著名机构五升六数学讲义最大公因数和最小公倍数

最大公因数和最小公倍数
学生姓名年级学科
授课教师日期时段
核心内容最大公因数，最小公倍数的应用课型一对一/一对N
教学目标掌握求最大公因数的多种方法和最大公因数的应用，掌握求最小公倍数的方法
重、难点辗转相除法求最大公因数和最大公因数的应用，通过最小公倍数的知识学习概括能力和逻辑推理能力
课首沟通
回顾最小公倍数与最大公因数的概念。

让学生说说2,3，5的倍数的特征
知识导图
课首小测
1.求下列数的最大公因数和最小公倍数。

5和6 64和16 24和56
2.已知a＝4b，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3.两个数都是合数，又是互质数，它们的最小公倍数是36，这两个数分别是（）和（）。

4.用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

91和56 63和42
导学一：求最大公因数和最小公倍数
知识点讲解 1：短除法，分解质因数法，辗转相除法
分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。

辗转相除法求最大公因数的步骤：
①用较大数÷较小数=商……余数
②除数÷余数=商……余数
……
以此类推，除到没有余数为止，最后一个除数就是这两个数的最大公因数
例 1. 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.
144和255 240和96
例 2. 利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数。

377和221 511和1314
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1.用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

63和84
2.利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数
96和72 90和700
3.利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数。

3009和2573 1085和1178
知识点讲解 2：
例 1. 如果a、b互质（a和b都是自然数，且a，b≠0），则a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

例 2. 已知a＝2×3×5，b＝2×3×11，则a、b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

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1.m和n都是自然数，m÷n=8，m和n的最大公因数是（），m和n的最小公倍数是（）。

2.A＝2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3.把自然数a与b分解质因数，得到a＝2×5×m，b＝3×5×m，如果a与b的最小公倍数是210，那么m＝（）。

导学二：最大公因数的应用
知识点讲解 1：
例 1. 将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体，分割成同样大小的正方体，并使它们的体积尽可能大且没有多余，这些正方体的棱长是多少？可分割成多少个？
例 2. 某幼儿园大班老师借阅图书，如果借37本，平均分给每个小朋友后还剩1本；如果借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如果借75本，平均分给每个小朋友后还剩3本。

这个班的小朋友最多有多少人？
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1.有三根木棒，一根长24米，一根长8米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
2.用48朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，每个花束里最少有几朵花？
3.有铅笔433支，橡皮260块，平均分配给若干个小学生，分到最后铅笔余13支、橡皮余8块，问最多分给了多少个小学生？
4.有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒，平均奖给若干个优秀少先队员，结果圆珠笔多出1支，笔记本少1本，笔盒少2个，获奖的少先队员最多有多少人？
导学三：最小公倍数的应用
知识点讲解 1：
例 1. 用一些长3厘米、宽2厘米、高5厘米的长方体拼一个正方体，这个正方体的棱长最短是多少？
例 2. 有一个不为1的自然数，被6除余1，被8除余1，被12除也余1，这个自然数最小是多少？
例 3. 有一个自然数，被3除余2，被6除余5，被8除余7，这个自然数最小是多少？
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1.五年级学生人数在140到150人之间，要分成12人一组、18人一组都恰好分完，这个年级有多少人？
2.有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是9个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？
3.同学们排队做操，不论是每行站4人，还是每行站5人，或每行站7人，最后都正好多出2人。

至少有多少人做操？
4.航模兴趣小组去参观展览，参观队伍每行6人则多2人，每行8人则多4人，问：航模兴趣小组去参观的同学最少有几人？
导学四：最大公因数和最小公倍数综合运用
知识点讲解 1：
两个数的乘积等于这两个数最大公因数与最小公倍数的乘积：
即：a×b=(a,b)×[a,b]
例 1. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
例 2. 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
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1.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？
2.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？
3.求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。

4.已知两个数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。

限时考场模拟
1.a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公因数是21，则m是（），a和b的最小公倍数是（）。

2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？
3.有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？
课后作业
1.如果a与b是两个不同的质数，那么a与b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2.用长24cm、宽18cm的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？
3. A＝2×5×7，B＝2×2×3×5，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

4.一筐苹果2个2个拿，3个3个拿，或者5个5个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（）个。

5.甲数＝2×3×5×7，乙数＝2×3×7，甲、乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

6.六一儿童节那天，某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨，去看望福利院的小朋友，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？
7.有两路公共汽车，11路和8路。

11路每10分钟发一次车，8路每8分钟发一次车。

11路和8路的起点站都在一起，请问这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？
8.一班同学参加课外活动，如果分为4人一组，或分为6人一组，或分为9人一组，都恰好分完没有剩余，这个班至少有多少人？
9.五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
1、总结一下本节课的知识点。

