海南省文昌2023-2024学年高二下学期期中段考试题 数学含答案

2023—2024学年度第二学期高二年级数学科段考试题（答案在最后）
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.函数
2e 1x
y =-在点()0,1处的切线斜率为（）A.e
B.2
C.1
D.0
2.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（
）
A.10条
B.8条
C.6条
D.4条
3.若n
二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（
）
A.1120
- B.160
- C.1120
D.160
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A =两次的点数均为偶数}，{B =两次的点数之和为8}，则
(|)P B A =（）
A.
112 B.29C.
13
D.
23
5.已知函数()2
3e
x
x f x -=在区间(),2m m +上单调递减，则实数m 的取值范围为（）
A.[]
1,1- B.
[)
1,1- C.
()
1,1- D.
[]
1,0-6.
()
()6
2
11x
ax x +--的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（）
A .
0 B.3
C.1
- D.2
-
7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，
它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（
）
A .
2222
34510C C C C 165
+++⋅⋅⋅+=B.在第2022行中第1011个数最大
C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
8.已知2e ln 3a =，e 1
e b -=，3e 2ln 2
c =，则有（
）
A.a b c
<< B.a c b
<< C.b a c
<< D.<<b c a
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（
）
A.若任意选科，选法总数为2
4
C B.若化学必选，选法总数为11
23
C C C.若政治和地理至少选一门，选法总数为111
223
C C C D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为11
221C C +10.已知()8
2801282x a a x a x a x -=++++ ，则（
）
A.8
02
a = B.1281a a a +++= C.二项式系数和为256
D.12382388
a a a a ++++=-
11.已知函数2()e x f x ax =-（a 为常数），则下列结论正确的有（）
A.e
2
a =
时，()0f x ≥恒成立B.1a =时，()f x 无极值
C.若()f x 有3个零点，则a 的范围为2e ,4⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
D.1
2a =
时，()f x 有唯一零点0x 且0112
x -<<-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为________.
13.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，
这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有四个场地A ，B ，C ，D 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有________种.14.已知函数()()2
1e x
f x m x x x =--+在1,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
上有两个极值点，则实数m 的取值范围是_________．
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项.
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1
{
}n
S 的前n 项和n T .16.已如曲线()()2
2ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值；
（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,
=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.
(I)证明：//DE 平面PAB ;
(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
18.已知椭圆2222:1,(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3
2
，短轴长为2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）如图，已知A ，B ，C 为椭圆E 上三个不同的点，原点O 为ABC 的重心；①如果直线AB ，OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值；
②试判断ABC 的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.19.
设函数()2
ln f x x x =-，()()R g x ax a =∈.
（1）求()y f x =在[]1,e 上的最值；
（2）若函数()y g x =图象恰与函数()y f x =图象相切，求实数a 的值；
（3）若函数()()()2ln h x f x g x x =-+有两个极值点1x ，2x ，设点()()
11,A x h x ，()()
22,B x h x ，证
明：A 、B 两点连线的斜率42
a
k a >
-.
2023—2024学年度第二学期高二年级数学科段考试题
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.函数
2e 1x
y =-在点()0,1处的切线斜率为（）A.e B.2
C.1
D.0
【答案】B 【解析】
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可知，2e x y '=，当0x =时，2y '=，所以函数2e 1x y =-在点()0,1处的切线斜率为2.故选：B
2.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（
）
A.10条
B.8条
C.6条
D.4条
【答案】C 【解析】
【分析】将路线分为两步，首先确定从“兵”到“炮”的最短路线走法；再确定从“炮”到“马”的最短路线走法，由分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；
其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有2
3C 3=种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有1
2C 2=种走法．
∴能顺带吃掉“炮”的可能路线共有326⨯=（条）．
故选：C .3.
