2016-2017学年湖南省株洲市醴陵二中高三(上)10月月考数学试卷(理科)

2016-2017学年湖南省株洲市醴陵二中高三（上）10月月考数学
试卷（理科）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4 B．﹣4 C．4+4i D．2i
2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1004+a1005+a1006=3，则该数列的前2009项的和为（）
A．3000 B．2009 C．2008 D．2007
3．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（）A．B．C．D．
4．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若a+c=2b，
且，当△ABC的面积为时，则b=（）
A．B．2 C．4 D．2+
5．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=（）A．B．C．D．
6．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣
7．（5分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的最大值为
C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称
D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象
8．（5分）在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（）
A．B．C．D．
9．（5分）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（）A．4 B．C．9 D．16
10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2=，则△ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
11．（5分）已知复数z=x+yi，满足|z﹣3﹣4i|=1，则x2+y2的取值范围是（）A．[4，6]B．[5，6]C．[25，36]D．[16，36]
12．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量
，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．C．D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2+）dx=．
14．（5分）设函数，则
=．
15．（5分）设两个向量=（λ，λ﹣2cosα）和=（m，+sinα），其中λ、m、α为实数．
若=2，则m的取值范围是．
16．（5分）给出如图所示的数表序列．其中表i（i=1，2，3，…）有i行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为a n，例如a2=5，a3=17，a4=49，则a n=．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（1）已知函数f（x）=2x+2sinx+cosx在点（α，f（α））处的切线的斜率为2，求的值
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，且，求△ABC的周长l的取值范围．
18．（12分）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛．足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）．共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE两两垂直，且AB∥EF，CD ∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=8，b=﹣6，求f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）设a＞0，且x=1是f（x）的极小值点，试比较lna与﹣2b的大小．21．（12分）数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，满足关系3S n﹣5S n﹣1=3（n ≥2）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设函数，作数列{b n}，使b1=1，．（n≥2）求b n的通项公式
（3）求T n=（b1b2﹣b2b3）+（b3b4﹣b4b5）+…+（b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1）的值．
选做题
22．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半径；
（Ⅱ）若E为⊙O上的一点，，DE交AB于点F，求证：PF•PO=PA•PB．
23．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．
（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
24．设f（x）=|ax﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年湖南省株洲市醴陵二中高三（上）10月
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）（2014•南昌模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）
A．4 B．﹣4 C．4+4i D．2i
【解答】解：由x﹣2=1，y=1有（1+i）4=（﹣2i）2=﹣4．
故选B．
2．（5分）（2010•广东模拟）在等差数列{a n}中，若a1004+a1005+a1006=3，则该数列的前2009项的和为（）
A．3000 B．2009 C．2008 D．2007
【解答】解：∵a1004+a1005+a1006=3得
∴3a1005=3，a1005=1
∴，
故选B．
3．（5分）（2016•宁远县校级模拟）已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，∴=1×2×cos60°=1，
∴|2+|====2，
故选：D．
4．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若a+c=2b，且，当△ABC的面积为时，则b=（）A．B．2 C．4 D．2+
【解答】解：由a+c=2b，且，可得B为锐角，cosB==．
由题意可得：=acsinB=ac×，化为：ac=，
又b2=a2+c2﹣2ac×，a+c=2b，
联立解得b=2，
故选：B．
5．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵tan（θ+）==，
∴tanθ=﹣，
而cos2θ==，
∵θ为第二象限角，
∴c osθ=﹣=﹣，sinθ==，
则sinθ+cosθ=﹣=﹣．
