(人教版)2020年高三数学模拟试卷及参考答案

（人教版）2020年高三数学模拟试卷及参考答案
一、选择题（5×10=50分）
1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =I （ ） A ．{11}x x -<< B ．{1}x x > C ．{11}x x -≤< D ．{1}x x ≥-
2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16
D ．32
3．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（ ）
A ．必要不充分
B ．充分不必要
C ．充要
D ．既不充分也不必要
4．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+=（ ） A ．145
- B ．75
- C ．2-
D ．45
5．圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（ ） A ．02=-y x B ．02=+y x C ．02=-y x D ．02=+y x 6. 已知函数()22x
f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）
7．函数()3cos 2sin 2f x x x =-的单调减区间为（ ）
A ．2[,]63k k π
πππ+
+
，k Z ∈ B ．7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈
C ．7[2,2]1212k k ππππ--，k Z ∈
D ．5[,]1212
k k ππ
ππ-+，k Z ∈
8．设1132
1
log 2,log 3,()2a b c ===0.3，则（ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
9．在复平面内，复数
211)
i (i
-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．已知某几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积是（ ）
A ．
21 B ．61 C ． 12
1 D ． 181
二、填空题（5×5=25分）
11．向量b a ,的夹角为120°，|5|,3||,1||b a b a -==则= 12．不等式
0)
1)(3(1
<+--x x x 的解集为
13．已知圆C 的圆心是直线01=+-y x 与x 轴的交点，且圆C
与直线03=++y x 相切．则圆C 的方程为
14．已知0,0x y >>，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是
______
15．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，
那么⊥a b 的概率是_____．
三、解答题（75分）
16．设集合A ＝{x |x 2
＜4}，B ＝{x |1＜4
x ＋3
}
（1）求集合B A I
（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值
17．已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2
π
θ∈
（1）求θsin 和θcos 的值
（2）求函数x x x f sin 22cos )(+=的值域
18． 将一颗均匀的四面分别标有1，2，3，4点的正四面体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y
在区域Ω：0020x y x y >⎧
⎪
>⎨⎪-->⎩内的概率．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为2
2
n n n
S +=
, （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列1{}n n a x -的前n 项和（其中0x >）
20．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D AA AB ,3,21==为B C 1的中点，P 为AB 边上的动点.
（1）当点P 为AB 边上的中点，证明DP //平面11A ACC （2）若,3PB AP =求三棱锥CDP B -的体积
．
21．若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b
y x 的离心率等于23
，抛物线2C ：)
0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。

（1）求抛物线2C 的方程；
（2）求)0,1(-M 的直线l 与抛物线2C 交E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、
2l ，当21l l ⊥时，求直线l 的方程；
参考答案
ACBCB BDDBA 11．7 12．)3,1()1,(Y --∞
13．2)1(22=++y x 14．)2,4(- 15．
61 16． (1)A ＝{x |x 2
＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝{x |1＜4x ＋3}＝{x |x －1x ＋3
＜0}＝{x |－3＜x
＜1}，
A ∩
B ＝{x |－2＜x ＜1}．
(2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}， 所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．
故⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2＝－3＋1b 2＝－3×1
，所以a ＝4，b ＝－6.
17．解：（1）∵a 与b 互相垂直，则0cos 2sin =-=⋅θθb a ，即θθcos 2sin =，
代入1cos sin 22=+θθ得5
5
cos ,552sin ±=±
=θθ， 又(0,)2
π
θ∈，∴55cos ,552sin ==θθ． （2）2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22
f x x x x x x =+=-+=--+
,sin [1,1]x R x ∈∴∈-Q ，
当1sin 2x =，()f x 有最大值3
2
；当sin 1x =-，()f x 有最小值3-。

所以，值域为3
[3,]2
-
18． (1)41 (2)16
3
19.解：（1）当时， 当
检验当
时成立，所以
（2）当1x =时,
,
当1x ≠时, (1)
()1x ⋅得
(2)
由（1）-（2）得：
综上所述:
20．（1）略 （2）
8
3
21.解：（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距24b c -=
由离心率等于2
3
242=-=
=b a
c e …………2分 ∴12=b ……3分
∴椭圆的上顶点（0，1） ∴抛物线的焦点为（0，1） ∴抛物线的方程为y x 42= ………6分
（2）由已知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，),(11y x E ，
),(22y x F ，241x y =
，∴x y 21'=，∴切线21,l l 的斜率分别为2121
,21x x ……8分 当21l l ⊥时，121
2121-=⋅x x ，即421-=⋅x x …9分
由⎩⎨⎧=+=y
x x k y 4)
1(2得：0442=--k kx x 0)4(4)4(2>-⨯-=∆k k 解得1-<k 或0>k ① ∴4421-=-=⋅k x x ，即：1=k … 10分
此时1=k 满足① … 11分
∴直线l 的方程为01=+-y x … 12分。