【压轴卷】高一数学下期中试卷(附答案)(1)

【压轴卷】高一数学下期中试卷(附答案)(1)
一、选择题
1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r
，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的
大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒
B ．[]30,90︒︒
C ．[]30,60︒︒
D ．[]45,90︒︒
2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
26AD AB ==，则该球的体积为（ ）
A ．48π
B ．24π
C ．16π
D ．323π
3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，
SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）
A ．
26
B ．
36
C ．
23
D ．
22
4．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆2
2
0x y kx ++=上两个不同点，P 是圆2
2
0x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则
PAB ∆面积的最大值是（ ）
A ．32-
B ．4
C ．6
D ．32+
5．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
6．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤
B ．a c b ≤≤
C ． c a b ≤≤
D ．c b a ≤≤
7．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C 3
D ．3 8．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．310cm
B ．320cm
C ．330cm
D ．340cm
9．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
B ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α
C ．若a ∥α，α∥β，则a ∥β
D ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β
10．已知点()1,2-和3,0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的
取值范围是 ( )
A ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．25,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．30,
,34πππ⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．3
4a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．
643
C ．16
D ．
163
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以
AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v
，则点A 的横坐标为
________．
14．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ． 15．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==
，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将
ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.
16．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
17．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则
该三棱锥的外接球面积为________.
18．已知圆O ：2
2
4x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________. 19．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，
①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥
⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．
20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点
(1,2)A .
（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；
（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.
22．已知过原点的动直线l 与圆1C :2
2
650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出
k 的取值范围；若不存在，说明理由．
23．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 2. （1）求圆C 的方程；
（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.
24．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，
14AA AC ==，2BC =.
（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.
26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .
（1）求证：//DF 平面ABE ；
（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；
（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6
存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】
在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，
过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，
做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '， 所以b PA '⊥，即1
,cos 2
OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=
<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，
所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和
Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】
设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：
由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=
ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥
OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：
22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()2
22
363x x R +-=+=
解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233
V R ππ==
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，
延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=
233
323
⨯=
， ∴116
133
OO =-
=
， ∴高SD=2OO 1=
26，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =3
，
∴13262
3S ABC V -=
⨯⨯=
三棱锥．
考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为
32
12
+，PAB S ∆最大值为32 【详解】
由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2
k
，0）在直线x-y-1=0上， ∴-
2
k
-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -
+2
y
=1，即x-y+2=0
∴圆心到直线AB 的距离为
2
.
∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB =⨯= 故选D ． 【点睛】
主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.
5．B
解析：B 【解析】
由()f x 为偶函数得0m =,所以
0,52log 3
log 32
121312,a =-=-=-=2log 5
2
1514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,
故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】
由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC P P ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =.
又11
2,222
MN BD NP AC =
===, ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为1
2
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：
棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；
B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；
C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；
D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．D
解析：D
【解析】
设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (
3
,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()
12
1,
01PA PB k k ---==-==-
∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，
∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34
ππ
θθπ<<<<.
本题选择D 选项. 11．B
解析：B
【解析】
【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．
【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大，
∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，
三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33
a ．
故选:B ．
【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
12．D
解析：D
【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433
V =⨯⨯=，故选D.
二、填空题
13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范 解析：3
【解析】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭
易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以
()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--
+--=--== ⎪⎝⎭
或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 14．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60
【解析】
【分析】
【详解】
设AC 与BD 交于点O ．
在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．
过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．
由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．
在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE
．
15．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平
解析：7π
【解析】
【分析】
由题意得该三棱锥的面PCD3的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P
﹣BDC的外接球半径R＝
7
2
，由此能求出该球的表面积．
【详解】
由题意得该三棱锥的面PCD3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，
△PCD外接圆圆心为O1，则OO1⊥面PCD，
∴四边形OO1DB为直角梯形，
由BD3O1D＝1，OB＝OD，得OB＝
7
2
，
∴三棱锥P﹣BDC的外接球半径R 7
，
∴该球的表面积S＝4πR2＝4
7
4
π⨯＝7π．
故答案为：7π．
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．
16．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1
解析：4
【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数．
【详解】
解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1．
第一条：AC 1是满足条件的直线；
第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线；
第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线；
第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．
故答案为4．
【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
17．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π
【解析】
【分析】
由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】
∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =，
∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，
以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，72
R =， 球表面积为22744(
7.S R πππ==⨯= 故答案为：7π．
本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
18．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的
30y +-=
【解析】
【分析】
先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率
k = ，由此能出圆O
在点A 处的切线的方程．
【详解】
k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率
k =，
∴圆O 在点A (处的切线的方程1
y x =-） ，
30y +-=．
30y +-=.
【点睛】
本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 19．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD
解析：②③④
【解析】
【分析】
作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．
【详解】
作出如图的图象，E 是BD 的中点，易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角
对于命题①AB 与平面BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE ＝45°，故AB 与平面BCD 成60°的角不正确；
对于命题②，在等腰直角三角形AEC 中AC 等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；
对于命题③可取AD 中点F ，AC 的中点H ，连接EF ，EH ，FH ，则EF ，FH 是中位线，故∠EFH 或其补角为异面直线AB 与CD 所成角，又EF,FH 其长度为正方形边长的一半，而EH 是直角三角形AEC 的中线，其长度是AC 的一半即正方形边长的一半，故△EFH 是等
边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；
对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；
对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D
--的平面
角，又BH=DH=
3
2
AC,BD=2,
AC cos∠BHD=-
1
,
3
故二面角B AC D
--不是120︒
综上知②③④是正确的
故答案为②③④
【点睛】
本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．
20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动
解析：. ① ② ④
【解析】
对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.
三、解答题
21．（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；
（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,2
2t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17
BC k =-，即可得到BC 的直线方程. 【详解】
（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩
，即两直线的交点()0,1P -， 所以，直线AP 的斜率21310
k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-. （2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝
⎭，又点M 在直线2l 上， 即3421022
t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --， 所以22131
AB k --==--， 直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++，
即11133111133
BC BC k k --=++，解得17BC k =-， 所以BC 所在直线方程为12(3)7
y x +=-+，化简得7170x y ++=. 【点睛】
本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.
22．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3
）存在，k ≤≤或34
k =±
． 【解析】
【分析】 （1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论
【详解】
（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；
（2）设(),M x y ，则
∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，
∴11⋅=-C M AB k k 即13y y x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所
示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭
，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆L 22340232
1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=+得34k =±，又2023
57554DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．
考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程
23．（1）()()22
111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=.
【解析】
【分析】 ()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；
()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；
当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程.
【详解】
（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r >
圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离： 111
22
2d +-==， 则222211122r d =+=+=⎝⎭
∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=
（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+
则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：
1d ==
解得： 43k =，即34
k = 则切线方程为： 3460x y -+=
综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+=
24．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,
]5. 【解析】
【分析】
（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.
【详解】
（1）由24,{1,
y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1， ∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．
1=，
∴2(43)0k k +=，∴0k =或34
k =-
． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]2
2()(24)1x a y a -+--=．
又∵2MA MO =，
∴设M 为(,)x y
=22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，
∴[]2221(24)(1)21a a -≤+---≤+，
由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤
． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】
本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
25．（1）证明见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证； （2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】
（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，
因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；
（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，
故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,
0PF BE PF BE PF BE
⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°
【点睛】
本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题
26．（1）证明见解析；（2）
23；（3）存在，3BP =或23BP = 【解析】
【分析】 （1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ，得到证明. （2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r ，计算夹角得到答案.
（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r
，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，22
cos AP n AP n θ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u r ，解得答案. 【详解】
（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，
平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E . ()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ， 故//DF 平面ABE . （2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100
n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即
20220z x y z =⎧⎨-++=⎩， 取1y =，则()12,1,0n =u r .
设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则2200n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 取1y =，则()12,1,2n =u r . 则1212125cos ,3n n n n n
n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ，故二面角B EF D --二面角的正弦值为23
. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r ，则()1,22,2P λλλ--，
(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r ，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，
则()()
222226cos 63222AP n AP n θλλλ⋅===⋅+-+u u u r u u r u u u r u u r ，解得23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或23
BP =.
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。