2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷

2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）3-的相反数是( )
A ．3-
B ．3-
C ．3±
D ．3
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )
A ．438.410km ⨯
B ．53.8410km ⨯
C ．60.38410km ⨯
D ．63.8410km ⨯
4．（4分）下列运算正确的是( )
A ．22(2)4a a -=-
B ．222()a b a b +=+
C ．527()a a =
D ．2(2)(2)4a a a -+--=-
5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若
4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD
的长度为( )
A ．π
B ．2π
C ．22π
D ．4π 6．（4分）若函数k y x
=与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =+的大致图象为(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（4分）如图，将线段AB 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B ''，则点B 的对应点B '的坐标是( )
A ．(4,1)-
B ．(1,2)-
C ．(4,1)-
D ．(1,2)-
8．（4分）不等式组523(1)131722
x x x x +>-⎧⎪⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( ) A ．10 B ．7 C ．6 D ．0
9．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，
垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )
A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒
10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为()
A．
4.5
1
1
2
y x
y x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
B．
4.5
1
1
2
x y
y x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
C．
4.5
1
1
2
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
D．
4.5
1
1
2
y x
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
1
4
，
1
2
，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210
ax bx
++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()
A．
2
3
B．
5
9
C．
4
9
D．
1
3
12．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2
AF FB=，CE DF
⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使
1
2
BG BC
=，连接GM．有如下结论：①DE AF
=；②
2
AN AB
=；③ADF GMF
∠=∠；④:1:8
ANF CNFB
S S
∆
=
四边形
．上述结论中，所有正确结论的序号是()
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．②③④
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果）
13．（4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为 ． 14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF
=，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．
15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
16．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x
=>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)k y x x
=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 ．
（用含n 的式子表示）
三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．（4分）先化简，再求值：2222421121
x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =．
18．（4分）解分式方程：31133x x
-=--． 19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．
20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．
21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形
式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车
的士 私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择B 类的人数有 人；
（2）在扇形统计图中，求A 类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A ，B ，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，
请估计该市“绿色出行”方式的人数．
23．（8分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：ABE CDF ∆≅∆；
