2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练16统计统计案例与概率

强化训练16 统计、统计案例与概率
第一次作业
1．[2021·全国乙卷]某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
s2 1和s2
2
.
(1)求x，y, s2
1
，s2
2
；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－
x≥2s2
1
＋s2
2
10
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不
认为有显著提高).
2．[2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
3.[2020·新高考Ⅰ卷]为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)2150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
(3)根据(2)PM 2.5浓度与SO 2
浓度有关？
附：K 2
＝n （ad －bc ）
2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，
4．[2022·新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
(1)能否有99% (2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P （B|A ）P （B －|A ） 与P （B|A －
）
P （B －|A －） 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R ＝P （A|B ）P （A －|B ） ·P （A －|B －
）
P （A|B －）
；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B －
)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值．
附：K 2
＝n （ad －bc ）
2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，
强化训练16 统计、统计案例与概率
1．解析：（1）由题中数据可得：
x －＝9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.710＝10.0，
y －＝10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.510
＝10.3，
s 2
1 ＝1
10
[（9.8－10.0）2＋（10.3－10.0）2＋（10.0－10.0）2＋（10.2－10.0）2＋（9.9
－10.0）2
＋（9.8－10.0）2
＋（10.0－10.0）2
＋（10.1－10.0）2
＋（10.2－10.0）2
＋（9.7－10.0）2]＝0.036，
s 2
2 ＝110
[（10.1－10.3）2＋（10.4－10.3）2＋（10.1－10.3）2＋（10.0－10.3）2
＋（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋（10.6－10.3）2＋（10.5－10.3）2＋（10.4－10.3）2
＋（10.5－10.3）2
]＝0.04.
（2）由（1）知y －－x －
＝10.3－10.0＝0.3，而 2 s 21 ＋s 2
2
10
＝2
0.036＋0.04
10
＝
20.007 6，
则0.3＝0.09>20.007 6＝0.030 4，
所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 2．解析：（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100.
P （X ＝0）＝1－0.8＝0.2；
P （X ＝20）＝0.8（1－0.6）＝0.32； P （X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48.
所以X 的分布列为
（2）由（1）知，E （X ）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100.
P （Y ＝0）＝1－0.6＝0.4；
P （Y ＝80）＝0.6（1－0.8）＝0.12； P （X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48.
所以E （Y ）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B 类问题．
3．解析：（1）根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64
100
＝0.64.
（2）根据抽查数据，可得2×2列联表：
（3）根据（2）的列联表得
K 2
＝100×（64×10－16×10）2
80×20×74×26
≈7.484.
由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关． 4．解析：（1）由题意，得
K 2
＝200×（40×90－60×10）2
100×100×50×150
＝24>6.635，
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）（ⅰ）证明：∵
P （B |A ）
P （B －
|A ）
P （B |A －）P （B －|A －） ＝
P （B |A ）
P （B －
|A ）
·
P （B －|A －
）
P （B |A －）
＝
P （AB ）P （A ）·P （A ）P （A B －） ·P （A －B －）P （A －） ·P （A －
）P （A －B ） ＝P （AB ）P （A B －） ·P （A －B －
）
P （A －
B ）
，
P （A |B ）
P （A －
|B ）
·
P （A －|B －
）
P （A |B －）
＝P （AB ）P （B ）
·
P （B ）
P （A －B ）
·
P （A －B －
）
P （B －）
·
P （B －
）
P （A B －）
＝
P （AB ）P （A －B ） ·P （A －B －
）
P （A B －） ＝P （AB ）P （A B －） ·P （A －B －
）
P （A －
B ）
， ∴R ＝
P （A |B ）P （A －|B ） ·P （A －|B －
）
P （A |B －）
.
（ⅱ）由表格中的数据，得
P （A |B ）＝
40100＝25，P （A |B －
）＝10100＝110
， ∴P （A －
|B ）＝1－P （A |B ）＝35
，
P （A －|B －）＝1－P （A |B －
）＝910
，
∴R ＝P （A |B ）P （A －|B ） ·P （A －|B －
）P （A |B －）
＝2535×9
10110＝6.。