2024年四川省德阳市旌阳区中考一模数学模拟试题(解析版)

2024年春期初中毕业年级总复习阶段第一次模拟考试
数学试卷
考生注意：
1.考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置，注意填涂规范．
2.非选择题用黑色墨水笔或中性签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．
3.全卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 若“”表示一个数，则它的相反数是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相反数和去括号，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数）求解即可．的相反数为，即．
故选：A
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的运算性质判断即可；
A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，故正确；故答案选D ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减乘除，准确计算判断是解题的关键．
a b -a b
-+a b --a b +a b
-a b -()a b --a b -+x x x
+=()222x y x y -=-()2333xy y xy ÷=()325x x x -×=-2x x x +=()2222x y x xy y -=-+()32
333xy y x y ÷=()3
25x x x -×=-
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（）
A. 6
B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据中0的个数进行解答即可．
解：用科学记数法表示为，
∴，故D 正确．
故选：D ．
4. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】B
【解析】【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵直角三角形，，
的0.0000084m 0.00000848.410n ⨯n 7-5-6
-10n a -⨯110a ≤＜0.00000840.000008468.410-⨯6n =-a b 1∠10︒
15︒20︒25︒
B MN a ∥a b MN a b ∥∥1NBA ∠=∠NBE CEB ∠=∠BE
C 45BEC ∠=︒45NBE ∠=︒ABF △60ABF ∠=︒
∴，
∴，
故选：B ．
【点睛】本题考查平行线知识，解题的关键是掌握平行线
的性质，平行公理．
5. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢译文：甲从长安出发，5日到齐国：乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢? 设甲出发x 日，乙出发y 日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】【分析】此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．可将此题看做是工作效率类的应用题，根据效率时间总量列方程即可．解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为，设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：．故选：D ．
6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ）
的14560ABF ABN
NBE ∠=∠+∠=∠+︒=︒115∠=︒21117
5x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩211175x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩211157x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩21115
7x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩⨯=1517
x y 21115
7x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩AC =60DAB ∠=︒AC
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．由正方形的性质可求出，当四边形为菱形，且时，连接交于，可得是等边三角形，则，进而得到，由勾股定理可求出，进而可求出．
解：如图1，四边形是正方形，，，在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，，
，
故选：C ．
7. 一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析．甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为
102
20cm
10cm AB AD ==ABCD 60DAB ∠=︒BD AC O ABD △10cm BD =15cm 2
BO BD =
=AO AC
ABCD AC =
∴10cm AB AD AC ===BD AC O 60DAB ∠=︒10cm AB AD ==∴ABD △10cm BD = ABCD ∴15cm 2BO BD =