（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．
24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB
⊥交AB 于点E ．
（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线；
（2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求EF AC
的值．
25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =．
（1）求直线的解析式；
（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连接CM ，以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角三角形CMN ，连接NB ．
（1）如图1，图2，若ABC ∆为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则线段BN ，AM 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
深入探究：②当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展：（2）如图3，90ACB ∠≠︒，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP CM ⊥交线段BN 于点P ，且45CBA ∠=︒，42BC =，当BM = 时，BP 的最大值为 ．
2020年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）3-的相反数是( )
A ．3-
B ．3-
C ．3±
D ．3
【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：3-的相反数是3．
故选：D ．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，
因此选项B 的图形符合题意，
故选：B ．
3．（4分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km ，把384000km 用科学记数法可以表示为( )
A ．438.410km ⨯
B ．53.8410km ⨯
C ．60.38410km ⨯
D ．63.8410km ⨯
【解答】解： 科学记数法表示：384 5000 3.8410km =⨯
故选：B ．
4．（4分）下列运算正确的是( )
A ．22(2)4a a -=-
B ．222()a b a b +=+
C ．527()a a =
D ．2(2)(2)4a a a -+--=-
【解答】解：22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；
222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意；
5210()a a =，故选项C 不合题意；
2(2)(2)4a a a -+--=-，故选项D 符合题意．
故选：D ．
5．（4分）如图，线段AB 经过O e 的圆心，AC ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．若
4AC BD ==，45A ∠=︒，则¶CD
的长度为( )
A ．π
B ．2π
C ．22π
D ．4π
【解答】解：连接OC 、OD ，
AC Q ，BD 分别与O e 相切于点C ，D ．
OC AC ∴⊥，OD BD ⊥，
45A ∠=︒Q ，
45AOC ∴∠=︒，
4AC OC ∴==，
4AC BD ==Q ，4OC OD ==，
OD BD ∴=，
45BOD ∴∠=︒，
180454590COD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
∴¶CD 的长度为：9042180
ππ⨯=， 故选：B ．
6．（4分）若函数
k
y
x
=与2
y ax bx c
=++的图象如图所示，则函数y kx b
=+的大致图象为(
)
A．B．
C．D．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知0
k<，
根据二次函数的图象确知0
a>，0
b<，
∴函数y kx b
=+的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
7．（4分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B''，则点B的对应点B'的坐标是()
A ．(4,1)-
B ．(1,2)-
C ．(4,1)-
D ．(1,2)-
【解答】解：将线段AB 先向右平移5个单位，点(2,1)B ，连接OB ，顺时针旋转90︒，则B '对应坐标为(1,2)-， 故选：D ．
8．（4分）不等式组523(1)1317
22
x x x x +>-⎧⎪
⎨--⎪⎩…的所有非负整数解的和是( )
A ．10
B ．7
C ．6
D ．0
【解答】解：()523113
1722
x x x x +>-⎧⎪
⎨--⎪⎩①
②…， 解不等式①得： 2.5x >-， 解不等式②得：4x …，
∴不等式组的解集为： 2.54x -<…，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0123410++++=，
故选：A ．
9．（4分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )
A ．35︒
B ．40︒
C ．45︒
D ．50︒
【解答】解：BD Q 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥， 1
3522ABD EBD ABC ︒
∴∠=∠=∠=
，90AFB EFB ∠=∠=︒， 9017.5BAF BEF ∴∠=∠=︒-︒，
AB BE ∴=， AF EF ∴=， AD ED ∴=， DAF DEF ∴∠=∠，
18095BAC ABC C ∠=︒-∠-∠=︒Q ， 95BED BAD ∴∠=∠=︒， 955045CDE ∴∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
10．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为( ) A ． 4.5
1
12y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ B ． 4.5
