第一讲《集合与不等式》

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第一讲集合与不等式
一、 知识梳理
1、解分式不等式注意转化要等价;
2、解绝对值不等式注意采用零点分段讨论;
3、方程的根与不等式解集的关系:
二、 典型例题 题型1解不等式 例1、解下列不等式
2
(1)不等式 X -5x-6v0的解集为( )
A {X -2<XC 3}
B {x| — 1cx<6}
C X 2 + X -2
(2)不等式 ------------ >0的解集为( )
X -1
A {x|x<—1 或1<xc2}
B {x|—1<x<1 或XA 2}
C {X |XA —2且x H 1}
D {X |XA —2且
例 5、(1)解关于 X 的不等式 MxT) >1 ( k<^R ); (2 )设 aHb ,解不等式 a 2x+b 2(1 —x) > [ax + b(1
—x)】2
X —2{xx 吒-2或X A 3} D {X |X <_1或XA 6}
解关于 x 的不等式 (X 2
+ X-2)(x-3)2(X +4)兰0
(X-1) ]x | 7^
不等式 |2x —1| —X <1的解集是
不等式 X 2 —2|x|—15》0的解集为
(6) 若集合 A ={x| X 2
-2x +a >0},且 作A ,则实数a 的取值范围是
例2、在R 上定义运算O : A. (0,2) B. a 0 b =ab +2a+b ,则满足x O (x-2)<0的x 的取值范围为(). (-2,1)
C. ( = ,-2)U(1,母)
D. (-1,2)
题型2含参数不等式
例3、已知关于x 的不等式 ax —1 < 0的解集是 X +1
1
宀叽(-厂).则a =
例4、若关于X 的不等式(m-1)x V J4x - X 2 A. 1
2 B. 1 C. 2
的解集为{X |0 e x c 2},则实数m 的值是( )
(3)已知集合 A ={x 忘 R|x 2 +(p + 2)x +1=0} , B ={y 忘 R|y =x 2,x c 0},若
,求由实数 p 的取 值构成的集合.
X 2 +ax +1 >0恒成立,贝U a 的取值范围是
3 * 2 彳
2 X-一 的定义域为R ,求实数a 的取值范围。

ax + ax —3
2 2 1 2
(2)已知函数y=ax +bx + c 的图象过(一1,0 ),是否存在常数a,b,c 使不等式x<ax +bx + c< (1 + x )对
2 一切实数均成立?若存在,求出 a,b,c 的值;若不存在,说明理由
题型4含绝对值不等式和方程问题
例10、( 1)不等式2x —1 —X —2 €0的解集为
(2)不等式2x-1 + x-2 >a 对一切实数均成立,求实数 a 的取值范围 题型3恒成立问题
例6、若不等式 例7、若函数y : a 的取值范围是« A. a <2 =(a 一2) X 2 ()
+ 2(a - 2) ”x - 4的图象都在 x 轴的下方,则
B. 一2 c a <2
C.
D. a <2
例8、若不等式(a 2 -a-2) •X 2 + (a - 2)吠+1 > 0的解集为R ,贝y a 的取值范围是
例9、(1 )已知函数 f (X )=
.w.k.s.5.u.c.o.m
例11、方程X2—2| x| —15 =a—1有四个不同的解,则实数a的取值范围为
4.若集合 A = {x| Y 乞X 兰2}, B ={x|2m 乞xEm-!,且B 匸A ,则m 的取值范围是(
A . m 》T
B . —2<mET
C . m
5.定义集合 M ={x|x=3k +1,k €z }, N ={x|x =3k —1,k 迂 Z } , S ={x|x = 3k,k 迂 Z },又
M ,b 忘 N,c<^S ,则 a + b —c 壬(
B . N 题型5不等式的整数解问题
例12、( 1)不等式|3x-m|<4的解集中的整数有且只有 1,2,3,则m 的取值范围为
2 2
(X —b ) > (ax )的解集中的整数恰有 3个,则(
) C 1<:a <:3 D 3<:a <;6
题型6不等式在集合中的综合应用
「6 1
例13设全集U = R ,集合A = 4X |旦>1,, L x +1 J
(1)若A ^B ={x|—1 v x <4},求实数m 的值;(2 )若(C u A 尸B =*,求实数m 取值构成的集合.
(2)设0 c b £1 + a ,若关于x 的不等式 A _1cav0 B Ocacl B ={x| x 2 -2x +2m c 0},
三、课后习题
X —2 X -2
1.不等式|X 2|>X 2的解集是(
X X (0,2) B. (Y ,0) | X +2 | +1 X -1 |v 4 A. 2.不等式 C. )
(2,+oc ) D. (-处,0) (0,+必) A. (—2,1) B. [—2,1] C. 3.设 A , B 是两个非空集合,定义 A 与B 的差集是
(vl) A-B={X |X €A 且X 芒 B },则 A —(A-B)=(
)
D. (弓|)
2 2 B . ACB C . AuB D . A
6.设S 是整数集Z 的非空子集,对任意的a,b 亡S ,都有ab 亡S ,则称S 关于数的乘法是封闭的 若集合T ,V 是Z
7. 不等式> 0的解集是
2 -X
8. 不等式J^I+m c O 的解集是{x|x<3或XA 4},则m =
X +m
9. 以下说法正确的序号是 __________________
①年龄在15岁到18岁之间个子长得高的人可以组成一个集合;
②集合Ix|y 二雀3!和{y|y =2X 2+1,且X H O }是相同的集合; . J x -1J
③5在坐标平面内第二、四象限的点组成的集合用描述法表示为
Q IQ
—— e N 、和集合2 --- 壬N | X 壬N 、所包含的元素个数相同;
19-X J
参考答案:
1、A
2、
(-a +4)x 2 -4x +1 <0,
其中(—a +4 )x 2 -4x +1=0 中的也=4a :>0,且有 4-a :>0,故 0c a c 4 ,
1 1111
不等式的解集为 一冷 < X V ——,丄W —— c 丄则一定有1, 2, 3为所求的整数解集。

2+V a 2-V a 4 2 + V a 2
1 25 49
所以3吒 一 <4,解得a 的范围为(25,49] 2-J a 9 16 的两个不相交的非空子集, T u V = Z ,且对任意的
a,b,c € T ,都有 abct T ;对任意的 x, y, z e V ,都有 xyz e V ,
则下列结论恒成立的是( A. 集合T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 集合T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 集合T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 集合T,V 中每一个关于乘法都是封闭的
{(x,y) |xy A O,X 丘 R,疗 R
; 10.若关于 x 的不等式(2x -1)2 < ax 2的解集中整数恰好有 3个,求实数a 的取值范围。

7、{ X I —1 < X < 2} 8 、-2 9、
②④ 10。

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