2017年中考数学平行四边形专题复习导学案

2017年中考数学平行四边形专题复习导学案
2017年中考数学专题练习22《平行四边形》
【知识归纳】
一、多边形
．多边形的性质：n边形的内角和为
；任意多边形的外角和为
；对角线条数为。

2．正多边形的定义及性质：
定义：各个角
，各条边
的多边形叫做正多边形；
性质：每一个内角的度数为
；
正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是
图形
3．平面图形的密铺：
密铺的条件：围绕一个点拼在一起的所有角度之和为
常见的密铺图形：等边三角形，正方形，正六边形
平行四边形
、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做。

2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的
互补，
相等。

（2）平行四边形的对边。

推论：夹在两条平行线间的平行线段。

（3）平行四边形的对角线互相。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是
形
（2）定理1：两组对角分别
的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别
的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相
的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边
且
的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的。

5平行线间的距离处处。

【基础检测】
．（2016•益阳）下列判断错误的是（）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．（2016•内江）下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．（2016•广安）下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个．3个D．4个
4（2016•黑龙江龙东•3分）如图，在平行四边形ABD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，E，DB请你添加一个条件，使四边形DBE是矩形．
5（2016•四川泸州）如图，▱ABD的对角线A、BD相交于点，且A+BD=16，D=6，则△AB的周长是（）
A．10
B．14
．20
D．22
6（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为
．
7（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，请你添加一个适当的条件
使其成为菱形（只填一个即可）．
8（2016•贵州安顺•10分）如图，在▱ABD中，B=2AB=4，点E、F 分别是B、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△DF；
（2）当四边形AEF为菱形时，求出该菱形的面积．
【达标检测】
一．选择题
若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）
A．
3
B．
4
．
5
D．16
2，9，4分）如图，在平行四边形ABD中，点E在AD上，连接E 并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，D＝3，则AF的长为（）
A．5
B．6
．7
D．8
5．（2013•泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABD中，AB＝4，∠BAD的平分线与B的延长线交于点E，与D交于点F，且点F为边D 的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（）
A．2
B．4
．4
D．8
二．填空题
6（2016•青海西宁）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．
7．（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．
8（2016•山东省东营）如图，在Rt△AB中，∠B＝90°，AB＝4，B＞AB，点D在B上，以A为对角线的所有平行四边形ADE中，DE的最小值是_____________．
9如图，先将一平行四边形纸片ABD沿AE，EF折叠，使点E，B′，′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG= 度．
0如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________&rd;
三．解答题
1（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABD的对角线A上两点，AF＝E，DF＝BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△EB；
（2）四边形ABD是平行四边形．
2如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．
（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，，D；
（2）证明四边形ABD是平行四边形．
3如图，在ABD中，点E在边B上，点F在B的延长线上，且BE=F。

求证：∠BAE=∠DF
14（2016•吉林）（1）如图1，在Rt△AB中，∠AB=90°，以点B 为中心，把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，连接1B1，则1B1与B的位置关系为；
（2）如图2，当△AB是锐角三角形，∠AB=α（α≠60°）时，将△AB按照（1）中的方式旋转α，连接1B1，探究1B1与B的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若1B1=B，△1BB1的面积为4，则△B1B的面积为．
【知识归纳答案】
一、多边形
．多边形的性质：n边形的内角和为（n-2）•180°；任意多边形的外角和为360°；对角线条数为
2．正多边形的定义及性质：
定义：各个角
相等
，各条边
相等
的多边形叫做正多边形；
性质：每一个内角的度数为；
正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是轴对称图形 3．平面图形的密铺：
密铺的条件：围绕一个点拼在一起的所有角度之和为360°
常见的密铺图形：等边三角形，正方形，正六边形
平行四边形
、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

