2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优 测试卷(Word版 含解析

2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷解析版
一、选择题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）
A. 点在圆内
B. 点在圆上
C. 点在圆外
D. 不能确定
2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）
A. B. C. D.
3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（）
A. 8cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 20cm
4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（）
A. 40°
B. 140°
C. 160°
D. 170°
5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。

若∠D=80°，则∠EAC的度数是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）
A. 4
5B. 3
4
C. 2
3
D. 1
2
8.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）
A. 2π+2
B. 3π
C. 5π
2D. 5π
2
+2
9.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=√2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）
A. π−1
B. π
2−1 C. π−1
2
D. π
2
−1
2
10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣1
2
x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )
A. 4√5
5B. √5 C. 5√2
3
D. 6√5
5
二、填空题（共6题；共24分）
11.在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于________°.
12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为
________．
13.小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________ cm．
14.如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC=60°，则OD= ________．
15.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是________．
16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为3
2
π，则半圆的半径OA的长为________．
三、解答题（共8题；共66分）
17.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠E的度数.
18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
20.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60度得到ΔDBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.
（1）求证：BC//AD；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.
21.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
22.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE .
（1）求证：△AEM≌△ANM .
（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.
23.如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点D．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．
24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
答案
一、选择题
1.解：∵OA ＝ 1
2 OP ＝2.5，⊙O 的半径为3， ∴OA ＜⊙O 半径，
∴点A 与⊙O 的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.
2.解：ACD 、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD 不符合题意； B 、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B 符合题意. 故答案为：B.
3.解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ， 由垂径定理得： AD =1
2AB =1
2×48=24cm ， ∵⊙O 的直径为 52cm ， ∴ OA =OE =26cm ，
在 RtΔAOD 中，由勾股定理得： OD =√OA 2−AD 2=√262−242=10cm ， ∴ DE =OE −OD =26−10=16cm ， ∴油的最大深度为 16cm ， 故答案为： C ． 4.解：∵∠BDC=20° ∴∠BOC=2×20°=40° ∴∠AOC=180°-40°=140° 故答案为：B. 5.连接OB ，
∵点B 是弧AC 的中点， ∴∠AOB ＝ 1
2 ∠AOC ＝60°，
由圆周角定理得，∠D ＝ 1
2 ∠AOB ＝30°， 故答案为：A ．
6.∵四边形ABCD 是菱形，∠D=80°， ∴∠ACB=1
2∠DCB=1
2（180°-∠D ）=50°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∠D=80°，
∴∠AEB=∠D=80°， ∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°. 故答案为：C. 7.连接AC ，
设正方形的边长为a ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=90°， ∴AC 为圆的直径， ∴AC= √2 AB= √2 a ，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： 2
π×(√22
a)=2π≈2
3 ，
故答案为：C. 8.解：如图，
点O 的运动路径的长＝ 的长+O 1O 2+ 的长＝
90·π·2180
+
45·π·2180
+
90·π·2180
＝ 5π
2 ，
故答案为：C ． 9.连接OC
∵ 点C 为弧AB 的中点 ∴∠AOC =∠BOC
在 △CDO 和 △CEO 中 {∠AOC =∠BOC
∠CDO =∠CEO =90°CO =CO
∴△CDO ≅△CEO(AAS) ∴OD =OE,CD =CE 又 ∵∠CDO =∠CEO =∠DOE =90°
∴ 四边形CDOE 为正方形 ∵OC =OA =√2 ∴OD =OE =1 ∴S 正方形CDOE =1×1=1
由扇形面积公式得 S 扇形AOB =90π×(√2)2360
=π
2 ∴S 阴影=S 扇形AOB −S 正方形CDOE =π
2−1
故答案为：B.
10.解：作QM ⊥x 轴于点M ，Q ′N ⊥x 轴于N ，
设Q( m ， −12m +2 )，则PM= m ﹣1 ，QM= −1
2m +2 ， ∵∠PMQ=∠PNQ ′=∠QPQ ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ ′=∠PQ ′N+∠NPQ ′， ∴∠QPM=∠PQ ′N ， 在△PQM 和△Q ′PN 中，
{
∠PMQ =∠PNQ ′=90°
∠QPM =∠PQ ′N
PQ =Q ′P
，
∴△PQM ≌△Q ′PN(AAS)，
∴PN=QM= −1
2m +2 ，Q ′N=PM= m ﹣1 ， ∴ON=1+PN= 3−1
2m ， ∴Q ′( 3−1
2m ， 1﹣m )，
∴OQ ′2
=( 3−12m )2
+( 1﹣m )2
= 54 m 2
﹣5m+10= 5
4 (m ﹣2)2
+5，
当m=2时，OQ ′2有最小值为5， ∴OQ ′的最小值为 √5 ， 故答案为：B. 二、填空题
11.设弦 BC 垂直平分半径 OA 于点E ，连接OB 、OC 、AB 、AC ，且在优弧BC 上取点F ，连接BF 、CF ，
∴OB=AB ，OC=AC ，
∵OB=OC ，
∴四边形OBAC 是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE ， ∵OB=OA ，OE= 1
2 , ∴cos ∠BOE= 12 ， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， ∴∠BFC= 1
2 ∠BOC=60°，
∴ 弦 BC 所对的圆周角为120°或60°， 故答案为：120或60. 12.连接OC ，
Rt △OCH 中，OC= 12 AB=5，CH= 1
2 CD=4；
由勾股定理，得：OH= √OC 2−CH 2=√52−42=3 ； 即线段OH 的长为3． 故答案为：3．
13.由 S 扇形=12
lR 得：扇形的弧长= 2×150π÷15=20π （厘米），
圆锥的底面半径= 20π÷π÷2=10 （厘米）． 故答案是：10． 14.解：连接OB 和OC ，
∵△ABC 内接于半径为2的圆O ，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，OB=OC=2， ∵OD ⊥BC ，OB=OC ， ∴∠BOD=∠COD=60°， ∴∠OBD=30°，
∴OD= 12 OB=1，
故答案为：1.
