材料力学习题解答(弯曲应力)

6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确
定此梁横截面的尺寸。

解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：
2max
2
ql M = (2) 计算抗弯截面系数
32
323669
h
bh h W === (3) 强度计算
2
2max
max 33912[]29
416 277ql M ql h W
h h mm b mm
σσ=
==⋅≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。

解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：
No20a x
ql 2
x
max 23
P M =
(2) 查表得抗弯截面系数
6323710W m -=⨯
(3) 强度计算
max max 66
22
3[]
33[]3237101601056.8822
P
M P W W W
W P kN
σσσ-===⋅≤⨯⨯⨯⨯∴≤== 取许可载荷
[]57P kN =
6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。

试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。

解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值
C 截面：
3max
33
32 1.341063.20.0632
C C C C C M M MPa d W σππ⨯⨯====⨯ B 截面：
3max
34
3444
0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B
B B B M M MPa D d W D σππ⨯====⨯-- (3) 轴内的最大正应力值
MPa C 2.63max max ==σσ
x
6.5. 把直径d =1 m 的钢丝绕在直径为2 m 的卷筒上，设E =200 GPa ，试计算钢丝中产生的
最大正应力。

解：(1) 由钢丝的曲率半径知
1
M E M EI I
ρ
ρ=
∴= (2) 钢丝中产生的最大正应力
93
max
200100.510100 1
MR ER MPa I σρ-⨯⨯⨯====
6.8. 压板的尺寸和载荷如图所示。

材料为45钢，σs =380 MPa ，取安全系数n=1.5。

试校核
压板的强度。

解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：危险截面是A 截面，截面弯矩是
308A M Nm =
(2) 计算抗弯截面系数
2323
63330.030.0212(1)(1) 1.568106620
bH h W m H -⨯=-=-=⨯
(3) 强度计算
许用应力
380
[]2531.5
S
MPa n
σσ=
=
= 强度校核
max 6
308
196[]1.56810A M MPa W σσ-=
==⨯ 压板强度足够。

1A-A
x
6.12. 图示横截面为⊥形的铸铁承受纯弯曲，材料的拉伸和压缩许用应力之比为
[σt ]/[ σc ]=1/4。

求水平翼缘的合理宽度b 。

解：(1) 梁截面上的最大拉应力和最大压应力
()
[][]11,max ,max ,max 1,max 11400 4001
4
320 t c z
z
t t c c M y My I I y y y mm
σσσσσσ-=
=
-====
(2) 由截面形心位置
()()304006017060370
320
304006060510 i Ci
C
i
A y b y A
b b mm
⨯-⨯+⨯⨯=
=
=⨯-+⨯=∑∑
6.13. ⊥形截面铸铁梁如图所示。

若铸铁的许用拉应力为[σt ]=40 MPa ，许用压应力为
[σc ]=160 MPa ，截面对形心z c 的惯性矩I zc =10180 cm 4，h 1=96.4 mm ，试求梁的许用载荷P 。

解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是A 和C 截面 (2) 强度计算
A 截面的最大压应力
B
z C x
()22
max 8
6
3
20.8[][]101801016010
132.60.80.825096.410A C C zC zC
zC C M h Ph I I I P kN h σσσ--=
=≤⨯⨯⨯∴≤
==-⨯
A 截面的最大拉应力
11
max 8
6
310.8[][]10180104010
52.80.80.896.410A t t zC zC
zC t M h Ph I I I P kN h σσσ--=
=≤⨯⨯⨯∴≤
==⨯⨯
C 截面的最大拉应力
()22
max 8
6
3
20.6[][]10180104010
44.20.60.625096.410C t t zC zC
zC t M h Ph I I I P kN h σσσ--=
=≤⨯⨯⨯∴≤
==-⨯
取许用载荷值
[]44.2P kN =
6.14. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。