【基础检测答案】
．（2016•益阳）下列判断错误的是（）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正
确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2016•内江）下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错
误；
故选．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
3．（2016•广安）下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个．3个D．4个
【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．
正确的只有③，
故选A．
【点评】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 4（2016•黑龙江龙东）如图，在平行四边形ABD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，E，DB请你添加一个条件EB=D ，使四边形DBE是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=D．理由如下：
∵四边形ABD是平行四边形，
∴AD∥B，且AD=B，
∴DE∥B，
又∵DE=AD，
∴DE=B，
∴四边形DBE为平行四边形．
又∵EB=D，
∴四边形DBE是矩形．
故答案是：EB=D．
5（2016•四川泸州）如图，▱ABD的对角线A、BD相交于点，且A+BD=16，D=6，则△AB的周长是（）
A．10B．14．20D．22
【考点】平行四边形的性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出A=，B=D，D=AB=6，再利用已知求出A+B的长，进而得出答案
【解答】解：∵四边形ABD是平行四边形，
∴A=，B=D，D=AB=6，
∵A+BD=16，
∴A+B=8，
∴△AB的周长是：14．
故选：B．
6（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先由在▱ABD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB∥D，
∴∠BAE=∠1=20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．
故答案为：110°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．
7（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，请你添加一个适当的条件A⊥B或∠AB=90°或AB=B 使其成为菱形（只填一个即可）．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．
【解答】解：如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，添加一个适当的条件为：A⊥B或∠AB=90°或AB=B使其成为菱形．故答案为：A⊥B或∠AB=90°或AB=B
8（2016•贵州安顺）如图，在▱ABD中，B=2AB=4，点E、F分别是B、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△DF；
（2）当四边形AEF为菱形时，求出该菱形的面积．
【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE 为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABD中，AB=D，
∴B=AD，∠AB=∠DA．
又∵BE=E=B，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△DF．
（2）解：∵四边形AEF为菱形时，∴AE=E．
又∵点E是边B的中点，
∴BE=E，即BE=AE．
又B=2AB=4，∴AB=B=BE，
∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）
▱ABD的B边上的高为2×sin60°=，（7分）
∴菱形AEF的面积为2．（8分）
【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；
（2）若四边形AEF为菱形，则AE=E=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．
【达标检测答案】
一．选择题
若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）
A．
3
B．
4
．
5
D．16
【答案】
【解析】∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°-156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选．
2，9，4分）如图，在平行四边形ABD中，点E在AD上，连接E 并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，D＝3，则AF的长为（）
A．5
B．6
．7
D．8
【答案】B．
【解析】由平行四边形ABD，得AF∥D，所以∠F＝∠ED，∠FAE ＝∠D，则有△AFE∽△DE，从而得到＝＝2，即＝2，解得AF＝6．故答案选B．
【方法指导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形．本题图形中蕴涵两个相似三角形基本图：1“X”型，即△AFE∽△DE．2“A”型，即△FAE∽△FB．
5．（2013•泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABD中，AB＝4，∠BAD的平分线与B的延长线交于点E，与D交于点F，且点F为边D 的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（）
A．2
B．4
．4
D．8
【解析】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为D中点，AB＝D，求出AD 与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形EF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解答】解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵D∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，
又F为D的中点，∴DF＝F，∴AD＝DF＝D＝AB＝2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，则AF＝2AG＝2，
在△ADF和△EF中，
，
∴△ADF≌△EF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
二．填空题
6（2016•青海西宁•2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
7．（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先由在▱ABD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB∥D，
∴∠BAE=∠1=20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．
故答案为：110°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．
8（2016•山东省东营市•3分）如图，在Rt△AB中，∠B＝90°，AB＝4，B＞AB，点D在B上，以A为对角线的所有平行四边形ADE中，DE的最小值是_____________．
【知识点】直线射线和线段——垂线段最短、图形的相似——平行线分线段成比例定理、平行四边形——平行四边形的性质、【答案】4
【解析】根据“垂线段最短”，可知：当D⊥B时，D最短，DE的值最小
当D⊥B时，D∥AB∴DBD＝A＝1∴D是△AB的中位线∴D＝12AB ＝2∴DE的最小值＝2D＝4
【点拨】将求DE的最小值转化为求D的最小值，D的最小值就是点D到B的距离，由此可解
9如图，先将一平行四边形纸片ABD沿AE，EF折叠，使点E，B′，′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG= 度．
【答案】45
【解析】根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△EF≌△′EF，
∴∠AEB=∠AEB′，∠EF=∠′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠EF+∠′EF=180°，
∴∠AEB′+∠′EF=90°，
∵点E，B′，′在同一直线上，
∴∠AEF=90°，
∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，
∴∠AEG=∠GEA′=∠AEF=45°
0如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________&rd;
【答案】67
【解析】∵正八边形的每个内角为，且该图案由8个全等的等腰梯形拼成，
∴
三．解答题
1（2013•鞍山，22，6分）如图，E，F是四边形ABD的对角线A 上两点，AF＝E，DF＝BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△EB；
（2）四边形ABD是平行四边形．
【解析】平行四边形的判定；全等三角形的判定．（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△EB．
（2）由△AFD≌△EB，容易证明AD＝B且AD∥B，可根据一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形．
解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．
又∵AF＝E，DF＝BE，∴△AFD≌△EB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△EB，∴∠DA＝∠BA，AD＝B，
∴AD∥B．∴四边形ABD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．
（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，，D；
（2）证明四边形ABD是平行四边形．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）如图，四边形ABD为平行四边形；
（2）∵AB=D，AB∥D，∴四边形ABD为平行四边形．
3如图，在ABD中，点E在边B上，点F在B的延长线上，且BE=F。

求证：∠BAE=∠DF
【答案】证明见解析
【解析】∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB=D，AB∥D，
∴∠B=∠DF，
在△ABE和△DF中，
，
∴△ABE≌△DF（SAS），
∴∠BAE=∠DF．
4（2016•吉林）（1）如图1，在Rt△AB中，∠AB=90°，以点B 为中心，把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，连接1B1，则1B1与B的位置关系为平行；
（2）如图2，当△AB是锐角三角形，∠AB=α（α≠60°）时，将△AB按照（1）中的方式旋转α，连接1B1，探究1B1与B的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若1B1=B，△1BB1的面积为4，则△B1B的面积为 6 ．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠1B=∠B1B=90°，B1=B=B1，根据平行线的判定得到B1∥B1，推出四边形BB11是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）过1作1E∥B1于E，于是得到∠1EB=∠B1B，由旋转的性质得到B1=B=B1，∠1B=∠B1B，等量代换得到∠1B=∠1EB，根据等腰三角形的判定得到1B=1E，等量代换得到1E=B1，推出四边形1EB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）设1B1与B之间的距离为h，由已知条件得到=，根据三角形的面积公式得到=，于是得到结论．
【解答】解：（1）平行，
∵把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，
∴∠1B=∠B1B=90°，B1=B=B1，
∴B1∥B1，
∴四边形BB11是平行四边形，
∴1B1∥B，
故答案为：平行；
（2）证明：如图②，过1作1E∥B1，交B于E，则∠1EB=∠B1B，由旋转的性质知，B1=B=B1，∠1B=∠B1B，
∴∠1B=∠1EB，
∴1B=1E，
∴1E=B1，
∴四边形1EB1是平行四边形，
∴1B1∥B；
（3）由（2）知1B1∥B，
设1B1与B之间的距离为h，
∵1B1=B，
∴=，
∵S=B11•h，S=B•h，
∴===，
∵△1BB1的面积为4，∴△B1B的面积为6，故答案为：6．。