若n 二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（
）
A.1120-
B.160
- C.1120
D.160
【答案】B 【解析】
【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知6n =，从而可得展开式通项，令3k =即可求得常数项的值．【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以6n =，
则展开6-
式的通项为316C (2),0,1,2,3,4,5,6k
k k k T x k -+=-=，
令30k -=，解得3k =，
所以3
3
46C (2)160T =-=-，即展开式中常数项为160-．故选：B ．
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A =两次的点数均为偶数}，{B =两次的点数之和为8}，则
(|)P B A =（）
A.1
12 B.29C.
13
D.
23
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合古典概率计算即得.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有6636⨯=种，其中事件A 有339⨯=种，事件AB 有()()()2,6,4,4,6,2，共3种，
所以()()()3
1
369336
P AB P B A P A =
==.故选：C
5.已知函数()2
3e
x
x f x -=在区间(),2m m +上单调递减，则实数m 的取值范围为（）
A.
[]
1,1- B.
[)
1,1- C.
()
1,1- D.
[]
1,0-【答案】A 【解析】
【分析】求导得到函数在()1,3-上单调递减，从而得到不等式，求出答案.
【详解】()()()23123e e
x x
x x x x f x -+-+-'==，令()0f x '<得13x -<<，故()f x 在()1,3-上单调递减，
由题意得1
23m m ≥-⎧⎨+≤⎩
，解得11m -≤≤，
故选：A 6.
(
)
()6
211x ax x +--的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（）
A.0
B.3
C.1
- D.2
-【答案】D 【解析】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对()6
1x -，有()()166
C 1C k
k
k k k
k T x x +=-=-，故()
()6
2
11x ax x +--的展开式中2x 的系数为：
()()()2
012
666C 21C 11115C 6a a =+⋅-⋅+---⋅⋅=--，即
2a =-.故选：D.
7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，
它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（
）
A.2222
34510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B.在第2022行中第1011个数最大
C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C 【解析】
【分析】A 选项由1
1C C C m m m n
n n -++=及222223222
34510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++- 即可判断；B 选
项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由1
1C C C m m m n n n -++=及67
67C C =即可判断；D 选项直接计算比值
即可判断.【详解】由1
1C C C m m m n
n n -++=可得222223222
34510334510C C C C C C C C C 1
++++=+++++- 32223
445101111109
C C C C 1C 11164321
⨯⨯=++++-=-=
-=⨯⨯ ，故A 错误；
第2022行中第1011个数为1010
1011
20222022C C <，故B 错误；
666766767
678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320
C :C :15:203:4141311514131
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，故D 错
误.故选：C.
8.已知2e ln 3a =，e 1
e b -=，3e 2ln 2
c =，则有（
）
A.a b c <<
B.a c b
<< C.b a c
<< D.<<b c a
【答案】C 【解析】
【分析】函数()1
e ,1ln x
f x x x
-=>，则()()()3,e ,4a f b f c f ===，确定函数()f x 的单调性，通过单调
性可确定大小.
【详解】把a ，b ，c 变形得31e ln 3a -=，e 1e ln e
b -=，41
e ln 4c -=，
所以构造函数()1
e ,1ln x
f x x x
-=>，则
()()()3,e ,4a f b f c f ===.()()()11122
11
e ln e ln e ,1ln ln x x x x x x x
f x x x x ---⎛⎫-- ⎪
⎝⎭'==>，令()1ln g x x x
=-
，则()211
0g x x x '=+>在()1,+∞上恒成立，
所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，因为()11
e ln e 10e e
g =-=->，
所以()0f x ¢>在[)e,+∞上恒成立，
所以函数()1
e ln x
f x x
-=在[)e,+∞上单调递增，
所以()()()e 34f f f <<，即b a c <<.故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（
）
A.若任意选科，选法总数为2
4
C B.若化学必选，选法总数为11
23
C C C.若政治和地理至少选一门，选法总数为111
223
C C C D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为11
221C C +【答案】BD 【解析】
【分析】对于A ，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B ，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C ，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D ，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可【详解】若任意选科，选法总数为1
2
24C C ，A 错误；若化学必选，选法总数为1
1
23C C ，B 正确；
若政治和地理至少选一门，选法总数为(
)
1
11
222C C C 1+，C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为1
1
22C C 1+，D 正确．故选：BD.
