2012年高考真题理科数学解析汇编：概率

2012年高考真题理科数学解析汇编：概率
一、选择题
1 ．（2012年高考（辽宁理））在长为12cm 的线段AB 上任取一点 C ．现作一矩形,领边长
分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2
的概率为 （ ） A ．
16
B ．
13
C ．
23
D ．
4
521世纪教育网
2 ．（2012年高考（湖北理））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB
为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A ．2
1π
- B ．112π- C ．
2π
D ．
1π
3 ．（2012年高考（广东理））(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数
中任取一个,其个位数为0的概率是 （ ）
A ．
49
B ．13
C ．
29
D ．
19
4 ．（2012年高考（北京理））设不等式组02
02
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩表示的平面区域为
D ．在区域
D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） A ．
4
π B ．
2
2
π- C ．
6
π D ．
44
π
- 5 ．（2012年高考（上海理））设44321
1010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、
2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值2
2
1x x +
、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.
若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则 （ ）
A ．1ξD >2ξD .
B ．1ξD =2ξD .
C ．1ξ
D <2ξD .
D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.
二、填空题
6 ．（2012年高考（上海理））三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择
其中两个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).
7 ．（2012年高考（上海春））某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的
志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). 8 ．（2012年高考（江苏））现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数
列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.
9 ．（2012年高考（新课标理））某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2
正常工作,且元件3
正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布2(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为_________
三、解答题
10．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:
(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ. 21世纪教育网
11．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,
然后以每枝10元的价格出售,
如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列, 数学期望及方差;
元件1元件2元件3
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由.
12．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)求X的数学期望E(X).
13．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或
每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1
3
,乙每次投篮投中的概率
为1
2
,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ) 求甲获胜的概率;
(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望
14．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和
B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为
1
10
和p.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50
,求p的值;
(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.
15．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
16．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为3 4 ,
命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为2
3
,每命中一次得2
分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
17．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22
列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .
附:2
2
112212211212
(),
n n n n n n n n n χ++++-
=
18
．
（
2012
年
高
考
（
江
西
理
）
）
如图,从
A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),
B 1(0,2,0),B 2(0,2,0),
C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积
V=0).
(1)求V=0的概率;
(2)求V 的分布列及数学期望.
19．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两
条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=.
(1)求概率(0)P ξ=;
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.
20．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员
工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量
1至4件
5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x
30 25 y 10 结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. (注:将频率视为概率)
21世纪教育网
21．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工
期的影响如下表:
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:[来源:21世纪教育网] (Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
降水量X
300X <
300700
X ≤<700900
X ≤<900X ≥
工期延误天数Y
0 2 6 10
22．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考
试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100. (Ⅰ)求图中x 的值;
(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.
23．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车
的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:
品
牌 甲
乙
首次出现故障时间x 年
01
x <≤
12
x <≤
2x >
02
x <≤
2
x >
轿
车数量(辆) 2
3
4
5
5
4
5 每
1
2
3
1.8
2.9
辆利润(万元)
将频率视为概率,解答下列问题:
(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;
(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.
24．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
)21世纪教育网 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续
发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;21世纪教育网 (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.
25．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨
余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃
圾”箱
厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.
当数据,,a b c 的方差2
S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2
S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++- ,其中x 为12,,n x x x 的平均数)
26．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的
是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道
试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率;
(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望).
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案
一、选择题 1. 【答案】C
【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为
(12)x x -cm 2,
由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2
的概率
为
2
3
,故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.
2. 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.
解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面
积,8
2
21212121212
2-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去
三角形OAC 面积和22S ,()16
2281181222
1-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇
形OAB 面积π4
1
=
S ,选A. 3. 解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为
0的有5个,所以概率为
51459
=. 4. 【答案】D
【解析】题目中02
02
x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正
方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2
1
22244224
p ππ⨯-⨯-==
⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公
式、概率.
5.
[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2
22
1(
2.0x x E +=ξ+
2
3
2x x ++
2
4
3x x ++
2
5
4x x ++
2
15x x +)=
t ,
211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]
]5)(2)[(2.02543212
524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;
第8题图
记
1
2
21x x x '=+,2
2
3
2x x x '=+,,5
2
1
5x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221
t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2
5
24232221x x x x x ++++有大小, ])()()[(2212322214
12524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[155********
52423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++= )]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2
5
24232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A. [评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得
1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.
二、填空题
6. [解析] 设概率p=n
k ,则2723232
3
=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的
项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有1
3C 种;③确定另一人所选的项目,有1
2C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=3
22718=. 7.
1415
8. 【答案】
35
. 【考点】等比数列,概率.
【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是
63=105
. 9. 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
38
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2
(1000,50)N
得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为1
2
p =
[来源:21世纪教育网] 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
131(1)4
P p =--=
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =⨯=
三、解答题
10. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、
离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
13,去参加乙游戏的概率为23
.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3i A i =,则
4412()()()33
i i i
i P A C -=.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为2
2
2
24128
()()()3
3
27
P A C ==
. 21世纪教育网
(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则
34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故
3344
34441211()()()()()()3339
P B P A P A C C =+=+=
所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
1
9
. (3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故
2130484017
(0)(),(2)()(),(4)()()278181
P P A P P A P A P P A P A ξξξ===
==+===+= 所以ξ的分布列为
ξ
0 2 4
p
827 40
81 17
81
随机变量ξ的数学期望8401714802427818181
E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键..
11. 【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-=
当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-
得:1080(15)
()80
(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨
≥⎩
(2)(i)X 可取60,70,80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 的分布列为
X 60 70 80
P
0.1 0.2 0.7
600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=
222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=
(ii)购进17枝时,当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4
y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 76.476> 得:应购进17枝
12. 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.