2、把本讲的例题，习题复习一遍，完成老师规定的作业。

3、建立错题集，整理、复习错题本，做到下一讲“有备而来”。

4、周五告诉老师学校的进度和遇到的问题。

课首小测
1.（5，6）＝1，[5，6]＝30；（64，16）＝16，[64，16]＝64；（24，56）＝8，[24，56]＝168
2.b，a
3.4，9
4.7，728；21,126
导学一
知识点讲解 1：短除法，分解质因数法，辗转相除法
例题
1.（144，255）= 3，[144，255]=12240；（240，96）= 48，[240，96]=480；
解析:144=2×2×2×2×3×3,255=3×5×17，最大公因数是3，最小公倍数是2×2×2×2×3×3×5×17=12240
240=2×2×2×2×3×5，96=2×2×2×2×2×3，最大公因数是2×2×2×2×3=48，最小公倍数是
2×2×2×2×3×2×5=480
2.（377，221）=13，（1314，511）=73。

解析:377÷221=1.....156,221÷156=1....65,156÷65=2..... 26,26÷13=2，最大公因数是13。

1314÷511=2....292,511÷292=1....219,292÷219=1.... 73,219÷73=3,最大公因数是73。

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1.21，252
2.（96,72）=24,[96,72]=288；（90,700）10,[90,700]=6300
解析:96=2×2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3,（96,72）=2×2×2×3=24，[96,72]=2×2×2×3×2×2×3=288. 90=2×3×3×5,700=2×2×5×5×7,（90,700）=2×5=10,[90,700]=2×5×3×3×2×5×7=6300
3.（3009,2573）=393；（1178,1085）=31
解析:3009÷2573=1....436；2573÷436=5.... 393；436÷393=43，（3009,2573）=393。

1178÷1085=1....93；1085÷93=11....62；93÷62=1....31，62÷31=2，（1178,1085）=31
知识点讲解 2：
例题
1.1，ab
2.6，330
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1.n，m
2.10，
210
3.7
导学二
知识点讲解 1：
例题
1.60（个）
解析:（60，45，75）＝15，（60÷15）×（45÷15）×（75÷15）＝60（个）
2. 18
解析:37-1＝36（本），56-2＝54（本），75-3＝72（本）,（36，56，72）＝18（人）
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1.每段最长为4米；17段
解析:（24，8，36）＝4，所以每段最长为4米。

一共可以截成：24÷4＋8÷4＋36÷4＝17（段）2.5
解析:（48，72）＝24，48÷24＋72÷24＝5（朵）
3.84
解析:433-13＝420（支），260-8＝252（块）
（420，252）＝84，所以最多分给了84个小学生。

4.136-1＝135（支），89＋1＝90（本），178＋2＝180（个）
（135，90，180）＝45，获奖的少先队员最多有45人。

导学三
知识点讲解 1：
例题
1.30cm
解析:3×2×5＝30（厘米）
2.25
解析:[6，8，12]＝24，24＋1＝25
3.23
解析:[3，6，8]＝24，24-1＝23
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1.144
解析:[12，18]＝36，36×4＝144（人）
2.72
解析:[6，8，9]＝72，所以这包糖至少有72块。

3.142
解析:[4，5，7]＝140，140＋2＝142（人）
4.20
解析:[6，8]＝24，24-4＝20（人）
导学四
知识点讲解 1：
例题
1.15和90或者30和45。

解析:
当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。

所以，这两个数是15和90或者30和45。

2.3和120或3和120
解析:我们把这两个自然数称为甲数和乙数。

因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。

根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。

又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a 和b 一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。

当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和 b是5和8时，所求的数3和3×40=120
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1.72
解析:60÷12=5,5=1×5,12×1=12,12×5=60；60＋12=72
2.240
解析:720÷180=4，60×4=240
3.36×24=864
解析:36、24两数的积一定等于36、24两数的最大公因数与最小公倍数的积。

4.65或13
解析:78÷13=6,6=1×6=2×3,13×1=13,13×6=78；13×2=26,13×3=39。

这两个数是13和78或者26和39，所以它们的差
为65或13
限时考场模拟
1.7，210
2.香蕉： 3（千克）苹果： 8（千克）桔子： 5（千克）
解析: （42，112，70）＝14 香蕉：42÷14＝3（千克）
苹果：112÷14＝8（千克）桔子：70÷14＝5（千克）
3. 75
解析:[8，18]＝72，72＋3＝75（个）
课后作业
1.1，ab
2.12
解析:[24，18]＝72，（72÷24）×（72÷18）＝12（块）
3.10，420
4.30
5. 42，210
6.最多可以分成40份同样的礼物
解析:（320，240，200）＝40，所以最多可以分成40份同样的礼物。

7.至少过40分钟
解析:[10，8]＝40，所以至少过40分钟两路车才第二次同时发车。

8.
至少有36人
解析:[4，6，9]＝36，所以这个班至少有36人。

9.6人
解析:（36，48，42）＝6，所以最多每组有6人。