=AO CO =AC BD ⊥
∴)cm AO ===
∴)2cm AC AO ==
分，方差．后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分．则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（）
A. 平均分和方差都不变
B. 平均分和方差都改变
C. 平均分不变，方差变小
D. 平均分不变，方差变大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平均数，方差的定义计算即可．
解：甲同学补考的成绩是102分，其余同学的平均分为102分，该班测试成绩的平均分为102分，
，平均分不变，方差变小，
故选：C ．
8. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（ ）A. B. C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答．
解：过点A 作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设
，240s = ∴()22140[401(102102)]4040s n n n
∴=-+-=-<∴ABC 1tan 3
B =
45C ∠=
︒
2,4BC =CD m =1tan ,3
B =
m 1AD =AD BC ⊥2,4BC =CD m =
，
∵
，，解得，
∴，
则∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．故选：D ．
9. 如图，在半径为6cm 的中，点A 是劣弧的中点，点D 是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形OCAB 的面积为；④四边形ABOC 是菱形其中正确结论的序号是
A. ①③
B. ①②③④
C. ②③④
D. ①③④
【答案】D
【解析】【分析】利用垂径定理可对进行判断；根据圆周角定理得到
，则为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对进行判断；通过判断为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对进行判断；利用可对进行判断．
45,
C ∠=︒ A
D CD m
∴==1tan 3AD B BD
==4BD m =-1,34m m
∴=-1m =1AD =122
⨯=O BC
BC D 30∠= OA BC ⊥BC =12π①AOC 2D 60∠∠== OAC BC =②AOB ③AB AC OA OC OB ====④
解：点A 是劣弧的中点，，所以正确；
，，
为等边三角形，
，所以错误；同理可得为等边三角形，
，
，
扇形OCAB
的面积为，所以正确；，
四边形ABOC 是菱形，所以正确．
故选D ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
10. 若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数之和为（）A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a 的取值范围，解分式方程，用含有a 的式子表示y ，根据有整数解求出a 的取值范围，确定符合条件的整数a ，相加即可． BC
OA BC ∴⊥①AOC 2D 60∠∠== OA OC =OAC ∴BC 26∴=⨯=②AOB AOB 60∠∴= BOC 120∠∴= ∴2120π612π360
⨯⨯=③AB AC OA OC OB ====∴④a x 3121123422x x x a x -+⎧-≥-⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩
y 15122ay y y
+-=---a 2
-1-
解不等式组，得：，∵不等式组至少有2个整数解，
∴，解得，分式方程两边乘以，得：，
∴，
∵分式方程有整数解，
∴，，∴，且，
∵分式方程有整数解，
∴，∴，0，1，3，
则所有整数a 的和为，
故选：C ．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，关键在于用含有a 的式子表示y ．11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、解直角三角形，第次旋转结束时，点回到最初的位置，连接，过点作轴的垂线，交轴于点
，可先证得，得到，进
31
21123422x
x x a x -+⎧-≥-
⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩
1853a x +-≤<813
a +>5a >-2y -152ay y ++=-()14a y +=-10a +≠421
a -≠+1a ≠-3a ≠-41
y a -=+2a =-()20132-+++=xOy OABC O OA x AB x ⊥2AB CB ==OA OC =60AOC ∠=︒OABC O 90︒2024C )(3,()(1,2024C OB C x x D AOB COB ≌30AOB ∠=︒
而可求得，的值．
四边形每转动次，点回到最初的位置．
所以，第次旋转结束时，点回到最初的位置．
如图所示，连接，过点作轴的垂线，交轴于点．
在和中
∴．
∴．∴
∴
∴，．∴点的坐标为
．故选：A
．
12. 如图，抛物线（）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线，直线与抛物线（）交于C ，D
两点，且D 为抛物线的顶点，则下列结论：①；②；③
；④方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ）