10.已知()8
2801282x a a x a x a x -=++++ ，则（
）
A.8
02
a = B.1281a a a +++= C.二项式系数和为256 D.12382388
a a a a ++++=- 【答案】ACD 【解析】
【分析】令0x =可判断A 选项；令1x =可判断B 选项；求出二项式系数和可判断C 选项；由
()
8
2801282x a a x a x a x -=++++ 两边求导，令1x =得可判断D 选项.
【详解】由()8
2801282x a a x a x a x -=++++ ，对于A ，令0x =得8
02a =，A 选项正确；对于B ，令1x =得01281a a a a ++++= ，所以812812a a a +++=- ，B 选项错误；对于C ，二项式系数和为82256=，C 选项正确；对于D ，由()8
2801282x a a x a x a x -=++++ ，两边求导得()727123882238x a a x a x a x --=++++ ，令1x =得12382388a a a a ++++=- ，所以D 选项正确.故选：ACD.
11.已知函数2()e x f x ax =-（a 为常数），则下列结论正确的有（）
A.e
2
a =
时，()0f x ≥恒成立B.1a =时，()f x 无极值
C.若()f x 有3个零点，则a 的范围为2e ,4⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
D.1
2a =
时，()f x 有唯一零点0x 且0112
x -<<-【答案】BCD 【解析】
【分析】A 选项，当e
2a =
时，二次求导得到函数单调性，结合()1e 10e 2
f -=-<得到A 错误；B 选项，1a =时，二次求导得到函数单调性，得到B 正确；C 选项，当0x =时，显然()00f ≠，0x ≠时，参变分离，
记()2e x
F x x =，求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到a 的范围为2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，C 正确；D 选项，二次
求导得到函数单调性，结合零点存在性定理可知，存在唯一的0x ，满足01
12
x -<<-.【详解】对于A ，当e 2a =
时，2e ()e ,()e e 2
x x
f x x f x x '=-=-，令()(),()e e x
g x f x g x =''=-，令()e e 0x g x '=->，则1x >，()f x '在(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减，故()()10f x f ''≥=，
()f x ∴在R 上单调递增，()1e
10e 2
f -=
-<，故A 错误；对于B ，当1a =时，2()e ,()e 2,x x f x x f x x '=-=-令()(),()e 2x
m x f x m x =''=-，令()e 20x m x '=->，则ln 2x >，令()e 2<0x m x '=-，解得ln 2x <，
()f x '在(ln 2,)+∞上单调递增，在(,ln 2)-∞上单调递减，
故()()ln 222ln 20f x f ≥=-'>'，()f x ∴在R 上单调递增，无极值，故B 正确；
对于C ，令()2
e 0x
f x ax =-=，当0x =时，显然()00f ≠，
故0x =不是函数的零点，
当0x ≠时，则2e x
a x =，记()2e x F x x =，则()()3
e 2x x F x x
='-，令()()3
e 20x x F x x
'-=
>得0x <或2x >，令()0F x '<得02x <<，
故()2e x F x x =在()(),0,2,∞∞-+单调递增，在()0,2单调递减，且()2
e 24
F =，
且当x →+∞和0x →时，()F x ∞→+，
故()f x 有3个零点，则a 的范围为2e ,4∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，C 正确，
对于D ，当12a =
时，21()e 2
x
f x x =-，()e x f x x '=-，令()()h x f x ='，则()e 1x h x '=-，
令()e 10x h x '=->，则0x >，令()0h x '<，解得0x <，
故()f x '在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故()()01f x f ''≥=，()f x ∴在R 上单调递增，则此时()f x 至多只有一个零点0x ，
又1
1
212e 11(1)e 0,()e 022e 28f f ----=-=
<-=-=，由零点存在性定理可知，存在唯一的0x ，满足01
12
x -<<-，选项D 正确；故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为________.【答案】1324
【解析】
【分析】设事件A 表示“选中甲袋”，B 表示“选中乙袋”，C 表示“取到的球是白球”，
则C CA CB =+，由条件结合全概率公式求结论.