1
12x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5112
x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ． 4.5112
y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
【解答】解：设绳长x 尺，木长为y 尺， 依题意得 4.5
1
12
x y y x -=⎧⎪
⎨-=⎪⎩， 故选：B ．
11．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
14，1
2
，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲
中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程210
ax bx
++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为()
A．2
3
B．
5
9
C．
4
9
D．
1
3
【解答】解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为4
9
，
故选：C．
12．（4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2
AF FB=，CE DF
⊥，垂足为M，
且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使
1
2
BG BC
=，连接GM．有如下
结论：①DE AF
=；②
2
4
AN AB
=；③ADF GMF
∠=∠；④:1:8
ANF CNFB
S S
∆
=
四边形
．上述
结论中，所有正确结论的序号是()
A．①②B．①③C．①②③D．②③④【解答】解：Q四边形ABCD是正方形，
AD AB CD BC
∴===，90
CDE DAF
∠=∠=︒，
CE DF
⊥
Q，
90
DCE CDF ADF CDF
∴∠+∠=∠+∠=︒，
ADF DCE
∴∠=∠，
在ADF
∆与DCE
∆中，
90DAF CDE AD CD
ADF DCE ∠=∠=︒⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ADF DCE ASA ∴∆≅∆，
DE AF ∴=；故①正确；
//AB CD Q ， ∴
AF AN
CD CN
=
， :1:2AF FB =Q ，
::1:3AF AB AF CD ∴==， ∴1
3AN CN =， ∴
1
4
AN AC =，
AC =Q ，
∴
14
=
，
AN AB ∴=
；故②正确； 作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===
，EC =， 由CMD CDE ∆∆∽
，可得CM =， 由GHC CDE ∆∆∽
，可得CH =， 1
2CH MH CM ∴==，
GH CM ⊥Q ， GM GC ∴=， GMH GCH ∴∠=∠，
90FMG GMH ∠+∠=︒Q ，90DCE GCM ∠+∠=︒， FEG DCE ∴∠=∠， ADF DCE ∠=∠Q ，
ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，
设ANF ∆的面积为m ， //AF CD Q ，
∴
1
3
AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆∽， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ， ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，
:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，
故选：C ．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，只要求填写最后结果） 13．（4分）方程63
1(1)(1)1
x x x -=+--的解为 4x =- ．
【解答】解：
63
1(1)(1)1
x x x -=+--，
63(1)
1(1)(1)(1)(1)x x x x x +-=+--+，
331(1)(1)x
x x -=+-，
3
11x -=+， 13x +=-， 4x =-，
经检验4x =-是原方程的根； 故答案为4x =-；
14．（4分）如图，CD 为O e 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，¶¶AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为
48
5
．
【解答】解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图， AB CD ⊥Q ，
1
32
AE BE AB ∴==
=， 设O e 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =， 在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，
Q ¶¶AB BF
=， OB AF ∴⊥，AG FG =，
在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，① 在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，② 解由①②组成的方程组得到245
AG =， 48
25
AF AG ∴==
． 故答案为
485
．
15．（4分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 16 个小立方块．
【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：
故答案为：16
16．（4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k
y x x =>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯
在反比例函数(0)k
y x x
=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且
12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 1(1)3(1)n n n +--- ．
（用含n 的式子表示）