15.解：过E 点作MN ∥BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP,如下图所示，
∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC 为等腰直角三角形，
∴MB=CN= √22 EC= √22 ， 又BC=AD=CD=CE ，且CP=CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，
∴△PEC ≌△PBC(HL)，
∴PB=PE ，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE ，
∴△MPE 为等腰直角三角形，
设MP=x ， 则EP=BP= √2x ，
∵MP+BP=MB ，
∴ x +√2x =√22
，解得 x =2−√22 ，
∴BP= √2x =√2−1 ，
∴阴影部分的面积= 2S ΔPBC =2×12×BC ×BP =1×(√2−1)=√2−1 ．
故答案为： √2−1 ．
16.解：如图，连接 OC,OD,CD,
∵ 点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，
∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°,
∵OC =OD,
∴△COD 为等边三角形，
∴∠OCD=60°,
∴∠AOC=∠DCO,∴CD//AB,∴S△COD=S△BCD,
∴S
扇形OCD =S
阴影
=3π
2
，
∴60π•OA2
360=3π
2
,
解得：OA=3,（负根舍去），
故答案为：3
三、解答题
17. 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°,AD=AB,∠E=∠ACB .
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B=1
2
(180°−∠BAD)=15°，
∴∠E=∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−100°−15°=65° .
18. 解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴AO＝AC，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝1
2
AD＝3cm．
19. （1）连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴AB = AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
（2）如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，过A点作AE // BC交BD的延长线于E．
则AE
BC = AD
DC
= 2
3
，且BC=2BH，
∴AO
OH = AE
BH
= 4
3
，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2= 25
56
，
∴BH= 5√2
4
，
∴BC=2BH= 5√2
2
．
故答案为：5√2
2
．
20. （1）证明：由旋转性质得：ΔABC≅ΔDBE,∠ABD=∠CBE=60°∴AB=BD,∴ΔABD是等边三角形
所以∠DAB=60°∴∠CBE=∠DAB,∴BC//AD；
（2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为60π×4
180+60π×1
180
=5
3
π .
21. （1）证明：∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
又∠BAC=∠CFD ,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF,
四边形DBCF是平行四边形.
（2）证明：如图，连接AE
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF
∴∠AEF=∠B
四边形AECF是⊙O的内接四边形
∴∠ECF+∠EAF=180°
∵BD//CF
∴∠ECF+∠B=180°
∴∠EAF=∠B
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
22. （1）证明：由旋转的性质得：AE=AN,∠BAE=∠DAN ∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°
∴∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠MAE=∠EAN−∠MAN=90°−45°=45°
在△AEM和△ANM中，{AE=AN
∠MAE=∠MAN=45°
AM=AM
∴△AEM≅△ANM(SAS)；
（2）解：设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x
∵BM=3,DN=2
∴CM=BC−BM=x−3,CN=CD−DN=x−2
由旋转的性质得：BE=DN=2
∴ME=BE+BM=2+3=5
由（1）已证：△AEM≅△ANM
∴MN=ME=5
又∵四边形ABCD是正方形
∴∠C=90°
则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2，即(x−3)2+(x−2)2=52解得x=6或x=−1（不符题意，舍去）
故正方形ABCD的边长为6.
23. （1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），
∴AO＝2 √3，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝√100+12＝4 √7，
∵OP⊥AB，
∴10×2√3
2＝4√7×CD
2
，CD＝DP，
∴CD＝5√21
7
，
∴OP＝2CD＝10√21
；
7
（2）解：连接CP，如图所示：
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
AB＝2 √7．
∴AP＝AC＝1
2
24. （1）解：如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD ∥BF ，
∴∠EBF ＝∠ADB ＝45°，
又∠ABC ＝90°，
∴α+β＝45°，
过B 作BN ⊥BE ，使BN ＝BE ，连接NC ， ∵AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBN ，BE ＝BN ， ∴△AEB ≌△CNB （SAS ），
∴AE ＝CN ，∠BCN ＝∠BAE ＝45°， ∴∠FCN ＝90°．
∵∠FBN ＝α+β＝∠FBE ，BE ＝BN ，BF ＝BF ， ∴△BFE ≌△BFN （SAS ），
∴EF ＝FN ，
∵在Rt △NFC 中，CF 2+CN 2＝NF 2 ， ∴EA 2+CF 2＝EF 2
；
（3）解：如图3，延长GE ，HF 交于K ，
由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2 ，
∴ 12 EA 2+ 12 CF 2＝ 12 EF 2
，
∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，
∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ， 即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，
∴ 12 S △ABC ＝ 12 S 矩形BGKH ，
∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，
∴S △BGM ＝S 四边形COMH ， S △BMH ＝S 四边形AGMO ， ∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，
∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3 √2，
∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，
∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
（舍去），k2＝1．
解得：k1＝﹣1
7
∴AB＝12，
∴AO＝√2
AB＝6 √2，
2
∴⊙O的半径为6 √2．。