【详解】设事件A 表示“选中甲袋”，B 表示“选中乙袋”，C 表示“取到的球是白球”，
则()12P A =
，()12P B =，()512P C A =，()23
P C B =，故()()()()()5121131223224
P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=.故答案为：13
24
.
13.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，
这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有四个场地A ，B ，C ，D 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有________种.【答案】240【解析】
【分析】利用分组分配问题处理方法解决.【详解】满足要求的安排方法可分为两步完成，
第一步：将5个新增项目分为四组，其中一组含2个项目，其余三组分别含一个项目，第二步：将4组项目安排到,,,A B C D 四个场地，
由分步乘法计数原理可得，不同的安排方法有1112
45432
43
3
C C C C A 240A =种安排，故答案为：240.
14.已知函数()()2
1e x f x m x x x =--+在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上有两个极值点，则实数m 的取值范围是
_________．【答案】231,2e e ⎛⎫
⎪⎝
⎭【解析】
【分析】由()0f x '=可得21e x
x m x -=
，令()2112e 2x x h x x x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则直线y m =与函数()h x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的图象有两个交点，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，数形结合可得出实数m 的取值范围.
【详解】因为函数()()
2
1e x f x m x x x =--+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个极值点，
所以()f x '在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个变号零点，因为()e 21x
f x mx x =-+'，令()0f x '=，即e 210x mx x -+=，可得21
e
x
x m x -=
，令()2112e 2x x h x x x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭
，则()()()()
()()222e 121e 121e e x x x x x x x x x h x x x -+--+==-'，令()0h x '>，得
1
12
x <<，令()0h x '<，得12x <<，所以函数()h x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在()1,2上单调递减，又()()2
1130,1,22e 2e h h h ⎛⎫===
⎪⎝⎭，作出函数()h x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上图象，当
2
312e e m <<时，直线y m =与函数()h x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的图象有两个交点，设两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <，由图可知，当
112x x <<或22x x <<时，21e x
x m x ->，此时()21e 0e x x x f x x m x -⎛⎫=-> ⎪⎭'⎝
，当12x x x <<时，21e x
x m x -<
，此时()21e 0e x x x f x x m x -⎛⎫=-< ⎪⎭
'⎝，所以函数()f x 在11,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增，在()12,x x 上递减，在()2,2x 上递增，此时，函数()f x 有两个极值点，合乎题意.因此，实数m 的取值范围为2
31,2e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.故答案为：231,2e e ⎛⎫
⎪⎝
⎭.【点睛】思路点睛：本题考查极值点问题.根据题意函数()()2
1e x
f x m x x x =--+在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个极
值点，转化为()f x '在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个变号零点，即()0f x '=，即21e x x m x -=有两个不同的根，即直线
y m =与函数()21e x
x h x x -=在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的图象有两个交点，数形结合可判断求解.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项.
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1
{}n
S 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）n T 21
n
n =+.【解析】
【分析】（1）设公差为,0d d ≠，由题意列出关于d 的方程，求得d ，即可求得数列{}n a 的通项.（2）由（1）可得n S 的表达式，即得1
n
S 的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.【小问1详解】设公差为,0d d ≠，
由11a =，且139,,a a a 成等比数列，
则()2
1218d d +=+，解得：1d =或0d =（舍去），故()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，故{}n a 的通项n a n =.【小问2详解】n a n = ，则()212
2
n n n n n
S ++=
=，所以：()
2
1221
1211n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭
，
111
11212231n T n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
+⎝⎭1211n ⎛
⎫=- ⎪
+⎝⎭21
n n =+.16.已如曲线()()2
2ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.