OD CD OABC 4C 20245064
=2024C OB C x x D AOB COB △AB CB OB OB
OA OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
AOB COB ≌1302
AOB COB AOC ∠=∠=∠=︒tan AB OA AOB
==∠OC =cos OD OC AOC =∠=
sin 3CD OC AOC =∠=C )2y ax bx c =++0a ≠1x =y x c =+2y ax bx c =++0a ≠CD =420a b c ++>c OA OB a
⋅=-21ax bx +=
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】A
【解析】【分析】根据直线与抛物线相交得C 、D 两点坐标，由勾股定理即可求得，进而可判断①；由抛物线的对称性结合函数图象可判断②；令，由一元二次方程根与系数关系可判断③；方程转化为方程，进而转化为两个函数图像交点问题，观察图像即可判断④，因而可确定答案．
解：∵直线与抛物线相交于C 、D 两点，
∴当时，代入中，得，
当时，代入中，得，
∴C 、D 两点坐标分别为，由勾股定理得，故①正确；
∵点关于抛物线对称轴对称，且，∴当时，，故②正确；
令，方程的两根分别为，且，
则；由图像知，，
∴，
∴
，故③正确；由方程，得方程，
这表示二次函数图像与一次函数图像相交问题，CD 20y ax bx c =++=21ax bx +=21ax bx c c ++=+1x =y x c =+1y c =+0x =y x c =+y c =(0,)(11)c c +，，
CD ==(2,) (0,)c C c 、
0c >2x =420y a b c c =++=>20y ax bx c =++=12x x ，12x x <12c x x a
⋅=120x x <<12OA x OB x =-=，12c OA OB x x a
⋅=-⋅=-21ax bx +=21ax bx c c ++=+2y ax bx c =++y x c =+
观察图像知，两函数图像有两个不同交点C 与D ，
即方程有两个不相等的实数根，故④正确，
∴四个结论全部正确，
故选：A ．
【点睛】本题是二次函数与一次函数图象的综合，考查了函数图象交点，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与性质，勾股定理，注意数形结合．
第Ⅱ卷（非选择题，共102分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
13. 已知a 、b 是的两边，且满足，则的形状是__________．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解．
解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
14. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．成绩（分）
30252015人数（人）2x y 1
若成绩的平均数为23，中位数是a ，众数是b ，则的值是__________．
【答案】2.5
21ax bx +=ABC 22a b ac bc -=-ABC 22a b ac bc -=-()()()0a b a b c a b +---=()()0a b a b c -+-=a b c +>22a b ac bc -=-()()()0a b a b c a b +---=()()0a b a b c -+-=ABC a b c +>0a b c +->0a b -=a b =ABC a b -
【解析】
【分析】首先根据平均数求得x 、y 的值，然后利用中位数及众数的定义求得a 和b 的值，从而求得a -b 的值即可．
解：∵平均数为23，
∴=23，∴25x +20y =155，
即：5x +4y =31，
∵x +y =7，
∴x =3，y =4，
∴中位数a =22.5，b =20，
∴a -b =2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，求得x 、y 的值是解答本题的关键，难度不大．
15. 如图，已知正五边形，经过C ，D 两点的与分别相切于点M ，N ，连接，则_________°.
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，连接，
3022525101x y ⨯+++ABCDE O AB AE ，CM CN ，MCN ∠=OM MON ∠MCN ∠OM
与分别相切于点M ，N ，
，
五边形是正五边形，
，
，
．故答案为：36．
16. 如图，P 是的斜边（不与点A 、C 重合）上一动点，分别作于点M ，于点N ，O 是的中点，若，，当点P 在上运动时，的最小值是_________．
【答案】
##【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接，证四边形是矩形，得．再根据当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．解：连接，如图，
∵，，
∴．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，与
互相平分．∵点O 是的中点，
O AB AE ，90OMA ONA ∴∠=∠=︒ ABCDE ()
180521085A ⨯-∴∠==︒36072MON A OMA ONA ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒1362
MCN MON ∴∠=∠=︒Rt ABC △AC PM AB ⊥PN BC ⊥MN 5AB =12BC =AC BO 30134213
BP BMPN BP MN =BP AC ⊥BP BP BP 5AB =12BC =13AC ==90ABC ∠=︒PM AB ⊥PN BC ⊥BMPN BP MN =BP MN MN
∴点O 在上，．∵当时，最小，
又∵此时，∴，
∴，∴．
故答案为：．17. 如图，在第一象限内，顶点A 的坐标为，顶点B 的横坐标为2，已知反比例函数经过点B ，且与交于点C ，连接．若，则的面积为_____．【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积，作轴于D ，轴于E ，轴于F ，由，得出，即可求得，，得到，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标，然后根据求得即可．
解：作轴于D ，轴于E ，轴于F ，
，
∴，
∴，
BP 12
BO BP =BP AC ⊥BP 1122
ABC S AB BC AC BP =⋅=⋅△51213BP ⨯=6013BP =
130213
BO BP ==3013
OAB (6,3)()0k y k x
=≠OA BC 2OC AC =OBC △BD x ⊥CE x ⊥AF x ⊥AF CE ∥23
OE CE OC OF AF OA ===4OE =2CE =(4,2)C OBC OBD COE BCED BCED S S S S S =+-=△△△梯形梯形BD x ⊥CE x ⊥AF x ⊥AF CE ∥OCE OAF ∽
∴，∵，∴，∵顶点A 坐标为，
∴，，
∴，，，
∴，
∵反比例函数经过点C ，∴，
∴反比例函数为，∵顶点B 的横坐标为2，
∴点B 的坐标为，
∴，，
∴，
故答案为：6．
18. 已知y 是关于x 的二次函数：，则下列描述正确的是______．
①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于
；③当时，函数图象总过定点，；④若在函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，函数图像上点的坐标特征，抛物线在x 轴上截得的线段长等知识；
的OE CE OC OF AF OA
==2OC AC =23OE CE OC OF AF OA ===(6,3)6OF =3AF =4OE =2CE =(4,2)C ()0k y k x =
≠428k =⨯=8y x
=(2,4)B 2OD =4BD =42)(42)(6OBC OBD COE BCED BCED S S S S S ++⨯-=-=== 梯形梯形()2211y mx m x m =+---1m =-11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
0m >320m ≠()1,011,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
()111,P x y ()222,P x y 0m <14x >
2121
0y y x x -<-
把代入函数解析式中，化成顶点式，即可对①作出判断；求出抛物线与x 轴的交点坐标，求得的值，即可判断②；把函数式整理为，当
时，y 的值与m 无关，求出x 、y 的值，即可判断③；当时，抛物线的对称轴为直线，由抛物线的开口方向及增减性质可判断④．解：把代入函数解析式中，得，即抛物线的顶点坐标为；故①正确；令，即，
解得：，即抛物线与x 轴交点坐标为，∵，
∴，∴函数图象在x 轴上截得的线段的长度；故②正确；把函数式整理为，
当时，y 的值与m 无关，
解得：，当时，；当时，；∴当时，函数图象总过定点，；故③正确；当时，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，∴当时，y 随自变量的增大而增大，即，∴，故④错误．1m =-12
x x -()2211y mx m x m =+---2(21)1y x x m x =--+-2210x x --=0m <104m x m
-=>1m =-221122222y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭11,22⎛⎫
⎪⎝⎭()22110y mx m x m =+---=(21)(1)0mx m x ++-=12112m x x m
+=-=，1,02m m +⎛⎫-
⎪⎝⎭，(1,0)0m >102m m
+-<12131312222m x x m m +-=+
=+>()2211y mx m x m =+---2(21)1y x x m x =--+-2210x x --=12112
x x ==-，1x =0y =12x =-
12y =-0m ≠()1,011,22⎛⎫-
- ⎪⎝⎭0m <11114444m x m m -=
=->12111444x x m
<<<-12y y <2121
0y y x x ->-
综上，正确的为①②③；
故答案为：①②③．
三、解答题：（本大题共7小题，共78分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.
．
【答案】【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算；先计算算术平方根、零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
．
20. 某校在课后服务中，成立了以下社团：计算机，围棋，篮球，书法；每人只能加入一个社
团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有___________人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2160学生加入了社团，请你估计这2160名学生中有___________名学生参加了篮球社团；（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）360（2
