高中数学1-1_2应用举例习题新人教A版必修5

1.2应用举例
一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【题文】已知A ，B 两地的距离为5 km ，B ，C 两地的距离为10 km ，经测量可知，
120ABC ∠=︒，则A ，C 两地的距离为 ( )
A. 5 km
B.
2.【题文】如图，一艘轮船以每小时60海里的速度自A 沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，轮船在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 间的距离是( )
A.
B.
C.
D.海里
3.【题文】为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点A ，B ，C ，分别测得此建筑物的仰角为30︒，45︒，60︒，且AB =BC =30 m ，如图所示，则建筑物的高度为( )
A. B. C. D. m
4.【题文】如图，巡航艇在海上以60km /h 的速度沿南偏东40︒的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B 处观测灯塔A ，其方向是南偏东70︒，航行
1
h 2
到达C 处，观测灯塔A 的方向是北偏东65︒，则巡航艇到达C 处时，与灯塔A 的距离是( )
A.10km
B. km
C. 15km
D. km
5.【题文】如图所示，在一条水平直线上选取三点A ，B ，C 进行测量，测得AB =25 m ，BC =60 m ，水深AD =40 m ，BE =100 m ，CF=55 m ，则DEF ∠的余弦值为 ( )
A.
16
65
B.
1965 C.1657 D. 1757
6.【题文】一架直升飞机在600 m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是
30︒和60︒，则塔高为 ( )
A.400m
B.m
C.m
D.200m
7．【题文】若锐角△ABC 的面积为4,6AB AC ==，则BC =（ ）
A ．4
B ．．．
8．【题文】△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别是c b a ,,，若则角B 的大小为（ ） A ．π6 B ．5π6 C ．π3 D ．2π
3
二、填空题：本题共3小题.
9．【题文】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b ＝3，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为 ．
10.【题文】两船同时从A 港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80︒的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40︒方向航行，一小时后，两船相距 海里．
11.【题文】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若12m AB =，20m AC =，45BCM ∠=︒，则
tan θ的最大值是 ．（仰角θ为AP 与平面ABC 所成角）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
12.【题文】如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得塔顶的仰角∠DSB ＝75°，求塔高BD .
13.【题文】如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．
（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．
14．【题文】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且
()2
2
13a b c ab
--=-.
（1）求角C ；
（2，求B 及△ABC 的面积.
人教A 版数学 必修五 第一章 1.2应用举例 参考答案与解析
1. 【答案】D
【解析】在△ABC 中，AB =5 km ，BC =10km ，120ABC ∠=︒，根据余弦定理得，
222o 5102510cos120km AC AC =+-⨯⨯⨯⇒=.故选D.
考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易
2. 【答案】A
【解析】易知在△ABC 中，=30AB 海里，
=303570105,45CAB ABC ACB ∠︒∠=︒+︒=︒∴∠=︒，，
根据正弦定理得
=
sin 30sin 45BC AB
︒︒
，解得BC =（海里）. 考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易
3. 【答案】C
【解析】设建筑物的高度为m h ，由题图知，2m PA h =,m PB =，m PC =,所以在△PBA 和中△PBC 中，分别由余弦定理的推论，得
2
2
2
cos PBA ∠
①，222
4
302cos h h PBC +-∠180PBA PBC ︒∠+∠=，所以cos cos =0PBA PBC ∠+∠
③.由①②③，解得
h h ==-
，即建筑物的高度为m . 考点：利用余弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】一般
4. 【答案】D
【解析】在△ABC 中，()1
=60=30km 2
BC ⨯
，o o o =7040=30ABC ∠-，=4065=105ACB ∠︒+︒︒，则()=18030105=45A ︒-︒+︒︒
，由正弦定理，得
)km AC .
考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】一般
5. 【答案】 A
【解析】 如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M
.
)m DF ===，
()65m DE =
==，
()75m EF =
==，
在△DEF 中，根据余弦定理的推论得，
2222226575529816
cos ==22657565
DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠=⨯⨯⨯.
考点：利用余弦定理测量角度.
【题型】选择题 【难度】一般
6. 【答案】A 【解析】如图所示：
在Rt△ACD 中可得tan 30CD AC ︒=
，tan 30600CD AC BE =⋅︒===, 在△ABE 中，由正弦定理，
o o
=200sin 30sin 60AB BE
AB =⇒，
∴()600200400m DE BC ==-=. 考点：利用正弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】较易
7. 【答案】D
【解析】三角形面积11sin 46sin sin 22S AB AC A A A =
⋅⋅=⨯⨯==
由于
△ABC 为锐角三角形，所以1
cos 2
A =
，由余弦定理可求得
BC = D.
考点：三角形面积公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般
8. 【答案】B
【解析】
222sin sin sin B A b a c a b C c --=⇒=⇒+-=
2225π
cos 0π26
c a b B B B ac +-⇒==<<∴=
，，故选B. 考点：正、余弦定理综合. 【题型】选择题 【难度】一般
9. 【答案】3
考点：正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 【题型】填空题 【难度】一般
10. 【答案】28
【解析】如图，△ABC 中，20124080120AB AC CAB ︒︒==∠=+=︒，，，
由余弦定理得222
201222012cos120784BC ︒=+-⨯⨯⋅=，∴28BC =（海里）.
考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】填空题 【难度】一般
11. 【答案】
53
【解析】如图，过P 作PO BC ⊥于点O ，连接AO ，则PAO θ∠=，设O C x =，则O
P x =，在直角△ABC 中，由勾股定理，得BC =16，所以4
cos 5
BCA ∠=
.在△AOC 中，由余弦定理，
得AO =
从而tan OP
AO
θ=
==
当
2045x =，即25x =时，tan θ取得最大值，为53
.
考点：利用余弦定理测量角度. 【题型】填空题 【难度】一般
12. 【答案】500米
【解析】∵∠SAB ＝∠CAB −∠CAS ＝45°−30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC −∠SBC ＝45°−15°＝30°，
∴在△ABS 中，sin 15sin 30BS AS =︒︒
，∴sin 15500sin 30AS BS ⋅︒==︒(米)． ∴BD ＝BS ·sin 7
5°＝
5005004
⨯=(米)． 考点：利用正弦定理求高度.
【题型】解答题
【难度】较易
13. 【答案】（1）21海里/小时 （2
【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=． 在△ABC 中，由余弦定理，得
222222cos 18302BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-1830cos1201764⨯⨯⨯︒=， 所以BC =42，所以渔船甲的速度为212
BC =海里/小时． （2）在△ABC 中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=， 由正弦定理，得sin sin 120AB BC α=︒
，即18sin 1202sin 42AB BC α⋅︒===考点：利用正、余弦定理求距离、角度.
【题型】解答题
【难度】一般
14. 【答案】（1）2π3C = （2）π4B =
【解析】（1）由已知条件化简可得()223a b c ab --=-，变形可得222a b c ab +-=-， 由余弦定理的推论可得，2221cos 22
a b c C ab +-==-， ()2π0,π,3
C C ∈∴=.
（2
）2π3,3c b C ===，∴由正弦定理可得又π,,4
b c B C B <∴<∴=，在△ABC
中， (
)1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C ⎛⎫=+=+=-+=
⎪⎝⎭
113sin 2244ABC S bc A ∆∴===. 考点：正、余弦定理综合应用.
【题型】解答题
【难度】一般。