【数学】2016年高考真题——全国Ⅱ卷(文)(精校解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2016·全国卷Ⅱ文，1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B 等于( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－2，－1,0,1,2} C ．{1,2,3}
D ．{1,2}
2．(2016·全国卷Ⅱ文，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z 等于( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2i
D ．3－2i
3．(2016·全国卷Ⅱ文，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3 4．(2016·全国卷Ⅱ文，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.32
3π C ．8π
D ．4π
5．(2016·全国卷Ⅱ文，5)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x (k >0)与C 交于点P ，
PF ⊥x 轴，则k 等于( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 6．(2016·全国卷Ⅱ文，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( ) A ．－43
B ．－34
C. 3
D ．2
7．(2016·全国卷Ⅱ文，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
8．(2016·全国卷Ⅱ文，8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310
9．(2016·全国卷Ⅱ文，9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的S 等于( )
A ．7
B ．12
C ．17
D ．34
10．(2016·全国卷Ⅱ文，10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y ＝
1x
11．(2016·全国卷Ⅱ文，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫
π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
12．(2016·全国卷Ⅱ文，12)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
x i 等于( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
第Ⅱ卷
二、填空题：(共4小题，每小题5分)
13．(2016·全国卷Ⅱ文，13)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 14．(2016·全国卷Ⅱ文，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，
x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为
________．
15．(2016·全国卷Ⅱ文，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4
5，
cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________.
16．(2016·全国卷Ⅱ文，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的
卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2016·全国卷Ⅱ文，17)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
18．(2016·全国卷Ⅱ文，18)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
(1)记A (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
19．(2016·全国卷Ⅱ文，19)(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．
(1)证明：AC ⊥HD ′；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5
4，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．
20．(2016·全国卷Ⅱ文，20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围．
21．(2016·全国卷Ⅱ文，21)(本小题满分12分)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 2
3＝1的左顶点，斜率
为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积．
(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.
22．(2016·全国卷Ⅱ文，22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图，在正方体ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .
(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
23．(2016·全国卷Ⅱ文，23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的
斜率．
24．(2016·全国卷Ⅱ文，24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋1
2，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
答案解析
1.解析 由x 2<9解得－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}，又因为A ＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2}，故选D. 答案 D
2.解析 由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 答案 C
3.解析 由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π
2，所以φ＝－π
6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案 A
4.解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A. 答案 A
5.解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝k
x (k >0)得k ＝2，故选D.
答案 D
6.解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.
答案 A
7.解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝1
2×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝
16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
8.解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5
8，故选B.
答案 B
9.解析 由框图可知，输入x ＝2，n ＝2，a ＝2，S ＝2，k ＝1，不满足条件；a ＝2，S ＝4＋2＝6，k ＝2，不满足条件；a ＝5，S ＝12＋5＝17，k ＝3，满足条件，输出S ＝17，故选C. 答案 C
10.解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相
同的函数为y ＝1
x
，故选D. 答案 D
11.解析 由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋11
2，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B
12.解析 由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，因此根据图象的特征可得∑i ＝1m
x i ＝m ，故选B.
答案 B
13.解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案 －6
14.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5.
答案 －5
15.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝12
13，sin B ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝21
13.
答案
21
13
16.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”． 答案 1和3
17.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝2
5.所以
{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5.
(2)由(1)知，b n ＝⎣⎡
⎦⎤2n ＋
35.
当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋3
5<2，b n ＝1；
当n ＝4,5时，2≤2n ＋3
5<3，b n ＝2；
当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋3
5<4，b n ＝3；
当n ＝9,10时，4≤2n ＋3
5
<5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
18.解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200 1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .
19.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF
CD ，故AC ∥EF ，由此得
EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1
4
.
由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .
由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92
.
五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.
所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝232
2
.
20.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1
x
－
3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a (x －1)
x ＋1，则
g ′(x )＝1x －2a
(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2
，g (1)＝0.
(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增， 因此g (x )>0；
(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，
x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 21.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π
4
.
又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 2
3＝1得7y 2－12y ＝0，解
得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝12
7
.
因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144
49
.
(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 2
3＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝
0，
由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)
3＋4k 2，
故|AM |＝|x 1＋2|
1＋k 2＝
121＋k 2
3＋4k 2
.
由题设，直线AN 的方程为y ＝－1
k (x ＋2)，
故同理可得|AN |＝12k 1＋k 2
3k 2＋4.
由2|AM |＝|AN |，得
23＋4k 2＝k
3k 2＋4
，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.
22.(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，
易得∠DEF ＝∠CDF ， 所以△DEF ∽△CDF ， 则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ， DF CF ＝DE CD ＝DG CB
， 所以△DGF ∽△CBF ， 由此可得∠DGF ＝∠CBF .
因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆．
(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB ，由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝1
2
.
23.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.
由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±15
3.
所以l 的斜率为
153或－153. 24.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤－12
，
1，－12<x <1
2，
2x ，x ≥12.
当x ≤－1
2
时，由f (x )<2得－2x <2，
解得x >－1；
当－12<x <1
2
时，f (x
)<2；
当x ≥12
时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1.
所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．
(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1
＝(a 2－1)(1－b 2)<0，
即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.。