）见解析
(2011π
2cos452-⎛⎫
----+ ⎪⎝⎭︒8
(2011π2cos452-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭︒
24112=⨯-+811=-8=A ．B ．C ．D ．D 150︒
（3）360（4
）
【解析】【分析】此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
（1）由D 的人数除以所占比例即可；
（2）求出C 的人数，即可解决问题；
（3）由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
【小问1】
解：所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：人；故答案为：【小问2】解：组人数为：人，
故补充条形统计图如图：
【小问3】解：人，答：这名学生中有人参加了篮球社团，
【小问4】
解：设甲乙男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
．为23
D 150︒∴150150360360
÷
=（360．
C 3601203015060---=（602160360360
⨯=（1800360 12882123
P ∴==（一男一女）
21. 如图，在菱形中，，，为正三角形，点E ，F 分别在菱形的边．上滑动，且点E 、F 不与点A ，B ，C 重合，与交于点G ．
（1）证明：当点E ，F 在边上滑动时，总有．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等：
（1）先由菱形的性质证明是等边三角形，进而可证明，从而证明；（2）证明
，，即，即可得到．【小问1】
证明：四边形是菱形，，，平分，
，
，
是等边三角形
，，
为正三角形，
，
，
ABCD 6AB =120ABC ∠=︒DEF AB BC ，BD EF AB BC ，AE BF =2BF =BG 43BG =
ABD △ADE BDF ≌V V AE BF =ADE BEG ∽AD AE BE BG =624BG =43
BG = ABCD AD BC ∴∥AD AB =BD ABC ∠120ABC ∠=︒ 18060A ABC ∴∠=︒-∠=︒∴ABD △AD BD ∴=60A DBC ADB ∠=∠=∠=︒ DEF 60EDF ∴∠=︒60ADE EDB BDF ∴∠=︒-∠=∠
，
；
【小问2】
解：由（1）可知，
，
，，
．
又∵，
，
，即，．22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作轴，垂足为B ，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A 的坐标及m 和k 的值；
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式
的解集．（3）若直线与四边形有交点时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）点A 的坐标为，，（2）①；②或（3）ADE BDF ∴ ≌AE BF ∴=2BF AE ==6AB AD == 4
BE ∴=A ADE DEB DEF BEG ∠+∠=∠=∠+∠Q 60A DEF ∠=∠=︒ADE BEG ∠∠∴=60A EBG ∠=∠=︒ADE BEG ∴∽△△AD AE BE BG
∴=624BG =43BG ∴=
3(0)y kx k k =-≠1(10)m y m x
-=-≠CB y ⊥,OC AB ABCO 13m kx k x
-≥-y x t =+ABCO ()3,05m =-1
3k =-
()6,1-30x -≤<6
x ≥35t -≤≤
【解析】
【分析】（1）根据可得一次函数的图象过定点，进而可得，结合四边形的面积求出点C 的坐标，代入一次函数和反比例函数解析式即可求出m 和k 的值；
（2）①将一次函数与反比例函数解析式联立，可求另一个交点坐标；②利用图象求解；
（3）当直线经过点C 时，t 取最大值，当直线经过点A 时，t 取最小值，由此可解；
【小问1】
解：，无论k 取何值，当时，y 的值恒为0，
一次函数的图象过定点，
点A 的坐标为，
，
四边形是平行四边形，且其面积是6，
，，
，点C 的坐标为，
将代入，得：，解得，
将代入，得：，
解得；
【小问2】
解：①由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为：，令解得或，
()33y kx k k x =-=-3(0)y kx k k =-≠()3,0()3,0A ABCO y x t =
+y x t =+ ()33y kx k k x =-=-∴3x =∴3(0)y kx k k =-≠()3,0∴()3,0∴3OA = ABCO ∴6OA OB ⋅=3BC OA ==∴6623
OB OA ===∴()3,2-()3,2C -1m y x -=
123m -=-5m =-()3,2C -3y kx k =-233k k =--13k =-11131333y x x ⎛⎫=--⨯-=-+ ⎪⎝⎭
516y x x --=
=-1613x x
-+=-6x =3x =-
点C 的坐标为，
另一个交点的横坐标为6，将代入，得，另一个交点的坐标为；
②
由图可得，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方，
不等式的解集为：或；【小问3】
解：如图所示，当直线经过点C 时，t 取最大值，当直线经过点A 时，t 取最小值，将点代入，得，解得；
将点代入，得，
解得，若直线与四边形有交点时，t 的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和 ()3,2-∴6x =1
13y x =-+16113