许用拉应力[σl ]=40 MPa ，许用压应力[σc ]=160
MPa 。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载荷不变，但将T 形截面倒置成为⊥形，是否合理？何故？
解：(1) 画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质
形心位置和形心惯性矩
42.5
72.5
2
2
2
6
4
157.5
42.5
3020021520030100157.5 30200200303020060.12510
i Ci C i zC
A
A y y mm
A
I
y dA y dy y dy m --⨯⨯+⨯⨯===⨯+⨯==⨯⨯+⨯⨯=⨯∑∑⎰⎰⎰
x
(3) 强度计算
B 截面的最大压应力
3max
6
20100.157552.4 []60.12510
B C C C zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯ B 截面的最大拉应力
3max
6
(0.23)2010(0.230.1575)
24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--⨯-===⨯
C 截面的最大拉应力
3max
6
10100.157526.2 []60.12510
C C t t zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯ 梁的强度足够。

(4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。

3max
6
20100.157552.4 []60.12510
B C t t ZC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯
梁的强度不够。

6.19. 试计算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大剪应力。

解：(1) 画梁的剪力图和弯矩图
最大剪力和最大弯矩值是
max max 15 20 Q kN M kNm ==
(2) 查表得截面几何性质
3*max
141
13.8 6z z I W cm cm b mm S
===
(3) 计算应力
最大剪应力
No16 Q
x
x
*
3max max max
151018.10.0060.138
Z Z Q S MPa bI τ⨯===⨯
最大正应力
3max max
6
2010141.814110
M MPa W σ-⨯===⨯ 6.22. 起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q=50 kN ，起重量P=10 kN 。

许用应力
[σ]=160 MPa ，[τ]=100 MPa 。

若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。

解：(1) 分析起重机的受力
由平衡方程求得C 和D 的约束反力
10 50C D R kN R kN ==
(2) 分析梁的受力
由平衡方程求得A 和B 的约束反力
x R x R B A 610 650+=-=
(3) 确定梁内发生最大弯矩时，起重机的位置及最大弯矩值
C 截面：
()(506)()
501204.17C C M x x x dM x x dx
x m
=-=-==
B
R
此时C 和D 截面的弯矩是
104.25 134.05C D M kNm M kNm ==
D 截面：
()(106)(8)()
381203.17D D M x x x dM x x dx
x m
=+-=-== 此时C 和D 截面的弯矩是
98.27 140.07C D M kNm M kNm ==
最大弯矩值是
max 140.07 M kNm =
(4) 按最大正应力强度条件设计
max
max 3
3
max 6
[]2140.0710438 2[]216010
M W
M W cm σσσ=
≤⨯∴≥==⨯⨯
查表取25b 工字钢（W=423 cm 3），并查得
*max
10
21.3z z I b mm cm S ==
(5) 按剪应力强度校核
当起重机行进到最右边时（x =8 m ），梁内剪应力最大；
最大剪力值是
max 58 Q kN =
x
Q
剪应力强度计算
*3max max max
581013.6[]220.010.213
z z Q S MPa bI ττ⨯===⨯⨯
剪应力强度足够。

6.23. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度l =1 m 。

若胶合面上的许用切
应力为0.34 MPa ，木材的许用弯曲正应力为[σ]=10 MPa ，许用切应力为[τ]=1 MPa ，试求许可载荷P 。

解：(1) 截面上的最大剪力和弯矩
max max Q P M Pl ==
(2) 梁弯曲正应力强度条件
max max 2262[]16
[]10100.10.15 3.75 661
M Pl
W bh
bh P kN
l σσσ=
=≤⨯⨯⨯≤==⨯ (3) 梁弯曲切应力强度条件
max max 6
33[]222[]21100.10.1510 33
Q P
A bh
bh P kN
τττ=
=≤⨯⨯⨯⨯≤== (4)胶合面上切应力强度条件
2222max 13363
122
22[]244212
[]0.34100.10.15 3.825 0.15660.02544z Q h P h y y bh I bh P kN h y τττ⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⨯⨯⨯⨯≤==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
许可载荷：[P ]=3.75 kN 。

6.2
7. 在图中，梁的总长度为l ，受均布载荷q 作用。

若支座可对称地向中点移动，试问移
动距离为若干时，最为合理？
A
D
解：(1) 约束反力
2
B C ql R R ==
(2) 截面上的最大正弯矩和最大负弯矩
2
2,max
2
,max 228822
ql l ql ql qla M a qa M +-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
=-
(3) 二者数值相等时最为合理
22
22822440
10.2072
ql qla qa a la l a l l
-=+-=-+===。