浙江专版2018届高考数学二轮专题复习阶段滚动检测二专题一_

阶段滚动检测(二) 专题一~专题三
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2
－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)
D ．(1,2)
解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．
2．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *
”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *
，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1
＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *
，所以必要性成立．故选B.
3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，则
f (lo
g 28)＝( )
A ．3 B.18
C ．－2
D ．2
解析：选D ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 28)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)．又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，∴f (log 28)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2.
4．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若
a 1·a 6·a 11＝33，
b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan
b 3＋b 9
1－a 4·a 8
的值是( )
A ．1 B.
22
C ．－
22
D ．－ 3
解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，
∴a 36＝(3)3,
3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3
，
∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6
1－a 26＝tan
2×
7π
3
1－
3
2
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( )
解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin x
x
2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函
数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.
法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x
x
2→＋∞，故排除选项B.当0
＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x
x
2＞0，故排除选项A 、C.选D.
6．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝c
a ＋b
，则A ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.π3或2π3
解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b
，整理得b 2＋c 2－a 2
＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π
3
，故选B.
7．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，
y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是
( )
A ．－15
B ．－9
C ．1
D ．9
解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.
8．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→
＝－9，则λ的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF ―→
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ―→－BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→＋1λBA ―→＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B. 9.已知函数f (x )＝e x
x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取
值范围为( )
A ．(－∞，e]
B ．[0，e]
C ．(－∞，e)
D ．[0，e)
解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2x 2＋1x ＝
x －
⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x
x －k x 2
(x >0)．设g (x )＝e
x
x
，则g ′(x )
＝
x －
x
x 2
，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e
x
x
与y ＝k 的图象可知，要满足题
意，只需k ≤e，故选A.
10．(2017·沈阳二中模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，
f ′(x )
g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x
g (x )(a >0且a ≠1)，
f g
＋
f －
g －
＝5
2.若数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫f n g n (n ∈N *
)的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
解析：选C 由⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤f x g x ′＝f
x g x －f x g
x
g 2x
>0，知
f x
g x
在R 上是增函数，即
f x
g x ＝a x
为增函数，所以a >1.又由f g
＋
f －
g －
＝a ＋1a ＝52，得a ＝2或a ＝12(舍)．所
以数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
f
n g
n 的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n
1－2
＝2
n ＋1
－2>62，即2n
>32，得n >5，所
以n 的最小值为6.故选C.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)
11．(2017·杭州模拟)若2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.
解析：由已知条件，2sin α＝5＋cos α，将两边平方，结合sin 2
α＋cos 2
α＝1，可求得sin α＝255，cos α＝－55，∴tan α＝－2，∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－2－11＋－＝3.
答案：25
5
3
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2， x ≤－1，
x －
x |－，x >－1，则f (f (－2))＝________，若
f (x )≥2，则x 的取值范围为________．
解析：f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝2，f (f (－2))＝f (2)＝0.当x ≤－1时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－2≥2，解得x ≤－2；
当x >－1时，f (x )＝(x －2)(|x |－1)＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x －－x －，－1<x ≤0，x －
x －
，x >0.
当－1<x ≤0时，由
(x －2)(－x －1)≥2，解得x ＝0，当x >0时，由(x －2)·(x －1)≥2，解得x ≥3.综上，x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)．
答案：0 (－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)
13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π
4
，b ＝6，△ABC 的面
积为3＋32
，则c ＝_______，B ＝________.
解析：由题意得△ABC 的面积等于12bc sin A ＝62c ×22＝3＋3
2，解得c ＝3＋1，则由余弦
定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(6)2
＋(1＋3)2
－2×6×(1＋3)×2
2
＝4，解得a ＝2，则由正弦定理得b sin B ＝a
sin A
，即sin B ＝
b sin A a ＝32，又因为b <
c ，所以B ＝π
3
. 答案：3＋1
π3
14．(2017·萧山中学模拟)设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比
q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：因为a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2
，解得q ＝2，所以S n ＝1－2n
1－2
＝2n
－1.
答案：2 2n －1
15．已知△ABC 的面积是4，∠BAC ＝120°.点P 满足BP ―→＝3PC ―→
，过点P 作边AB ，AC 所在直线的垂线，垂足分别是M ，N ，则PM ―→·PN ―→
＝________.
