工程数学考试

1、图的分类(按边的重数): 第五章图的基本概念的第7页
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边，则这几
条边称为平行边，
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边； 3) 两结点vi , vj 间相互平行的边的条数称为边(vi , vj )或 <vi , vj >的重数； 4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无环的线图称为简单图。

2．数值分析
10/11
例3 用追赶法解三对角方程组
123421613212
4203
51x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦⎣
⎦2
121/2
13215/24/52
422
12/55/63
53
5/2A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢
⎥=→⎢⎥⎢⎥
----⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣
⎦
解：计算过程用Q=L+U-I 4形式
11/11
211/2
15/2
1
4/5,212/5
1
5/63
5/21L U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣
⎦
故
解Ly=f ，得[]
3,
8/5,4/3,
2T
y =解Ux=y ，得方程组的解
[]
5,
4,
3,
2T
x =
3．
8/17
⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------=000
00,00003223113123
2
1
3231
21
n n n n n n a a a a a a U a a a a a a L 于是
111()(),B D L U D D A I D A ---=+=-=-1f D b
-=称B 为雅可比迭代矩阵
(1)
2k x +(1)
1
k x +例2 将例1中的方程组及迭代格式（2.4.1）做下修改：
尽量利用最新计算信息，如计算时，由于(1)1k x +()
1k x 已算出，所以用，而不用,则迭代格式（2.4.1）
变为
，
AX=B
请写出相应的雅可比迭代格式
X k ＋1＝bx k ＋1＋f
4．最优化
5．排列与组合
例4 数510510能被多少个不同的奇数整除？
6．4.2 鸽笼原理与容斥原理
例4 求从1到1000的整数中不能被5,6,和8中任何一个整除的整数个数.
66
6
k=1
k=0
510510=23571113176C(6,k)C(6,k)12163⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-=∑∑ 解：由于，所以在个不相同的奇数任意取k(k=1,2,,6)个的乘积，必能整除510510，而且这些乘积互不相同，它们的
个数为：。

{}1000
||8
Lcm 5,6,81201000(200166125) (33+25+41)-8=600
A B C A B C ⎢⎥==⎢⎥=⎣⎦=-+++ 所以
7．例7 四对夫妇前来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，夫妇不相邻，问有多少种入座方式？
{}:A 110005,B 6,C 8,10001000|A|=200,|B|=166,||1256810001000||33 |C |2530401000
|B C |41
Lcm 6,824C A B A ⎢⎥⎢⎥
===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥==⎢⎥=⎣⎦ 解设是到能被整除的数的集合是能被整除的数的集合是能被整除的数的集合而
12341234
,,,,,,, 4!/4=6 x x x x y y y y 解：设女士为其丈夫依次为。

先让女士入座，方式数为。

设女士的一种入座方式为下面左图，其题目限制条件，得棋盘和禁区棋盘如下面右图。

2
x ()(
)
(
)(
)
23
2
3
4
23
23
234
R C =
=156+R
=56156 1+61041820162 N=3!202!161!xR R x x x x
xR x x x x x x x x x x
x
x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎤⎤
++++⎥⎥
⎦⎦
++++++++
++=+++++- 从而得男士入座方式数为：
4!-82262=12
+= 由乘法规则得入座方式数为：y 1 y 2 y 3 y 4
8．三.维纳过程
维纳过程是布朗运动的数学模型。

英国植物学家布朗在显微镜下观察漂浮在液面上的微小粒子，发现它们不断地进行杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动。

根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量的随机的相互独立的分子碰撞的结果。

由中心极限定理可知，位移W(t)-W(s)为正态分布。

其次，由于微粒的运动是由液体分子不规则碰撞而引起。

因此，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向是相互独立的，即W(t)具有独立的增量。

另外，液面处于平静状态说明粒子在一段时间上位移的概率分布只依赖于这段时间的长度，而与观察的起始时刻无关，即W(t+h)-W(s+h) 与W(t)-W(s)具有相同的分布。

维纳过程的特征：
(1): W(t)是均匀独立增量。

即W(t) 是独立增量过程，并且W(t+h)-W(s+h) 与W(t)-W(s)具有相同的分布。

(2): W(t)服从正态分布。

(3): E[W(t)]=0.
(4): P{W(0) =0}=1.
例 2 在两个吸引壁之间随机游动的模型—一个质点能处在数轴上1,2,…,s这s个点中的任一位置. 一旦该质点到达1或s处,就一直留
在那里停止游动.如果在时刻t 时该质点处i 点处 ,那么,它在一个单位时间后转到i +1点处(向前)的概率为p (0<p <1), 转到i -1点处(向后)的概率为q, q =1-p. 规定该质点经过一个单位时间必须向前或向后游动且只能游动一步(在1和s 处除外). 这样一个随机游动构成一个齐次马氏链X (n ), 其中, X (n )表示时刻n 质点的位置,相应的转移概率为
对于位置i (2≤ i ≤s -1),有
转移概率矩阵为:
9．随机过程的概念
例4 设g (t )为以周期为L 的矩形波如图所示,Y 为服从两点分布的随机变量, 其分布如下:
111
ss p p ==11
0ir p r i p q r i =+⎧⎪
==-⎨⎪⎩
当当其它10000000000000000(1)000000000001q p q p P q p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
定义随机过程X (t )如下: 对任意实数 t , X (t ) =Yg (t ). 则
0.5
0.5 0.5
-1
1
Y
{}
i P Y y。