（1）求a 的值；
（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）12
a =（2）32
b ≥-【解析】
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【小问1详解】
由于210x y ++=的斜率为1
2
-，所以()22f '=，又()221f x ax x '=+-,故()224122
f a '=+-=，解得1
2a =，
【小问2详解】
由（1）知12a =，所以()()()221221x x x x f x x x x x
+-+-'=+-==
，故当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，故当1x =时，()f x 取最小值()1
112
f b =++，要使()0f x ≥恒成立，故()1
1102f b =++≥，解得32
b ≥-，故b 的取值范围为3
2
b ≥-
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,
=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.
(I)证明：//DE 平面PAB ;
(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
6
3
【解析】
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得.【详解】（Ⅰ）证明：取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以
AF ,AD ,AP
的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,
可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-
又(1,1,1)DE =-
,可得//AM DE ,
又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .
（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-uu u r ,(2,0,0)CD =- ,(2,2,2)
PB =--
设(,,)n x y z =
为平面PCD 的法向量,
则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即220,
20,y z x -=⎧⎨-=⎩不妨令1z =,可得(0,1,1)
n =
因此有cos ,3PB n PB n PB n
⋅<>==-⋅
.所以直线PB 与平面PCD
所成角的正弦值为
3
.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.
18.已知椭圆2222:1,(0)x y E a b a b +=>>
的离心率为2
，短轴长为
2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）如图，已知A ，B ，C 为椭圆E 上三个不同的点，原点O 为ABC 的重心；①如果直线AB ，OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值；
②试判断ABC 的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）2
21
4
x y +=（2
）①证明见解析；②为定值，2
【解析】
【分析】（1）利用条件直接求出a ，从而求出椭圆的方程；
（2）①设出直线AB 的方程，联立椭圆方程得222(14)8440k x mkx m +++-=，利用丰达定理求出AB 中点坐标，进而可得出证明；
②分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，利用条件分别求出ABC 的面积，从而判断出是否为定值.【小问1详解】
因为
2
c a =
，得到2c a =，又1b =，222a b c =+解得2,1
a b ==所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
【小问2详解】
①设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 得到222(14)8440k x mkx m +++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得到，2121222
844
,1414mk m x x x x k k
--+=⋅=++，由2222644(14)(44)0m k k m ∆=-+->，得2241m k <+，
设线段AB 的中点22
4(
,1414mk m
D k k -++，因为O 为ABC 的重心，
所以，1
44
AB OC AB OD m k k k k k mk ⋅=⋅=⋅
=--为定值.
②设33(,)C x y ，因为原点O 为ABC 的重心，
所以，当直线AB 的斜率不存在时，有(2,0)C -或(2,0)C ，
由重心的性质知，当(2,0)C -时，直线AB 方程为1x =，(2,0)C 时，直线AB 方程为=1x -，将1x =或
=1x -代入2
214
x y +=
，均求得AB =，又C 到直线AB 的距离为3，
所以11||3222
ABC S AB h =
⨯==
，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由①知，
2121222
844
,1414mk m x x x x k k
--+=⋅=++，又因为原点O 为ABC 的重心，所以31231222
82(),()1414mk m
x x x y y y k k
-=-+=
=-+=++，
又因为点33(,)C x y 在曲线E 上，代入2
214x y +=，得22
22
8(214()1414mk m k k
-++=+，化简得22414m k =+，又222222222644(14)(44)64161616(41)161648m k k m k m m m m ∆=-+-=-+=--+=
，所以
21||AB x =-=原点O 到直线AB
的距离d =
所以22213||3214ABC
S AB d k =⨯=+= 为定值，综上所述，ABC 的面积是为定值，定值为
33
2
.【点睛】对于第（2）问中的②小问，利用韦达定理，结合重心坐标公式是解题的关键.19.设函数()2
ln f x x x =-，()()R g x ax a =∈.
