高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6 三角恒等变换
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∴2sin αcos α=34,
∵α∈
0,
π 2
,
∴sin α+cos α= sin2������ + cos2������ + 2sin������cos������
=
1
+
3 4
=
27,
∴sicnos���2���-���π4���
= (cos������+sin������)(cos������-sin������)
·
1
+
sin������ cos������
·csoins���2���2������
=cossin2���2���2������-csoisn���22������2��� ·cos������ccooss���2���������+cosisn���2���������sin���2���
=2scions������������ ·cosc���o���sc���2o���s���2��� = si2n������.
关. ( )
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
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答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
2.若 cos
π 4
-������
= 35,则 sin 2α=(
)
A.275
B.15
C.-15
D.-275
关闭
D
答案
-8-
知识梳理 双基自测
12345
解析
(方法一)cos 2
π 4
-������
4cos2���2���
=cos���2���
·
sin2���2���-cos2���2��� cos���2���
=-cosc���2o���·sc���2���os������.
因为 0<θ<π,所以 0<���2��� < π2.所以 cos���2���>0,所以原式=-cos θ.
(2)原式=
cos2α=1+c2os2������;
sin αcos α=12sin 2α.
(3)1+cos α=2cos2���2���; 1-cos α=2sin2���2���;
1+sin α=
sin
������ 2
+
cos
������ 2
2
;
1-sin α=
sin
������ 2
-cos
������ 2
.
(2)设 α 为锐角,若 cos
������
+
π 6
= 45,则 sin
2������
+
π 12
的值
为
.
(3)化简:
1 tan���2���
-tan
������ 2
·
1
+
tan������·tan
������ 2
.
(1)2 2cos α (2)1570 2
关闭
答案
-19-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)原式=2sin22������(csoins������������--2cocos���s���)2������=2 2cos α.
22(sin������-cos������)
=- 2(sin α+cos α)=- 214.
-16-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.三角函数式化简、求值的方法: 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助 角公式等. 2.三角函数式化简、求值的基本思路: “一角二名三结构”,即: 一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进 行合理地拆分,从而正确使用公式; 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式, 常见的有“切化弦”,关于sin α·cos α的齐次分式化切等; 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到 分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.
考点1
考点2
考点3
-17-
3.化简、求值的主要技巧: (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角 的三角函数值.
-18-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)化简:sins2in������-2������c-π4os2������=
2
.
-5-
知识梳理 双基自测
12
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������2sin(x+φ),
其中 sin φ= ������ ,cos φ= ������ .
������2+��2
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知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)y=3sin x+4cos x的最大值是7. ( )
(2)当 α 是第一象限角时,sin���2��� = 1-c2os������. (
)
(3)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. ( )
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得
来的. ( )
(5)公式asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无
tan
������ + π
4
=tan (������ + ������)-
������-
π 4
tan (������+������)-tan
=
1+tan (������+������)tan
C
������ -π4 ������ -π4
= 232.
关闭
关闭
解析 答案
-10-
知识梳理 双基自测
12345
=sin
2������
+
π 3
-
π 4
=
2 2
sin
2������
+
π 3
-cos
2������
+
π 3
=17502.
考点1
考点2
考点3
-20-
(3)解
1 tan���2���
-tan
������ 2
·
1
+
tan������·tan
������ 2
=
cos���2��� sin���2���
-
sin���2��� cos���2���
考点1
考点2
考点3
-21-
考点 2 三角函数式的求值(多考向)
考向一 给角求值问题
例思2考si化n解简5决0:°s(“i1n给+5角0°3求(t1a+值n 1”0问°3)t题a=ns的i1n0一5°)0般=°·思1路+是什3·么csoi.ns?1100°°
=sin
50°·cos10c°o+s130s°in10°=sin
������-
π 4
=-2sin
������-
π 4
cos
������-
π 4
=-2×
2 4
×
414=- 47.
∴sicnos���2���-���π4���
=
-
7 4
2
=-
214.
4
-15-
考点1
考点2
考点3
(方法二)∵sin α=12+cos α,∴sin α-cos α=12,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=14,
2
50°·
12cos10°+ 23sin10° cos10°
1
=2sinc5o0s°1·c0o°s50°= scions11000°°= ccooss1100°°=1.