故选：A．
6．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣
【解答】解：由题意可得A=1，=﹣，
∴周期T=π，∴ω=2，
∴y=sin（2x+φ），
代点（，1）可得1=sin（+φ），
结合|φ|＜可得+φ=，
解得φ=﹣，
故选：D．
7．（5分）（2015•上饶三模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的最大值为
C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称
D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象
【解答】解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx
=sin2x+cos2x+
=sin（2x+）+
∴函数f（x）的最小正周期T=，A错误；
f（x）的最大值为：，B错误；
由2x+=kπ，解得f（x）的图象的对称轴为：x=，k∈Z，故C错误；
将f（x）的图象向右平移，得到g（x）=sin2x+图象，再向下平移个单位长度后会得到h（x）=sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确．
故选：D．
8．（5分）（2012•蓝山县校级模拟）在△ABC所在的平面内有一点P，满足
，则△PBC与△ABC的面积之比是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由得=，
即=2，所以点P是CA边上的三等分点，
故S
△PBC ：S
△ABC
=2：3．
故选C．
9．（5分）（2010•广东模拟）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（）
A．4 B．C．9 D．16
【解答】解：由，可化为xy=8+x+y，
∵x，y均为正实数，
∴xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立）
即xy﹣2﹣8≥0，
可解得≥4，
即xy≥16
故xy的最小值为16．
故应选D．
10．（5分）（2015•辽宁校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对
边，且cos2=，则△ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵cos2=，2cos2﹣1=cosA，
∴cosA=，
∴△ABC是直角三角形．
故选A
11．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）已知复数z=x+yi，满足|z﹣3﹣4i|=1，则x2+y2的取值范围是（）
A．[4，6]B．[5，6]C．[25，36]D．[16，36]
【解答】解：由|z﹣3﹣4i|=1，得|（x﹣3）+（y﹣4）i|=1．
所以复数z位于以（3，4）为圆心，以1为半径的圆周上．
而（3，4）到坐标原点的距离为=5．
所以|z|的取值范围是[4，6]，
所以x2+y2的取值范围是[16，36]．
故选：D．
12．（5分）（2016•河南模拟）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．C．D．
【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，
则k≥的最大值，所以本题即求的最大值．
由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）
AB方程y=（x﹣1）
由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）
故选D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2016•石家庄二模）（x2+）dx=．
【解答】解：（x2+）dx=2x2dx+2dx=2×|+2××
π×12=．
故答案为：．
14．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）设函数，则
=2005．
【解答】解：∵函数，
∴f（x）+f（1﹣x）==1，
∴
=4010×1=2005．
故答案为：2005．
15．（5分）（2016秋•醴陵市校级月考）设两个向量=（λ，λ﹣2cosα）和=（m，
+sinα），其中λ、m、α为实数．
若=2，则m的取值范围是[﹣2，2] ．
【解答】解：∵向量=（λ，λ﹣2cosα）和=（m，+sinα），其中λ、m、α为
实数，=2，
∴（λ，λ﹣2cosα）=（2m，m+2sinα），
∴2m=λ，m+2si nα=λ﹣2cosα．
化简得m+2sinα=2m﹣2cosα，
∴m=2sinα+2cosα=2sin（α+）∈[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
16．（5分）（2012•历下区校级模拟）给出如图所示的数表序列．其中表i（i=1，2，3，…）有i行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为a n，例如a2=5，a3=17，a4=49，则a n=（n﹣1）×2n+1．
【解答】解：由题意，a n=1+2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1①
由①×2得，2a n=1×2+2×22+3×23+4×24+…+n×2n②
将①﹣②得﹣a n=1+2+22+23+24+…+2n﹣1﹣n×2n=2n﹣1﹣n×2n
所以a n=（n﹣1）×2n+1．
故答案为：（n﹣1）×2n+1．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2016秋•醴陵市校级月考）（1）已知函数f（x）=2x+2sinx+cosx在点（α，f（α））处的切线的斜率为2，求的值
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，且，求△ABC的周长l的取值范围．
【解答】解：（1）∵f′（x）=2+2cosx﹣sinx，f′（α）=2，
即tanα=2，
∴，
∴的值；…（5分）
（2）由正弦定理可知：===2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由，则sinAcosC+sinC=sinB，
∴，
∴，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴，又0＜A＜π，
∴…（8分）
由正弦定理得：，
∴，
=，
=，
=…（10分）
∵，
∴，
∴，
∴…（11分）
∴△ABC的周长l的取值范围（2，3]…（12分）
18．（12分）（2012•陆丰市校级模拟）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某
中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛．足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）．共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）=××