解析：不妨设△ABC 是等腰三角形，因为∠BAC ＝120°，则B ＝C ＝30°，b ＝c ，S △ABC ＝1
2
bc sin
A ＝
34b 2＝4，b 2＝1633
，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16 3.又BP ―→＝3PC ―→，则|BP ―→|＝
3a 4，|PC ―→|＝a 4，则|PM ―→|＝|BP ―→|sin B ＝3a 8，|PN ―→|＝|PC ―→
|sin C ＝a 8
，∠MPN ＝60°，所以PM ―→·PN ―→＝|PM ―→||PN ―→
|·cos 60°＝3a 8×a 8×12＝3a 2
128＝3128×163＝338
.
答案：33
8
16．(2017·嘉兴中学模拟)已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2
＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．
解析：由3a ＋b ＝a 2
＋ab 得显然a ≠1，所以b ＝3a －a
2
a －1
，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a
－a 2
)>0，即a (a －1)·(a －3)<0,1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a 2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a
2
a －1
＝
a 2＋a a －1＝a －1＋2
a －1
＋3≥2a －
2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2
a －1
，即a ＝1＋2
时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.
答案：22＋3
17．(2017·湖南岳阳一中模拟)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n
n
为{a n }的“优
值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2
n ＋1
，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任
意的n ∈N *
恒成立，则实数k 的取值范围是________．
解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n
＝2n ＋1
，
所以a 1＋2a 2＋…＋2
n －1
a n ＝n ×2n ＋1，①
当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2
a n －1＝(n －1)×2n ，②
①－②得2
n －1
a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，
当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，其公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *
恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125
.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤73，125
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R)． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求函数f (x )的最大值．
解：(1)∵f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，
∴最小正周期T ＝2π
2
＝π，
令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
∴k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z)，
∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．
(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭
⎪⎫54c －a cos
B ＝b cos A .
(1)若sin A ＝2
5，a ＋b ＝10，求a ；
(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .
解：∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin
B ＝sin
C ，
∵sin C ≠0，∴54cos B ＝1，即cos B ＝4
5.
(1)由cos B ＝45，得sin B ＝3
5，
∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝2
3，
又a ＋b ＝10，解得a ＝4.
(2)∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2
－8c ，即c 2
－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×10×3
5
＝15.
20．(本小题满分15分)已知f (x )＝x －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x
，其中e 是自然对数
的底数．
(1)判断f (x )的单调性并求其极值； (2)求证：f (x )>g (x )＋12
.
解：(1)∵f ′(x )＝1－1x ＝x －1
x
，x ∈(0，e]，
∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值．
(2)证明：∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，
令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，则h ′(x )＝1－ln x
x 2，
当0<x ≤e 时，h ′(x )≥0，h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ＋1
2<1＝f (x )min .
∴f (x )>g (x )＋1
2
.
21．(本小题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；
(2)设函数f (x )＝log 13
x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1
b n
.
解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝1
3
.
n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .
∴a n ＝1
3
a n －1.
∴数列{a n }是首项和公比均为1
3的等比数列．
(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n
，则f (a n )＝log 13a n ＝n .
∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋
2
.
∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1 ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1－
1n ＋1＝2n
n ＋1
. 22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2
n 2 017＋a n (n ∈N *
)．
(1)求证：a n ＋1>a n; (2)求证：a 2 018<1；
(3)若a k >1，求正整数k 的最小值． 解：(1)由a n ＋1－a n ＝a 2n
2 017
≥0，
得a n ＋1≥a n ，
因为a 1＝12，所以a n ≥1
2
，
因此a n ＋1－a n ＝a 2n
2 017>0，所以a n ＋1>a n .
(2)由已知得1
a n ＋1＝
2 017a n
a n ＋2 017＝1a n －1
a n ＋2 017
，
所以1a n ＋2 017＝1a n －1
a n ＋1
，
由
1a 1＋2 017＝1a 1－1a 2，1a 2＋2 017＝1a 2－1
a 3
，…，
1a n －1＋2 017＝1a n －1－1
a n ，
累加可得1a 1－1
a n
＝
1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1
a n －1＋2 017
.
当n ＝2 018时，由(1)得1
2＝a 1<a 2<a 3<…<a 2 017，
所以1a 1－1a 2 017
＋
1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1a 2 017＋2 017<2 017×1
a 1＋2 017
<1.
所以a 2 018<1.
(3)由(2)得1
2＝a 1<a 2<a 3<…<a 2 018<1，
所以1a 1－1a 2 019
＝
1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1a 2 018＋2 017>2 018×1
1＋2 017
＝1.
所以a 2 018<1<a 2 019，又因为a n ＋1>a n ， 所以k 的最小值为2 019.。