【解答】解：过1A 作11A D x ⊥轴于1D ， 12OA =Q ，1260OA A α∠=∠=︒， ∴△1OA E 是等边三角形，
13)A ∴， 3k ∴
3y ∴=
和3
y =，
过2A 作22A D x ⊥轴于2D ， 212360A EF A A A ∠=∠=︒Q ， ∴△2A EF 是等边三角形，
设23(,A x ，则223
A D =
Rt △22EA D 中，2230EA D ∠=︒，
21ED x
∴=
， 21
2OD x x
=+
=Q ，
解得：11x =（舍)，21x =+
2
1)2
EF x ∴=
====，
221)A D ==，
即2A 的纵坐标为1)； 过3A 作33A D x ⊥轴于3D ， 同理得：△3A FG 是等边三角形，
设3(A x ，则33A D =
， Rt △33FA D 中，3330FA D ∠=︒，
31FD x
∴=
，
31
22OD x x
=++
=Q ，
解得：1x =（舍)，2x =
2
GF x ∴=
===
33A D =
，
即3A ；
⋯
(n A n ∴为正整数）的纵坐标为：(1)n +-；
故答案为：(1)n +-；
三、解答题（本题共10个小题，共68分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17．（4分）先化简，再求值：
22
2242
1121
x x x x x x x ++-÷+--+，其中8x =． 【解答】解：原式2
22(2)(1)1(1)(1)2
x x x x x x x +-=-++-+g
222
11
x x x x -=
-
++ 21
x =
+ 当8x =时， 原式29
=
18．（4分）解分式方程：
31
133x x
-=
--． 【解答】解：原方程可整理得：31
133
x x --=
--， 去分母得：3(3)1x --=-， 去括号得：331x -+=-， 移项得：133x -=---， 合并同类项得：7x -=-， 系数化为1得：7x =， 经检验7x =是分式方程的解．
19．（4分）已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．
【解答】解：如图所示，Rt ABC ∆即为所求．
20．（4分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB ，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D 处测得条幅顶端A 的仰角45CDA ∠=︒，向后退8米到E 点，测得条幅底端B 的仰角30CEB ∠=︒（点C ，D ，E 在同一直线上，)EC AC ⊥．请你根据以上数据，帮助该兴趣
小组计算楼高AC （结果精确到0.01米，参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈．
【解答】解：设AC x =米，则(10)BC x =-米， 在Rt ACD ∆中，45CDA CAD ∠=∠=︒， 所以CD AC x ==，
在Rt ECB ∆中，8CE CD DE x =+=+． 所以tan BC
CEB CE
∠=，即103tan308x x -=︒=+ 解得，810334.5931
x +=
≈-．
答：楼高AC 约为34.59米．
21．（6分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【解答】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x
=+
化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=
经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨
+⎩
①
②… 由①得75 1.5y x =-③
将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …，
当40x =时，15y =，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．
22．（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择B类的人数有人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
【解答】解：（1）本次调查的市民有20025%800
÷=（人)，
B
∴类别的人数为80030%240
⨯=（人)，
故答案为：800，240；
-+++=，
（2）A
Q类人数所占百分比为1(30%25%14%6%)25%
∴类对应扇形圆心角α的度数为36025%90
A
⨯=（人)，
︒⨯=︒，A类的人数为80025%200
补全条形图如下：
⨯++=（万人），
（3）12(25%30%25%)9.6
答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．
23．（8分）如图，在ABCD
Y中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG AE
=，连接CG．
（1）求证：ABE CDF
∆≅∆；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，OB OD =，OA OC =， ABE CDF ∴∠=∠，
Q 点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，
12BE OB ∴=，1
2
DF OD =，
BE DF ∴=，
在ABE ∆和CDF ∆中，AB CD
ABE CDF BE DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；
（2）解：当2AC AB =时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： 2AC OA =Q ，2AC AB =， AB OA ∴=，
E Q 是OB 的中点，
AG OB ∴⊥， 90OEG ∴∠=︒，
同理：CF OD ⊥， //AG CF ∴， //EG CF ∴，
由（1）得：ABE CDF ∆≅∆， AE CF ∴=， EG AE =Q ， EG CF ∴=，
∴四边形EGCF 是平行四边形，
90OEG ∠=︒Q ，
∴四边形EGCF 是矩形．
24．（8分）在Rt ABC ∆中，9BC =，12CA =，ABC ∠的平分线BD 交AC 与点D ，DE DB ⊥交AB 于点E ．
（1）设O e 是BDE ∆的外接圆，求证：AC 是O e 的切线； （2）设O e 交BC 于点F ，连接EF ，求
EF
AC
的值．
【解答】（1）证明：DE DB ⊥Q ，O e 是Rt BDE ∆的外接圆
BE ∴是O e 的直径，点O 是BE 的中点，连接OD （1分）
90C ∠=︒Q
90DBC BDC ∴∠+∠=︒
又BD Q 为ABC ∠的平分线 ABD DBC ∴∠=∠ OB OD =Q ABD ODB ∴∠=∠ 90ODB BDC ∴∠+∠=︒ 90ODC ∴∠=︒（4分）
又OD Q 是O e 的半径 AC ∴是O e 的切线（5分）
（2）解：设O e 的半径为r ，
在Rt ABC ∆中，22222912225AB BC CA =+=+= 15AB ∴=（7分）
A A ∠=∠Q ，90ADO C ∠=∠=︒
ADO ACB ∴∆∆∽． ∴
AO OD
AB BC
=
∴
15159
r r
-= ∴45
8
r =
4524
BE r ∴==
，（10分） 又BE Q 是O e 的直径 90BFE ∴∠=︒ BEF BAC ∴∆∆∽
∴45
34154
EF BE AC BA ===（12分）
25．（10分）已知直线y kx b =+经过点(0,2)A ，(4,0)B -和抛物线2y x =． （1）求直线的解析式；
（2）将抛物线2y x =沿着x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与y 轴交于点C ，对称轴右侧部分抛物线与直线y kx b =+交于点D ，连接CD ，当//CD x 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，P 为该抛物线上一动点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，是否存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将(0,2)A ，(4,0)B -代入y kx b =+，得：
240b k b =⎧⎨
-+=⎩，解得：122k b ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为1
22
y x =
+． （2）如图1，设平移后抛物线的解析式为2()(0)y x m m =->，则平移后抛物线的对称轴为直线x m =，点C 的坐标为2(0,)m ． //CD x Q 轴，
∴点C ，D 关于直线x m =对称，
∴点D 的坐标为2(2,)m m ．
Q 点D 在直线1
22
y x =
+上， 21
222
m m ∴=⨯+，
解得：11m =-（舍去），22m =，
∴平移后抛物线的解析式为2(2)y x =-，即244y x x =-+．
（3）存在这样的点P ，使以点E ，P ，Q 为顶点的三角形与AOB ∆相似． 设点P 的坐标为2(,44)a a a -+，则|2|PQ a =-，244EQ a a =-+．
90PQE ∠=︒Q ，
∴分两种情况考虑，如图2所示．
①当EQP AOB ∆∆∽时，PQ EQ BO AO
=
，即2|2|4442a a a --+=， 化简，得：1
|2|2a -=，
解得：13
2
a =
，252a =，
∴点P 的坐标为3(2，1)4或5(2，1
)4
；
②当PQE AOB ∆∆∽时，PQ EQ
AO BO =
，即2|2|4424a a a --+=， 化简，得：|2|2a -=， 解得：10a =，24a =， ∴点P 的坐标为(0,4)或(4,4)．
综上所述：存在这样的点P，使以点E，P，Q为顶点的三角形与AOB
∆相似，点P的坐
标为
3
(
2
，
1
)
4
，
5
(
2
，
1
)
4
，(0,4)或(4,4)．
26．（10分）在ABC
∆中，ABC
∠为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．
（1）如图1，图2，若ABC
∆为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是AM BN
⊥，数量关系是；
深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展：（2）如图3，90
ACB
∠≠︒，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP CM
⊥交线段BN于点P，且45
CBA
∠=︒，42
BC=BM=时，BP的最大值为．
【解答】解：问题初现：
（1）①AM与BN位置关系是AM BN
=．
⊥，数量关系是AM BN
理由：如图1，ABC
∆
∆为等腰直角三角形，
Q，CMN
CAB CBA
=，CM CN
∠=∠=︒
=，45
90
ACB MCN
∴∠=∠=︒，AC BC
=，
=，CM CN
ACM BCN
∴∠=∠，且AC BC
SAS
ACM BCN
∴∆≅∆()
=．
∴∠=∠=︒，AM BN
CAM CBN
45
∠=∠=︒
Q，
CAB CBA
45
∴∠=︒+︒=︒，即AM BN
⊥
ABN
454590
故答案为：AM BN
=
⊥；AM BN
深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM BN
⊥，数量关系是AM BN
=．
理由如下：如图，
Q，CMN
∆为等腰直角三角形，
∆
ABC
=，45
CAB CBA
=，CM CN
∠=∠=︒
∴∠=∠=︒，AC BC
90
ACB MCN
=，
=，CM CN
∴∠=∠，且AC BC
ACM BCN
SAS
ACM BCN
∴∆≅∆()
45
CAM CBN
∴∠=∠=︒，AM BN
=．
45
CAB CBA
∠=∠=︒
Q，
454590
ABN
∴∠=︒+︒=︒，即AM BN
⊥
类比拓展：
（2）如图，过点C作CE AB
⊥于点E，过点N作NF CE
⊥于点F，则//
FN AB
MCN
∆
Q是等腰直角三角形
CM CN
∴=，90
MCN
∠=︒
90
ECM FCN
∴∠+∠=︒，且90
ECM CME
∠+∠=︒
FCN CME
∴∠=∠，且CM CN
=，90
F CEM
∠=∠=︒
()
CNF CME AAS
∴∆≅∆
FN EC
∴=，EM CF
=
42
BC=
Q，CE AB
⊥，45
CBA
∠=︒
4
CE BE
∴==，
FN BE CE
∴==，且//
FN BA
∴四边形FNBE是平行四边形，且90
F
∠=︒
∴四边形FNBE是矩形
90
CEM ABN
∴∠=∠=︒
90
PMB MPB
∴∠+∠=︒
CM MP
⊥
Q
90
CME PMB
∴∠+∠=︒
CME MPB
∴∠=∠，且90
CEM ABN
∠=∠=︒
CEM MBP
∴∆∆
∽
∴BP MB EM CE
=
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BM BM BP BM -∴==--+ ∴当2BM =时，BP 有最大值为1． 故答案为：2，1。