=（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值为0、3、6，（4分）
则甲两场皆输：P（ξ=0）==（5分）
甲两场只胜一场：P（ξ=3）=×+×=（6分）
甲两场皆胜：P（ξ=6）==．（8分）
∴ξ的分布列为：
（10分）
Eξ=0×+3×+6×=（12分）
19．（12分）（2015秋•泉州校级期末）如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE 两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，
则有．
∵AH=HF，
∴…（2分）
又∵
∴
∴四边形CDHG是平行四边形
∴CG∥DH…（4分）
又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF
∴CG∥平面ADF…（6分）
（Ⅱ）如图，以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．
∵AB=BE=2，BC=CD=EF=1，
∴A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），
E（0，2，0），F（0，2，1），
∴…（7分）
设平面ADF的一个法向量，
则有，化简，得
令y=1，得…（10分）
设直线CG与平面ADF所成的角为θ，
则有．…（13分）
20．（12分）（2016秋•醴陵市校级月考）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=8，b=﹣6，求f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）设a＞0，且x=1是f（x）的极小值点，试比较lna与﹣2b的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=8，b=﹣6，
当时，f′（x）＜0，
当时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
故f（x）的极小值是f（），
又∵，
∴f（x）有两个零点；
（Ⅱ）依题有f′（1）=0，
∴2a+b=1即b=1﹣2a，
∴lna﹣（﹣2b）=lna+2﹣4a，
令g（a）=lna+2﹣4a，（a＞0）
则g′（a）=﹣4=，
当0＜a＜时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当a＞时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
因此g（a）＜g（）=1﹣ln4＜0，
故lna＜﹣2b．
21．（12分）（2016秋•醴陵市校级月考）数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，=3（n≥2）
满足关系3S n﹣5S n
﹣1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设函数，作数列{b n}，使b1=1，．（n≥2）求b n的通项公式
（3）求T n=（b1b2﹣b2b3）+（b3b4﹣b4b5）+…+（b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1）的值．
﹣5a n=0，
【解答】解：（1）∵，两式相减得3a n
+1
又∴，又当n=2时，3S2﹣5S1=3，
得，即，∴，
∴数列{a n}为等比数列…（4分）
（2）由已知得，∴，
∴数列{b n}是以b1=1为首项，为公差的等差数列．
∴…（8分）
（3）T n=（b1b2﹣b2b3）+（b3b4﹣b4b5）+…+（b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1）
=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+…+b2n（b2n﹣1﹣b2n+1）
==…（12分）
选做题
22．（10分）（2016•石家庄二模）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．
（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半径；
（Ⅱ）若E为⊙O上的一点，，DE交AB于点F，求证：PF•PO=PA•PB．
【解答】（Ⅰ）解：∵PA交圆O于B，A，PC交圆O于C，D，
∴PD•PC=PB•PA…（2分）
∴PD•PC=（PO﹣r）（PO﹣r）…（3分）
∴8×9=92﹣r2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）证明：连接EO CO
∵=，∴∠EOA=∠COA
∵∠EOC=2∠EDC，∠EOA=∠COA
∴∠EDC=∠AOC，∴∠COP=∠FDP…（7分）
∵∠P=∠P，∴△PDF～△POC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴PF•PO=PD•PC，
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PA•PB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
23．（2016•石家庄二模）在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t
为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．
（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，
∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0．
由ρ=4sinθ﹣2cosθ，得ρ2=4ρsinθ﹣2ρcosθ，
∴x2+y2=4y﹣2x，即x2+y2+2x﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0；
（2）由l：y=x+3，得P（0，3），
由，
解得或，
∴|PA||PB|=•=3．
24．（2017•荔湾区模拟）设f（x）=|ax﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…（1分）
当a＞0时，解集为，，无解；…（3分）
当a＜0时，解集为，
令，，
综上所述，．…（5分）
（Ⅱ）当a=2时，
令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）
=|4x+1|﹣|2x﹣3|
=
…（7分）
由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，
则当时，h（x）取到最小值，…（8分）
由题意知，，则实数m的取值范围是…（10分）
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；zhwsd；caoqz；沂蒙松；海燕；lincy；w3239003；刘长柏；xintrl；lcb001；sdpyqzh；zlzhan；铭灏2016；豫汝王世崇；刘老师（排名不分先后）
huwen
2017年4月25日。