y =-⨯+=-∴()6,1-30x -<<6x >1(10)m y m x
-=-≠3(0)y kx k k =-≠∴13m kx k x
-≥-30x -≤<6x ≥y x t =+y x t =+()3,2C -y x t =
+23t =-+5t =()3,0A y x t =
+03t =+3t =-∴y x t =+ABCO 35t -≤≤
性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键．23. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A ，B 两个系列，A 系列产品比B 系列产品的售价低5元，100元购买A 系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B 系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B 系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．（1）A 系列产品和B 系列产品的单价各是多少？
（2）为了使B 系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B 系列产品的实际售价应定为多少元/件？
【答案】（1）A 系列单价为10元；B 系列单价为15元
（2）8元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可．
（1）设A 系列单价为x 元；B 系列单价为元，根据题意，得，解方程即可．（2）设B 系列单价为y 元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据销售额等于单价乘以数量列式根据题意，得，解方程即可．【小问1】
设A 系列单价为x 元；B 系列单价为元，根据题意，得，解方程，得，经检验，是原方程的根，此时=15元，
答：A 系列单价为10元；B 系列单价为15元．
【小问2】
设B 系列定价为y 元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据题意，得，
整理得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，()5+x 1001505
x x =+()15y -()()50101520010y y +-=-()20010960
y y -=1001505x x =+()5+x 1001505
x x =+10x =10x =()5+x ()15y -()()50101520010y y +-=-()20010960y y -=220960y y -+=128,12y y ==
故定价为8元．
答：B 系列产品的实际售价应定为8元．
24. 点是直线上的定点，等边
在直线上，从点出发沿着射线方向平移，的延长线与射线交于点，且在平移过程中始终有，连接，，交于点，如图所示．
（1）以为圆心，为半径作圆，交射线于点．
①当点在⊙O 上时，求的长；②⊙O 的半径为，当平移距离为时，判断点与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）在平移过程中，是否存在的情形？若存在，请求出此时点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①
；②点在⊙O 上，见解析（2【解析】【分析】（1）①根据圆的基本性质和等边三角形性质求出，再根据锐角三角函数求出半径的长，最后根据弧长公式求解即可；②过点作于，根据锐角三角函数求出的长，进而求出半径的长，再根据三角函数求出的长，最后根据垂直平分线的性质与判定证出即可得解；
（2）解法一：过点作于，
过点作于，交于点，连接，先根据证出，得到，进而得到，设，在中，根据三角形内角和定理求出的度数，进而得出，再根据三角函数得到和关于的代数式，最后根据，列方程求解出，即可得出的长；解法二：过点作于，先证出，得到，根据含的直角三角形的性质求出的代数式，进而得出O MN ABC A MN ABC O OM BC ON D 30BDO ∠=︒OB OC OB AC P O OD OM E B BE
ABC 2r C OC OP =O BC 23
πC 90BAD ∠=︒BO O OH BC ⊥H AD OD HD OC OD =O OH BC ⊥H A AG BC ⊥G BO E EC ASA ABE DCO △≌△=BE CO CE CO =EBG α∠=OPC α1452∠=︒=∠CH HD CH HD CD +=OH O OH
BC ⊥H BAO CHO △∽△OA OH AB CH
=30︒OH CH
的代数式，根据列方程求解出，即可得出的长．【小问1】①∵点在上，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵在中，，∴，∴；②点在上，理由如下：
过点作于，
，，
∴在中，，∴，
∴
∴，
OA OH AB CH
=OH B O OB OD =30OBD ODB ∠=∠=︒60AOB ∠=︒ABC 60ABC ∠=︒30OBD ∠=︒ABD △90BAD ∠=︒Rt AOB △sin AB AOB BO
∠=2sin AB BO AOB ===∠ 60221803BE
ππ⨯==C O O OH BC ⊥H 30BDO ∠=︒60ABC ∠=︒Rt BAD tan AB BDO AD
∠=3tan AB AD BDO ===∠2BD AB ==CD BD BC =-=3AD OA OD =+=
∵，，
∴，，即，
∵在中，，
，∴，∵，
∴，∵，
∴，
∴点在上；
【小问2】
解法一：存在的情形，理由如下：
过点作于，过点作于，交于点，连接
，若存在，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，∴，