解析
关闭
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
考向二 给值求角问题 例 3 已知 cos α=17,cos(α-β)=1134,且 0<β<α<π2,则 β= 思考解决“给值求角”问题的一般思路是什么?
值求值”问题有什么联系?
-25-
考点1
考点2
考点3
解:(1)sin
������
+π
4
= 102,
即 sin αcosπ+cos αsinπ = 2,
4
4 10
化简,得 sin α+cos α=1,①
5
又 sin2α+cos2α=1,②
由①②解得 cos α=-35或 cos α=45.
∵α∈ π ,π ,∴cos α=-3.
φ=sin [(x+φ)-φ]=sin x.
1∴f(x)max=1.
关闭
解析 答案
-12-
考点1
考点2
考点3
考点 1 三角函数式的化简、求值
例 1(1)已知 0<θ<π,
(1+sin������+cos������)
则
sin���2���-cos���2���
2+2cos������
=
.
(2)化简:2t2acnosπ44-������������-2scions22���π4���++12������ =
(2)∵α 为锐角,cos
������
+
π 6
= 45,
∴sin
������
+
π 6
= 35.
∴sin
2������
+
π 3
=2sin
������
+
π 6
cos
������
+
π 6
= 2245,
cos
2������
+
π 3
=2cos2
������
+
π 6
-1=275,
∴sin
2������
+
π 12
高三理数一轮课件
第四章 三角函数、解三角形
4.6 三角恒等变换
-4-
知识梳理 双基自测
12
1.公式的常见变形
(1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β)
;
tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β)
.
(2)sin2α=1-co2s2������;
整理得 2sin αcos α=-275,即 sin 2α=-275,故选 D.
-9-
知识梳理 双基自测
12345
3.如果 α∈
π 2
,π
,且 sin α=45,那么 sin
������ + π
4
+cos
������ + π
4
等于
()
A.4 5 2 C.3 5 2
B.-4 5 2 D.-3 5 2
2
5
(2)∵α∈ π ,π ,cos α=-3,
2
5
∴sin α=4,
5
∴cos 2α=1-2sin2α=-275,sin 2α=2sin αcos α=-2245,
-2sin2������cos2������+12
2sin
π4-������ cos
cos2 π4-������
π4-������
=
12(1-sin22������) 2sin π4-������ cos π4-������
=
12cos22������ sin π2-2������
= 12cos 2x.
12345
5.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为
-11-
.
关闭
∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)
=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin
=2cos2
π 4
-������
-1
=2×
3 5
2-1=-275,
且 cos 2
π 4
-������
=cos
π 2
-2������
=sin 2α,故选 D.
(方法二)由 cos
π 4
-������
= 35,得 22cos α+ 22sin α=35,
即 22(cos α+sin α)=35, 两边平方得12(cos2α+sin2α+2cos αsin α)=295,
=17
×
13 14
+
43 7
×
33 14
=
12.
又 0<β<π2,∴β=π3.
考点1
考点2
考点3
-24-
考向三 给值求值问题
例 4 已知 sin
������
+
π 4
= 102,α∈
π 2
,π
.
求:(1)cos α 的值;
(2)sin
2������-
π 4
的值.
思考解决“给值求值”问题的关键是什么?“给角求值”问题与“给
.
(3)已知 sin α=12+cos α,且 α∈
0,
π 2
,则sicnos���2���-���π4���
的值
为
.
关闭
思考三角函数式化简、求值的一般思路是什么?化简的标准是
怎(1样)-的co?s θ
(2)12cos 2x
(3)-
14 2
答案
-13-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)原式= 2sin���2���cos���2���+2cos2���2��� sin���2���-cos���2���
-22-
.
关闭
π 3
答案
-23-
考点1
考点2
考点3
解析: ∵0<β<α<π2,
∴0<α-β<π2,sin α=473.
又 cos(α-β)=1134,
∴sin(α-β)= 1-cos2(������-������) = 3143. ∴cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
4.在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin
2α=
.
由题意可知,r=|OP|= 5,sin α= 15,cos α= 25,
则 cos2α+sin 2α=cos2α+2sin αcos α