3。亭
子地基的面积 =
1
2
1
2
= × 24 × 2 3 ≈ 41.6(2)。
探索新知
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比
如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等
，这些问题都与等分圆周有关。要制造如图中
，但要保留画图痕迹）
【解析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形及正三角
形即可。如图。
小练习
1.如图，在⊙O中，0A=AB，OC⟂AB，则下列结论正确的是（ D ）。
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC的长等于圆内接正十二
边形的边长；③弧AC=弧BC；④∠BAC=30°。
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②③
课堂练习
题1【解析】首先由垂径定理确定③正确，再由在OO中
，OA=AB，确定△OAB是等边三角形，即可得到
∠A0B=60°，得到①正确，又由垂径定理，求得
∠AOC=30°，得到②正确，根据同弧所对圆周角等于其
对圆心角的一半，即可求得∠BAC=15°，则问题得解结
第二十四章
圆
24.3 正多边形和圆
情境引入
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经
常能看到的利用正多边形得到的物体，你能
从这些图案中找出正多边形吗？
你还能举出一些这样正多边形的例子吗？
情境引入
你知道正多边形和圆有关系吗？怎样就能作出一个正
多边形来？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边的边心距。
知识要点
正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、
正多边的边心距r之间的等量关系：①正n边形的
360⁰
2
中心角=
；②（ ） +r2=R2；③正n边形的面
2
积=n个等于三角形面积或者2n个直角三角形面
积。
知识要点
画正多边形的方法。
360⁰
方法一：用量角器作一个等于
的圆心角。
方法二：尺规作正方形、正六边形等。
课堂练习
例1：如图所示，以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长
为三边作三角形，（ B ）。
A. 这个三角形是等腰三角形
B. 这个三角形是直角三角形
C. 这个三角形是锐角三角形
D. 不能构成三角形
课堂练习
1
360⁰
方法一：用量角器作一个等于
的圆心角。
方法二：尺规作正方形、正六边形等。
论正确的有①②③。
小练习
2. 已知A、B两点，如图24-3-8所示，求作：过A、B两点的OO及OO的
内接正六边形ABCDEF。（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不
必写作法及证明）
【解析】首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次
连接六个等分点即可。如图。
知识要点
正多边和圆的有关概念：
分点，即可得到正六边形（图右）。
探索新知
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直
尺来作。例如，我们也可以这样来作正六边形
。由于正六边形的边长等于半径，所以在半径
为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆
六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的
正六边形（图右上）。再如，用直尺和圆规作
两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从
的零件，也需要等分圆周。
探索新知
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此
作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相
应的正多边形.例如，画一个边长为1.5cm的正
六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，
360⁰
用量角器画一个等于
6
= 60⁰的圆心角，它
对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相
等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五
边形ABCDE的外接圆。
探索新知
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这
个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多
边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的
一边的距离叫做正多边形的边心距。
的正六边形，求地基的周长和面积（结果保
留小数点后一位）。
探索新知
问题一
解：如图，连接0B，OC。因为六边形ABCDEF是正
360⁰
六边形，所以它的中心角等于
，∆OBC是等边三
60⁰
角形，从而正六边形的边长等于它的半径。因此，亭
子地基的周长 = 6 × 4 = 24（m）。作OP⟂BC，垂
探索新知
思考：
（1）正多边形的中心角怎么计算？
➢
360°
正n边形的中心角=
。
（2）边长a、半径R、边心距r有什么关系？
➢
2
2
+ 2 = 2。
（3）正多边形的面积有如何计算呢？
➢ 正n边形的面积=n个等于三角形面积或者2n个直
角三角形面积。
探索新知
问题一
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m
等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆。
探索新知
如图，把OO分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。
=
=
∵=
=，
∴AB=BC=CD=DE=EA，=Leabharlann =。∴∠A=∠B。
同理∠B=∠C=∠D=∠E。
2
例1【解析】如图所示，①因为OC=1，∠OCD=30°，所以OD= ；②因为OB=1，
2
2
1
2
3
2
∠0BE=45°，所以OE= ；③因为OA=1，∠A0D=30°，所以AD= ，OD= 。因
1 2
2 2
3 2
为（ ） +（ ） =（ ） ，所以这个三角形是直角三角形。故选B。
2
2
2
课堂练习
例2：在下图上画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形。（画图工具不限
而作出正方形（图右下）。
知识梳理
知识点1：正多边形的计算。
正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、
正多边的边心距r之间的等量关系：①正n边形的
360⁰
2
中心角=
。②
2
+ 2 = 2。③正n边形的面积
=n个等于三角形面积或者2n个直角三角形面积。
知识梳理
知识点2：正多边形的画法。
足为P。在Rt∆OPC中，OC=4m，PC=
2
=
4
（m），
2
利用勾股定理，可得边心距 = 42 − 22 = 2 3。亭
子地基的面积 =
1
2
1
2
= × 24 × 2 3 ≈ 41.6(2)。
探索新知
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比
如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等
，这些问题都与等分圆周有关。要制造如图中
，但要保留画图痕迹）
【解析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形及正三角
形即可。如图。
小练习
1.如图，在⊙O中，0A=AB，OC⟂AB，则下列结论正确的是（ D ）。
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC的长等于圆内接正十二
边形的边长；③弧AC=弧BC；④∠BAC=30°。