高三物理总复习(专题攻略)之数学方法在物理学中的应用及高考题型答题技巧 数学方法在物理学中的应用(一

数学方法在物理学中的应用（一）物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。

可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。

复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。

在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。

在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。

一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。

1．利用三角函数求极值y ＝acos θ＋bsin θ＝ ( + )令sin φ＝，cos φ＝则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2时，y 有最大值，且y max ＝。

【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=33,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?解得:F =αμαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin )= (sin cos + cos sin ) = sin(+ )其中 sin = ，cos =，即 tan = 。

当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。

F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。

带入数据得 F min = 100N,此时 = 30 。

【答案】 100N 与斜面夹角为30【名师点睛】 根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。

2．利用二次函数求极值二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a(若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)。

【典例2】 在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿直道建立xOy 坐标系。

在t=0时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v 0=k m/s 沿 -x 轴方向做匀速直线运动,乙车沿 +y 方向运动,其坐标为(0,y),y 与时间t 的关系为y= t k 221+m,关系式中,k>0,问:(1)当k 满足什么条件时,甲、乙两车间的距离有最小值,最小值为多大?(2)当k 为何值时,甲车运动到O 处,与乙车的距离和t=0时刻的距离相同?(2)当t=0时,甲车坐标为(1,0),乙车坐标为(0,1),此时两车距离s 0= 2m当甲车运动到O 处时,kt=1 m,乙车y=t k 221+ m= 2m两式联立解得:k=21。

【答案】见解析【名师点睛】根据物体满足的物理规律建立起已知量与所求量之间的函数关系,若这个函数关系是二次函数,则可用二次函数求极值。

二次函数求极值,是物理解题中经常用到的数学方法之一,应很好掌握。

3．均值不等式对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24； 对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q 327。

【典例3】 一轻绳一端固定在O 点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度地释放,如图所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值?【解析】如图所示,当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时,重力的功率:P =mgv cos α=mgv sin θ小球从水平位置到图中C 位置时,由机械能守恒有mgL cos θ=mv 2【答案】当细绳与竖直方向的夹角余弦值为cos θ=33时,重力的瞬时功率取得最大值 【名师点睛】重力的瞬时功率与物体速度及速度和重力间的夹角有关,正确找到重力的瞬时功率的表达式是解题的前提,利用不等式求极值成为解题的关键所在。

二、图象求解法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解,若能与数学图形相结合,再恰当地引入物理图象,则可变抽象为形象,突破难点、疑点,使解题过程大大简化。

图象法是历年高考考查的热点,因而在复习中要密切关注图象,掌握图象的识别、绘制等方法。

运用图象法解题要注意理解图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的物理意义。

点:图线上的每一个点对应研究对象的一个状态。

要特别注意“起点”“终点”“拐点”“交点”,它们往往对应着一个特殊状态。

如有的速度图象中,拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大),即加速度的方向发生变化的时刻,而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻。

线:注意观察图线是直线、曲线还是折线等,从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系。

斜率:表示纵、横坐标上两物理量的比值。

常有一个重要的物理量与之对应,用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢。

如 v-t 图象的斜率表示加速度。

截距:表示纵、横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小。

由此往往可得到一个很有意义的物理量。

如电源的U-I 图象反映了U=E-Ir 的函数关系,两截距点分别为(0,E)和(,0)。

面积:有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小。

如v-t 图象中面积表示位移。

【典例4】 总质量为80 kg 的跳伞运动员从离地500 m 的直升机上跳下，经过2 s 拉开绳索开启降落伞，图是跳伞过程中的v －t 图象，试根据图象求：(取g ＝10 m/s 2)(1)t ＝1 s 时运动员的加速度和所受阻力的大小。

(2)估算14 s 内运动员下落的高度及克服阻力做的功。

(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。

(2)v －t 图象与t 轴所包围的面积表示位移，由图象可知14 s 内该面积包含的格子为39格所以h ＝39×2×2 m ＝156 m根据动能定理，有：mgh －W f ＝12mv 2 所以W f ＝mgh －12mv 2＝(80×10×156－12×80×62) J ≈1.23×105 J 。

(3)14 s 后运动员做匀速运动的时间为：t ′＝H －h v ＝ 500－1566s ≈ 57 s 运动员从飞机上跳下到着地所需要的总时间为：t 总＝t ＋t ′＝(14＋57) s ≈ 71 s 。

【答案】 (1)160 N (2)1.23×105 J (3)71 s【名师点睛】 对于本题，应明确v －t 图象中“面积”的含义，在数小方格个数时需注意合理取舍，即大于半格的算1个，小于半格的舍去。

【典例5】 一辆汽车在平直的公路上由静止出发,v-t 图象如图所示,已知该汽车在前4 s 的时间内行驶了20 m,则4 s 末汽车的速度v 的大小为( )。

A.v=5 m/sB.5 m/s <v<10 m/sC.v>10 m/sD.v=10 m/s【疑惑】物体做何种运动?末速度大小范围怎样确定?【解析】若汽车从静止开始做匀加速直线运动,并且在4 s 的时间内行驶20 m 的位移,在图中画出其v-t 图象如图乙所示,那么当图中面积1和面积2相等时,汽车在4 s 末的速度为v 1==10 m/s 。

从图中可知汽车速度小于10 m/s 。

【名师点睛】用图象法解题可将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图象直观、简明的特点,这样不但快速、准确,而且还可以避免繁杂的中间运算过程,甚至可以解决用计算分析无法解决的问题。

三、数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。

该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。

无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。

等差：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d (d 为公差)。

等比：S n ＝a 1(1－q n )1－q (q 为公比)。

【典例6】 一小球从h 0=45 m 高处自由下落,着地后又弹起,然后又下落,每与地面相碰一次,速度大小就变化为原来的k 倍。

若k=21,求小球从下落直至停止运动所用的时间。

(g 取10 m/s 2,碰撞时间忽略不计)则第n 次碰地后,小球的运动速度的通项公式为 v n = k n运动时间t n = = 2 k n所以，小球从下落到停止运动的总时间为t= t 1 + t 2 +…= + 2k + 2k 2 + …= + 2(k+k 2+…+k n+…) 上式括号中是一个无穷等比递缩数列，由无穷等比递缩数列求和公式并代入数据得t = 9s【答案】9s。