(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
35395(3)42C P X C ===; 21
543920
(4)42C C P X C ===;
12543915(5)42C C P X C ===; 3
43
9
2
(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为
X 3 4 5 6 P
5
42
20104221
= 1554214
= 214221
=
(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:
E (X )=6
413
()3i i P X i =⋅==∑.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
13
3
. 13. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用
概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.
解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则
()13k P A =,()1
2
k P B =, ()1,2,3k ∈
(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的
概率计算公式知,()()()()
111211223P C P A P A B A P A B A B A =++
()()()
()()()()()
()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++
2
2
12112113323323
⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727
=++= (2)ξ的所有可能为:1,2,3
由独立性知:()()()
111121213323
P P A P A B ξ==+=
+⨯= ()()()
2
2
1121122211212
2323329
P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()(
)
2
2
1122211
3329
P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上知,ξ有分布列
ξ
1 2 3
P
23
2
9 19
从而,22113
1233999
E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)
14. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1-P(C)=1-
101P=5049 ,解得P=5
14 分 (2)由题意,P(ξ=0)=100011013
03
=）（C [来源:21世纪教育网] P(ξ=1)=1000
2710111012
13
=-）（）（C P(ξ=2)=1000
2431011101223
=-）（）（C P(ξ=3)=1000
729101110130
33
=-）（）（C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:
ξ
0 1 2 3
P
10001 100027
1000243
1000
729
故随机变量X 的数学期望为:21世纪教育网 E ξ=010
2710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯
. [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、
数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15.解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:
Y 1 2 3 4 5 P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==
0.10.30.30.10.40.40.22=⨯+⨯+⨯=
(2)解法一 X 所有可能的取值为0,1,2
0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=
1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时
间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=
0.10.90.40.49=⨯+=
2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,
所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为
X 0 1 2 P
0.5
0.49
0.01
00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=
解法二 X 所有可能的取值为0,1,2
0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=
2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,
所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=
(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==
所以X 的分布列为
X 0 1 2 P
0.5
0.49
0.01
00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=
16.解析:(Ⅰ)36
7
323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ;
(Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X
91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅=
=C X P X P X P ,
21世纪教育网
3
1)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2212=⋅===⋅===⋅=
=X P X P C X P X 0
1
2
3
4
5
P
361 12
1
91 31
91
3
1 EX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=
12
5
31241=. 17. 【答案及解析】
(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:
由2×2列联表中数据代入公式计算,得:
因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
1
4
,由题意,
,从而X 的分布列为:
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 18. . 【解析】
解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3
620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123
(0)205
P V ==
= (2)V 的所有可能值为1124
0,,,,
6333,因此V 的分布列为
V
16
13
23
43
P
3
5 120
320
320
120
由V 的分布列可得: EV=31113234190562032032032040
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.
19. 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰
有3条棱,
∴共有238C 对相交棱.
∴ 232128834
(0)=6611
C P C ξ⨯==
=.
(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或2,其中距离为2的共有6对, ∴ 212661(2)=
6611P C ξ===,416(1)=1(0)(2)=1=111111
P P P ξξξ=-=-=--. ∴随机变量ξ的分布列是:
ξ
0 1
2
()
P ξ
4
11 611 111
∴其数学期望6162()=12=111111
E ξ+⨯
+⨯. 【考点】概率分布、数学期望等基础知识.
【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)P ξ=.
(2)求出两条棱平行且距离为2的共有6对,即可求出(2)P ξ=,从而求出(1)P ξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.
20. 【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
153303251
(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ==
======= 201101
( 2.5),(3).100510010
p X p X ======
X 的分布为 X 1
1.5
2
2.5
3
P
320 310 14 15 110
X 的数学期望为
33111
()1 1.52 2.53 1.920104510
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第
i 位顾客的结算时间,则
121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.
由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以
121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)
P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(
21世纪教育网
333333920202010102080
=
⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为
980
. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知
251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ,计算每一个变量对应的概率,从而
求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率.
21.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与
方差.
解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: (300)0.3,
P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=, (700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.
所以Y 的分布列为:
于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;
2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.
故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，
又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.
由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66
(300)0.77P X P X ≤<=
==≥. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是
6
7
. 22.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.
(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、
500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.
()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20
392
1231
26622
C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111
012112222222
E ξ=⨯
+⨯+⨯==. Y 0 2 6 10 P
0.3
0.4
0.2
0.1
A
B
C D P
E
F
图 ①
G 5
3
4
23. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数
学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231
()5010
P A +==. (2)依题意12,X X 的分布列分别如下:
1X
1
2
3
p
125
350
910
(3)由(2)得
1139
()123 2.86255010E X =⨯
+⨯+⨯=
219
() 1.8 2.9 2.791010
E X =⨯+⨯=
12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.
24. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.
首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记
i A 为事件“第
i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则
123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===.
(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123
A A A A A A A A A ++,
由互斥事件有一个发生的概率加法公式得
123123123()
P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.
即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.
123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;
123123123(1)()
P P A A A A A A A A A ξ==++2
X
1.8
2.9
p
1
10
910
0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;
(2)0.352P ξ==;
123(3)()0.40.40.60.096
P P A A A ξ===⨯⨯=
所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=
【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.
25. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不
要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.
(1)由题意可知:4002=6003
(2)由题意可知:200+60+403=100010 (3)由题意可知:22221(120000)3s a b c =++-,因此有当600a =,0b =,0c =时,
有280000s =.
26. 【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12
n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12
p =
随机变量X 可取,1,2n n n ++ 21()(1)4P X n p ==-=
,1(1)2(1)2P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+== X
n 1n + 2n + P 14 12 14
111(1)(2)1424
EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+ 答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12
n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +。