2017-2018学年江苏省南京市秦淮区七年级(下)期中数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
2.如图，直线m∥n．若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于（）
A.
B.
C.
D.
3.下列命题是真命题的是（）
A. 如果，那么
B. 如果，那么点C是线段AB的中点
C. 如果，那么
D. 如果直线，，那么
4.已知多项式x﹣a与x2+2x﹣1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（）
A. B. 1 C. 2 D.
5.已知A=a2-a+4，B=3a-1，则A、B的大小关系为（）
A. B. C. D. 不能确定
6.小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题，如图，已知∠A=30°，
∠B=70°，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E、D、G在AC上．
小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB．”
小亮说：“把小明的条件和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，可得
到∠CDG=∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，说法正确的人数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7.计算：x5÷x3=______．
8.某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学记数法表示这个数是
______m．
9.把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为______．
10.写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：______．
11.如图，∠3=40°，直线b平移后得
到直线a，则∠1+∠2=______°．
12.在（xy3）2=x2（y3）2的运算过程中，依据是______．
13.如图，边长为5cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右
平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为
______cm2．
14.x2-mx+9是完全平方式，则m=______．
15.如果等式（2a-3）a+3=1，则使等式成立的a的值是______．
16.如图，直角△AOB和△COD，∠AOB=∠COD=90°，∠B=30°，∠C=50°，点D在OA上，
将图中的△COD绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰好与边AB平行．
三、计算题（本大题共3小题，共22.0分）
17.计算：
（1）（-2）2+-（3-2）0-|-2|；
（2）20182-2017×2019．
18.计算：
（1）（2a-b）（4a2+b2）（b+2a）；
（2）（2a-b）2-4（a-b）（a+2b）．
19.阅读材料：若m2-2mn+2n2-2n+1=0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-2n+1=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-2n+1）=0
∴（m-n）2+（n-1）2=0，∴（m-n）2=0，（n-1）2=0，∴n=1，m=1．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x、y的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=12a+8b-52，且△ABC是等腰三角形，求c的值．
四、解答题（本大题共7小题，共46.0分）
20.△ABC在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图：
（1）过点C作AB的平行线；
（2）过点A作BC的垂线段，垂足为D；
（3）将△ABC先向下平移3格，再向右平移2格得到
△EFG（点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，
点C的对应点为点G）并直接写出△EFG的面积．
21.如图，在射线BC上取一点A，以AC为一边作∠CAD．
（1）以B为顶点，用直尺和圆规作∠CBE，使得
∠CBE=∠CAD；
（2）在所作的图中，BE与AD平行吗？为什么？
22.请用两种方法推导公式“（a m）n=a mn（m、n是正整数）”
23.证明：两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行．
已知：
求证：
证明：
24.（1）已知3×9x×81=321，求x的值；
（2）已知a m=2，a n=5，求①a m+n的值；②a3m-4n的值．
25.完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公
式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，
如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到
小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）5共有______项，各项系数的和等于______；
（3）（a+b）n（n为非负整数）共有______项，各项系数的和等于______；
（a-b）n（n为非负整数）各项系数的和等于______．
26.【问题情境】
如图1：在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点B作BG⊥AC，垂足为G．
求证：PD+PE=BG．
【变化一下】
当点P在BC延长线上时，请画图探究PD、PE、BG三者之间的数量关系并给出证明：
（2）如图2，△ABC满足AB=AC=BC，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，请直接写出PD、PE、PF和BG之间的关系．
【深入探究】
如图3，在△ABC中，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，
垂足分别为I、G、H，记CH、BG、AI分别为h1、h2、h3，请直接写出PD、PE、PF和h1、h2、h3之间的关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，错误；
B、（x3）2=x6，正确；
C、2x与3y不是同类项，不能合并，错误；
D、x6÷x3=x3，错误；
故选：B．
根据同类项、幂的乘方和同底数幂的除法计算判断即可得到结果．
此题考查同类项和幂的乘方以及同底数幂的除法，解题的关键是根据法则进行计算．
2.【答案】C
【解析】
解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵∠3=∠2+∠A，∠2=25°，
∴∠A=45°，
故选：C．
首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大．
3.【答案】D
【解析】
解：如果|a|=|b|，那么a=±b，A是假命题；
如果AC=BC，那么点C不一定是线段AB的中点，B是假命题；
如果a＞b，那么a2与b2的关系不确定，C是假命题；
故选：D．
根据绝对值的性质、线段中点的概念、有理数的乘方法则、平行线的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】C
【解析】
解：（x-a）（x2+2x-1）
=x3+2x2-x-ax2-2ax+a
=x3+2x2-ax2-x-2ax+a
=x3+（2-a）x2-x-2ax+a
令2-a=0，
∴a=2
故选：C．
先计算（x-a）（x2+2x-1），然后将含x2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】
解：∵A=a2-a+4，B=3a-1，
∴A-B=a2-a+4-3a+1=a2-4a+4+1=（a-2）2+1≥1＞0，
则A＞B，
故选：A．
利用作差法比较A与B的大小即可．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE=∠BCD，
∵∠CDG=∠BFE，
∴∠CDG=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB，∴小明正确；
∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE=∠BCD，
∵∠AGD=∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG=∠BCD，
∴∠CDG=∠BFE，∴小亮正确；
小刚和小颖的说法根据已知不能推出，∴小刚错误，小颖错误；
故选：B．
根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE=∠BCD，求出∠CDG=∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断小明；根据
∠AGD=∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG=∠BCD，即可判断小亮，根据已知条件判断小刚、小颖即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角
相等，③两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】x2
【解析】
解：x5÷x3=x5-3=x2．
故答案是：x2．
利用同底数的幂的除法法则：底数不变，指数相减即可求解．
本题考查了同底数的幂的除法法则：底数不变指数相减．
8.【答案】9.4×10-7
【解析】
解：0.00000094=9.4×10-7；
故答案为：9.4×10-7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等
【解析】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
10.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等地，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
11.【答案】220
【解析】
解：如图，
∵直线b平移后得到直线a，
∴a∥b，
∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°-∠1，
∵∠5=∠3=40°，
∴∠1+∠2=220°．
故答案为220．
如图，利用平移的性质得a∥b，再根据平行线的性质得∠4=180°-∠1，加上对顶角相等得∠5=∠3=40°，则根据三角形外角性质得∠2=∠4+∠5=180°-∠1+40°，从而可计算出∠1+∠2的度数．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
12.【答案】积的乘方运算法则
【解析】
解：在（xy3）2=x2（y3）2的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，
故答案为：积的乘方运算法则．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．
13.【答案】12
【解析】
解：∵边长为5cm的正方形ABCD先向上平移2cm，
∴阴影部分的宽为5-2=3cm，
∵向右平移1cm，
∴阴影部分的长为5-1=4cm，
∴阴影部分的面积为3×4=12cm2．
故答案为：12
阴影部分为长方形，根据平移的性质可得阴影部分是长为4，宽为3，让长乘宽即为阴影部分的面积．
此题考查正方形的性质，解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的边长．
14.【答案】±6
【解析】
解：∵x2-mx+9是完全平方式，
∴m=±6．
故答案为：±6．
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15.【答案】1或2或-3
【解析】
解：∵（2a-3）a+3=1，
∴a+3=0或2a-3=1或2a-3=-1，
解得：a=-3，a=2，a=1．
故答案为：-3或2或1．
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．
16.【答案】16或52
【解析】
解：①50°+30°=80°，
80°÷5°=16（秒）；
②80°+180°=260°，
260°÷5°=52（秒）．
答：t的值为16秒或52秒．
故答案为：16或52．
分两种情况：①旋转的角度小于180°；②旋转的角度大于180°；进行讨论即可求解．
考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．
17.【答案】解：（1）原式=4-2-1-2=-1；
（2）原式=20182-（2018-1）×（2018+1）=20182-20182+1=1．
【解析】
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，以及实数的运算，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：（1）原式=（4a2+b2）（4a2-b2）=16a4-b4；
（2）原式=4a2-4ab+b2-4a2+4ab-8ab+8b2=9b2-8ab．
【解析】
（1）原式利用平方差公式计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：（1）已知等式整理得：（x+y）2+（y+1）2=0，
∴x=1，y=-1；
（2）已知等式整理得：（a-6）2+（b-4）2=0，
解得：a=6，b=4，
由△ABC为等腰三角形，得到三边为6，6，4或4，4，6，
则c的值为4或6．
【解析】
（1）已知等式整理后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出x与y的值即可；
（2）已知等式整理后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出c的值．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20.【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图所示，AD即为所求；
（3）如图所示，△EFG即为所求，△EFG的面积为×6×3=9．
【解析】
（1）根据平行线的定义作图即可得；
（2）根据垂线段的定义作图可得；
（3）作出点A、B、C平移后的对应点，再顺次连接可得．
本题主要考查平移变换，解题的关键是熟练掌握平行线、垂线段的定义及平
移变换的定义和性质．
21.【答案】解：（1）如图，∠CBE为所作；
（2）当BE与AD在AC的同侧时，因为∠CBE=∠CAD，所以BE∥AD；
当BE与AD在AC的异侧时，BE与AD不平行．
【解析】
（1）利用基本作图，在AC的两侧作∠CBE=∠CAD；
（2）根据平行线的判定方法当BE与AD在AC的同侧时，BE∥AD；当BE与AD在AC的异侧时，BE与AD不平行．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
22.【答案】解：方法一：
个=个；
方法二：
个=个=a mn．
【解析】
根据幂的乘方与积的乘方可以解答本题．
本题考查幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确幂的乘方与积的乘方的计算方法．
23.【答案】解：已知：AB∥CD，MN平分∠BMH，GH
平分∠CHM，
求证：MN∥GH．
证明：∵MN平分∠BMH，GH平分∠CHM，
∴∠1=∠BMH，∠2=∠CHM，
∵AB∥CD，
∴∠BMH=∠CHM，
∴∠1=∠2，
∴MN∥GH．
【解析】
根据题意画出图形，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
24.【答案】解：（1）∵3×9x×81=3×32x×34=35+2x=321，
∴5+2x=21，
解得，x=8，
即x的值是8；
（2）①∵a m=2，a n=5，
∴a m+n=a m•a n=2×5=10；
②∵a m=2，a n=5，
a3m-4n=a3m÷a4n=（a m）3÷（a n）4=23÷54=．
【解析】
（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）①根据同底数幂的乘法可以解答本题；
②根据同底数幂的乘法和除法可以解答本题．
本题考查同底数幂的乘除法和幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
25.【答案】6；32；（n+1）；2n；0
【解析】
解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
验证：（a+b）4
=（a+b）2（a+b）2
=（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，
各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，
它们的和等于32；
（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20，
1+1=21，
1+2+1=22，
1+3+3+1=23，
∴（a+b）n各项系数的和等于2n；
∵1-1=0，
1-2+1=0，
1-3+3-1=0，
∴（a-b）n各项系数的和等于0．
故答案为：6，32；（n+1），2n；0．
（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；
（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；
（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a-b）n的各项系数的和即可．
本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
26.【答案】【问题情境】证明：如图1中，连接PA．
∵S△ABC=S△PAB+S△PAC，
∴×AC×BG=×AB×PD+×AC×PE，
∵AB=AC，
∴BG=PD+PE．
【变化一下】，①如图1-1中，结论：BG=PD-PE．
理由：连接PA．
∵S△ABC=S△PAB-S△PAC，
∴×AC×BG=×AB×PD-×AC×PE，
∵AB=AC，
∴BG=PD-PE．
②如图2中，结论：PD+PE+PF=BG．
理由：连接PA、PB、PC．
∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC
∴×AC×BG=×AB×PD+×AC×PE+•BC•PF
∵AB=AC，
∴BG=PD+PE+PF．
【深入探究】，如图3中，结论：++=1．
理由：连接PA、PB、PC．
设△ABC的面积为S．
∵S=•AB•h1=•AC•h2=BC•h3，
∴AB=，AC=，BC=，
∵S=S△PAB+S△PAC+S△PBC
=•AB•PD+•AC•PE+•BC•PF
=••PD+•PE+••PF，
∴++=1．
【解析】
【问题情境】如图1中，连接PA．根据S△ABC=S△PAB+S△PAC证明即可；
【变化一下】，①如图1-1中，结论：BG=PD-PE．理由面积法证明即可解决问题；
②如图2中，结论：PD+PE+PF=BG．证明方法类似；
【深入探究】，如图3中，结论：++=1．理由面积法证明即可；
本题主要考查三角形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、等边三角形的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．。