（1）求()y f x =在[]1,e 上的最值；
（2）若函数()y g x =图象恰与函数()y f x =图象相切，求实数a 的值；
（3）若函数()()()2ln h x f x g x x =-+有两个极值点1x ，2x ，设点()()
11,A x h x ，()()
22,B x h x ，证
明：A 、B 两点连线的斜率42
a k a >
-.【答案】（1）()min 1f x =，()2
max e 1f x =-（2）1a =（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）借助导数可得该函数在[]1,e 上的单调性，即可得其最值；（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得切点横坐标，即可得解；（3）由函数的两个极值点结合韦达定理可得122a x x +=、121
2
x x =，表示出A 、B 两点连线的斜率后，借助韦达定理及换元法计算可将问题转化为证明()21ln 01
t t t -->+，构造相应函数证明即可得.
【小问1详解】
)
11
1
()20)
f x x x
x x
+-
'=-=>，
则当0,2
x⎛⎫
∈ ⎪
⎪
⎝⎭
时，()0
f x
'<
，当,
2
x⎛⎫
∈+∞
⎪
⎪
⎝⎭
时，()0
f x
'>，
∴()
f x在[]
1,e上单调递增，
∴()()
min
11
f x f==，()()2
max
e e1
f x f==-；
【小问2详解】
设()
g x ax
=与()
f x切于()
2
000
,ln
P x x x
-，
由()
1
2
f x x
x
'=-，则()00
1
2
k f x x
x
==-
'，
所以
2
000
1
2
ln
x a
x
ax x x
⎧
-=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，则2
0000
1
2ln
x x x x
x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
，
即200
ln10
x x
+-=，
令()()
2ln10
F x x x x
=+->，则()1
20
F x x
x+
'=>，
所以()
F x在()
0,∞
+上单调递增，
又()10
F=，所以
1
x=，
所以1
a=；
【小问3详解】
解法一：
由()22
ln2ln ln
h x x x ax x x x ax
=--+=+-，
所以()
2
121
2x ax
h x x a
x x
-+
=+-=
'，
因为()
h x有两个极值点，
()0
h x
'
∴=，即2
210
x ax
-+=有两个不等的正根12,x x，且
12
12
2
1
2
a
x x
x x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
()()22212221112121
ln ln AB h x h x x x ax x x ax k k x x x x -+---+∴===--2121212121
ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--，要证：42
a k a >-，即证2121ln ln 422x x a a x x a --+>--，不妨设210x x >>，即证：212112
ln ln 2x x x x x x ->-+，即证：()2211221121
212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令21,1x t t x =>⇔证()21ln 01
t t t -->+，令()()()()()222
2121211(1)ln ,01(1)(1)t t t t F t t F t t t t t t -+---=-=-=>+++'，()F t ∴在()1,+∞上单调递增()(),10F t F >=，证毕!
解法二：
因为()2
ln h x x ax x =-+，所以()21212x ax h x x a x x ='-+=-+，令()0h x '=，则2210x ax -+=，
因为函数()h x 有两个极值点12,x x ，所以2Δ800
a a ⎧=->⎨>⎩
，解得a >所以12121,22
a x x x x +==，所以AB 的斜率()()2211122212ln ln x ax x x ax x k x x -+--+=-()121212121212
ln ln ln ln x x x x x x a x x x x x x --=+-+=-++--，令()1ln 2,(1)1t G t t t t -=-⨯
>+，则()2
2214(1)0(1)(1)
t G t t t t t -=-+'=>+，
所以()G t 在()1,+∞上单调递增，又()10G =，所以当1t >时，()0G t >，
不妨设12x x >，令12x t x =，则112121212122
1ln 2ln ln 201x x x x x x x x x x x x ---⨯=--⨯>++，所以121212
ln ln 20x x x x x x -->-+，即()()1212121212ln ln 242x x a x x x x x x x x a
--+>-++=--+，证毕!【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令12x t x =，将双变量1x ，2x 转化为t ，从而将双变量问题转化为单变量问题.。