2OA r =OD r =33r =1r =1OD =Rt ODH △30BDO ∠=︒cos HD BDO OD
∠=cos cos30HD OD BDO =⋅∠=︒=
CD =12HD CH CD ==
OH BC ⊥OC OD =C O OC OP =O OH BC ⊥H A AG BC ⊥G BO E EC OC OP =OPC OCP ∠=∠ABC 60BAC ACB ∠=∠=︒18011201OPC APB BAC ∠=∠=︒-∠-∠=︒-∠18021202OCP ACB ∠=︒-∠-∠=︒-∠12∠=∠AG BC ⊥13302
BAC ∠=∠=︒BG CG =BE CE =
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，∴，∵，
∴，解得
此时
，∴当平移距离
，此时点到直线
解法二：存在情形，理由如下：
过点作于，
的12∠=∠AB CD ==330ODC ∠=∠=︒()ASA ABE DCO △≌△=BE CO BE CE =CE CO =EBG α∠=ECB EBG α∠=∠=2OEC COP α∠=∠=160ABC EBG α∠=∠-∠=︒-120160OPC OCP α∠=∠=︒-∠=︒+OPC ()2602180αα︒++=︒15α=︒1452∠=︒=∠Rt OHC 45OCH ∠=︒CH OH =Rt ODH △30ODH ∠=︒1122
OH OD r CH ===HD =
CH HD CD +=12r r =3r =-AO AD r =-=12OH r ==AO OC OP =O BC OC OP =O OH BC ⊥H
若存在，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∵在中，，
∴，∴，∴，又∵，
①，
化简得，解得，，
经检验，，都是方程①的解，
OC
OP =OPC OCP ∠=∠ABC 60BAC ACB ∠=∠=︒18011201OPC APB BAC ∠=∠=
︒-∠-∠=︒-∠1802
1202OCP ACB ∠=︒-∠-∠=︒-∠12∠=∠90BAO CHO ∠=∠=︒BAO CHO △∽△OA OH AB CH
=Rt ODH △30ODH ∠=︒1122
OH OD r ==HD =CH CD HD =-=
3OA AD r r =-=-=32r r r
-=-13r =+23r =-1r 2r
∵，
∴，
∴，
此时
，∴当平移距离
，此时点到直线
【点睛】本题考查了等边三角形和圆的综合题，运用到了圆的性质，等边三角形的性质，解直角三角函数，弧长公式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质等众多知识点，复杂程度高，综合性强．
25. 平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】（1），，，（2）存在，，，，，，，，（3）存在，
，【解析】
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；30OA r =-≥3r ≤3r =AO AD r =-=12OH r ==AO OC OP =O BC 30︒29(1)2
y a x =-+x A (4B 0)y C A C P BCP P M BC AM OM M AM OM +M 219(1)22
y x =--+(2,A -0)(0C 4)(1P 5)(13)-(12+
(12-(
M 85125(4B 0)29(1)2
y a x =-+
,0x y =
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当
时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．【小问1】
解：将，代入，即，解得：，∴，令，则，令，则，解得：，
，，【小问2】
解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，设，
∵，，∴，，①当时，,
∴解得：②当时，,219(1)22
y x =--+1x =()1,P n 2224432BC =+=()22241BP n =-+()22214PC n =+-90BCP ∠=︒90CBP ∠=︒90BPC ∠=︒M AM OM +O BC Q AQ BC M BQ AQ 2433y x =
+BC 4y x =-+(4B 0)29(1)2y a x =-+
9092a =+
12a =-219(1)22
y x =--+0x =19422y =-
+=0y =()2191022
x --+=124,2x x ==-(2,A -0)(0C 4)
P BCP 点，使219(1)22
y x =--+1x =()1,P n (4B ()0)04C ，，
2224432BC =+=()22241BP n =-+()
22214PC n =+-90BCP ∠=︒222BP BC PC =+()2241n -+=32+()
2214n +-5
n =90CBP ∠=︒222PC BC BP =+
∴解得：③当时，,解得：
.
综上所述：，，，，，，
，【小问3】
存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，由对称性可知，，
，
当、
、三点共线时，有最小值，
，，，，
，
，
由对称性可知，
，
，，
设直线的解析式为，
()2214n +-=()2
241n -++32
3
n =-90BPC ∠=︒222BC BP PC =+32=()2241n -++()2
214n +-2n =2n =+(1P 5)(13)-(12+
(12-M AM OM +O BC Q AQ BC M BQ OM QM =AM OM AM QM AQ ∴+=+≥A M Q AM OM +(4B 0)(0C 4)OB OC ∴=45CBO ∴∠=︒45QBM ∠=︒BQ BO ∴⊥(4Q ∴4)AQ y kx b =+。