1.5 全概逆概公式

P ( A3B ) P(B)
P( A3 )P(B |
A3 )
0.03 2
6
0.667
0.0225
0.0225 9
5
二、贝叶斯公式
定理: 设事件A1, A2, …, An构成完备事件组,且
P(Ai)>0(i=1, 2, …, n), 对事件B, 若P(B)>0, 则有
P(Ak
B)P(AkB) P(B)
0 . 3 6 0 . 2 0 . 4 1 0 . 6 0 . 1 4 1 0 . 4 5 8
即飞机被击落的概率为0.458。
4
实际中还有一类问题——已知结果求原因
引例(续)某产品甲、乙、丙厂市场占有率1/4、
1/4、1/2,次品率2％、1％、3％,(1)求市场上该品
牌产品次品率(0.0225);(2)现买到一件产品为次品,
(k=1, 2, …, n)
i1
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原
因的先验概率和后验概率.
P(Ai) (i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不 知道事件B是否发生)的情况下, 人们对诸事件发 生可能性大小的认识.
当有了新的信息(知道B发生), 人们对诸事件
发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计. 贝叶斯
击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击
中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率
为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被
击落的概率。
完备事件组？事件B ？ 3
设Ai=“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3), B=“飞机被击落”
依题意, P ( B A 0 ) 0 ,P ( B A 1 ) 0 . 2 ,P ( B A 2 ) 0 . 6 ,P ( B A 3 ) 1 为求P(Ai ), 设 Hi={飞机被第i人击中} (i=1,2,3)
B=“从一箱中任取4只检查,结果都是好的
由已知”:P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1
P(B | A0 ) =1 由Bayes公式:
P(B| A1)CC
4 19 4 20
4 5
P(B|
A2)CC
4 18 4 20
12 19
P(A0 | B)
P(A0)P(B| A0)
0.81
=0.4×0.5×0.3+ 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41
P(A 3)P(H 1H 2H 3)=0.4×0.5×0.7=0.14 于是 P ( B ) P ( A 1 ) P ( B A 1 ) P ( A 2 ) P ( B A 2 ) P ( A 3 ) P ( B A 3 )
公式从数量上刻划了这种变化.
7
例2 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含
0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1,0.1,某顾客选中
一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这
一箱. 问这一箱不含次品的概率是多少?
解:设Ai=完“任备取事一件箱组,含？i事只件次B品？”(i=0,1,2),
清”.现接收端接收到一个“1”的信号, 问发端
发的是0的概率是多少?
解：设A=“发射端发射0”, B=“接收端收到1”
P (A |B )
P (A )P (B |A )
P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )
0.550.05
=0.067
解 设A1、A2、A3 分别表示 “买到一件甲、乙、丙厂产 品”, B=“买到一件次品”.
P(B) P(B) P[(A 1A 2A 3)B] P (A 1B A 2B A 3B ) P (A 1 B ) P (A 2 B ) P (A 3 B )
P ( A 1 ) P ( B |A 1 ) P ( A 2 ) P ( B |A 2 ) P ( A 3 ) P ( B |A 3 )
111
0 .0 20 .0 10 .0 30 .0 2 2 5
442
2
一、全概率公式
定理: 设事件A1, A2, …, An构成完备事件组, 且 P(Ai)>0 (i=1, 2, …, n), 则对任一事件B, 有
n
P(B) P(Ai)P(B｜Ai)
i1
例1 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较 复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法 公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
1
引例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一 品牌产品,三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、 1/2,次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该 品牌产品的次品率。
P(Ak)P(BAk)
n
P(Ai)P(BAi)
(k=1, 2, …, n)
i1
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在 观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的 每个原因的概率.这类问题在实际中更常见.
6
P(Ak
B)P(AkB) P(B)
P(Ak)P(BAk)
n
P(Ai)P(BAi)
P ( A 1 ) P ( H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 )
=0.4×0.5×0.3+ 0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36
P ( A 2 ) P ( H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 )
0.848
2
P(Ai)P(B| Ai)
0.810.1450.112198
i0
例3 数字通讯中, 信源发0、1两种信号, 其中发
0的概率0.55, 发1的概率0.45. 由于信道中存在干 扰, 发0的时候, 接收端分别以概率0.9、0.05和 0.05接收为0、1和“不清”. 发1的时候, 接收端 分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不
求它由甲厂生产的概率.
解 P(A1 | B)
1
P ( A1B ) P(B)P(A1)P(B | A1) 0.0225
0.02 4
2
0.222
0.0225
P(A2 | B)
9
P ( A2B P(B)
)
P(A2)P(B| A2) 0.0225
10.01 4
1
0.111
0.0225 9
1
P( A3
| B)