上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编-专题三-空间几何-文

专题三 空间几何
（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的
角的大小为 .
4.【文科】
60
（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．
4
2
R π
（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，
则该几何体的体积为
2π .
杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；
（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．
（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则A
B C ∆的面积等于 ． 10、32或3；
（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为
SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH
将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1
俯视图
左视图
主视图
A B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D （第4题图）
（第13题图）
S
A
C
E
H
G
F
（文）已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．11、（理）R S V '=3
1
，（文）π6
（崇明县2013届高三一模）8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm 、圆心角为180︒的 半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 8
、
4
（青浦区2013届高三一模）19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图已知四棱锥ABCD P -中的底面是边长为6的正方形，侧棱PA 的长为8，且垂直于底面，点N M 、分别是AB DC 、的中点．求
（1）异面直线PM 与CN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四棱锥ABCD P -的表面积.
（1）解法 一：连结AM ，可证CN ∥AM ，
直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角． …………………………2分 因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,
点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在PAM Rt ∆中,8=PA ,53=AM ,
15
5
85
38tan =
=
∠PMA ,1558arctan
=∠∴PMA …………………………4分
即异面直线PM 与CN 所成角的大小为
15
5
8arctan ．…………………………6分 （崇明县2013届高三一模）20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）
（文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ，
2CA CB CD BD ====．
（1）求三棱锥A BCD -的体积； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．
A
B
E
O
D
C
P
（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．
（1）求证：11B E AD ⊥；
（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．
20、（理科） （1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，1(0,1,1)AD =. 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥。

另解：11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥，
111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
面A 。

11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。

（2）因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==，
所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n ，同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n ， 设二面角A-B 1E-A 1为α，
则1212cos =n n n n α⋅=
⋅=6
π
α所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为
6
π
. （文科）
（1）因为
AO=1
所以113V =
=。

（2）因为O 、E 为中点，所以OE//CD ，所以AEO ∠的大小即为异面直线
AE 与CD 所成角。

在直角三角形AEO 中，=
4
AEO π
∠，所以异面直线AE 与CD 所成角的大小为
4
π
（虹口区2013届高三一模）19、（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 的
A B C
E
D A 1
D 1
B 1
C 1
长为52，PA 与CD 所成的角的大小等于5
10arccos ． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；
（2）若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．
（宝山区2013届期末）19. (本题满分12分)
如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，且
2AB AC ==，∠=90BAC ，E 是1AA 的中点，O 是11C B 的中点.求异面直线1C E 与BO 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
C
C1
B1
B
解：由18V S AA =⋅=得14AA =，………………………3分 取BC 的中点F ，联结AF ，EF ，则1//C F BO ，
所以1EC F ∠即是异面直线1C E 与BO 所成的角，记为θ． ………………………5分
2118C F =，218C E =，26EF =，………………………8分 22211115
cos 26
C F C E EF C F C E θ+-==⋅，………………………11分
因而5
cos 6
arc θ=………………………………………………12分
B
B1
C1
A
C
F
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
E E
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
F
（黄浦区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满
分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．
（1）求三棱锥E ADF -的体积； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵F 是AC 的中点， ∴11
2122
CDF
ADC S S ∆∆==⨯=， ………………3分 又CE ⊥平面ABCD ，即CE ⊥平面CDF ，
故111
11333
E CD
F CDF V S CE -∆=⋅=⋅⋅=，
所以三棱锥E ADF -的体积为1
3
．………………6分
（2）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，
可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． ………………… 8分 ∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥， 在Rt △1BCD 中，2BC =
，1D C =
∴11tan D C
D BC BC
∠=
=
1D BC ∠=． 所以异面直线EF 与BC
所成的角为 ………………………… 12分 （嘉定区2013届高三一模 文科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求三棱锥ABC P -的体积V ；
（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
P A B
A B 1
C
（1）因为⊥PA 底面ABC ，所以三棱锥ABC P -的高PA h =，…………（3分）
所以，3
4
213131=⋅⋅⋅⋅==PA BC AC Sh V ．…………（6分） （2）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，
所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）
连结AG ，则522=+=
CG AC AG ，……（3分）
622=+=AG EA EG ， …………（4分）
又22==PC AB ，所以2=
=FG EF ．…………（5分）
在△EFG 中，2
1
2cos 222-=⋅-+=
∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7
分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）
（浦东新区2013届高三一模 文科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒
∠=.
（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1AC 所成的角.
解：（1）122242
V =⋅⋅⋅=；…………………………………6分
（2）设M 是1AA 的中点，连结,DM BM ，1//DM AC ∴,
BDM ∴∠是异面直线BD 与1AC 所成的角.………8分
在BDM ∆中，BD BM MD = 2
2
2
cos BDM +-
∠=
=
.…………………………………10分 即arccos
10
BDM ∠=.∴异面直线BD 与1
AC 所成的角为.…………12分 （杨浦区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满
G P A
B
F
E
分5分，第2小题满分7分 ．
如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点，
（1）求三棱锥ABC P -的体积；
（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分
所以 ，体积
33
831=
=∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，
所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，
EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分
在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，
所以，
315
tan =
θ. ………12分
(其他解法，可参照给分)
P
A B
C D
E。