人教A版高中数学选择性必修一第二章 242圆的一般方程 教学设计

第二章 直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程（1课时）
【教学内容】
圆的一般方程的定义、代数特征、求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。

【教学目标】
1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。

2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化.发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。

3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合和方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

教学重点：掌握圆的一般方程的代数特征，方程表示圆的条件的推导和圆的标准方程与一般方程的互化
教学难点：与圆有关的简单的轨迹方程
【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）
（一）圆的一般方程的定义
1．思考引入
根据上一节圆的标准方程的相关知识我们知道，方程4)2()1(2
2=++-y x 表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为014222=++-+y x y x 即)1(022=++++F Ey Dx y x 。

一般地，圆的标准方程可以变形为（1）的形式，那么形如
(1)的方程能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?
【答案】例如，对于方程06422
2=+--+y x y x ，对其进行配方，得1)2()1(22-=-+-y x ，因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程．所以这个方程不表示任何图形，形如)1(02
2=++++F Ey Dx y x 的方程不一定能通过恒等变形为圆的标准方程，这表明形如022=++++F Ey Dx y x 的方程不一定是圆的方程。

2．探究
方程022=++++F Ey Dx y x 中的D,E,F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
【答案】将方程022=++++F Ey Dx y x 配方，并把常数项移到右边得
4
4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ (1)当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 表示以⎪⎭⎫ ⎝
⎛--2,2E D 为圆心，F E D 42
122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 只有实数解,2,2E y D x -=-=，它表示一个点);2
,2(E D -- （3）当0422<-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，它不表示任何图
形；因此当时，022=++++F Ey Dx y x 表示一个圆，此时我们把
022=++++F Ey Dx y x 叫做 圆的一般方程
（二）圆的一般方程的代数特征
1．思考
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.
二元二次方程02
2=++++F Ey Dx y x 要想表示圆,需x 2和y 2的系数相同且不为0,没有xy
这样的二次项；只有0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 才表示圆
（三）典型例题
例4. 求过三点O(0, 0) , M 1(1, 1) , M 2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.
分析:将点O ，M 1，M 2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
设所求的圆的方程为)1(02
2=++++F Ey Dx y x ,∵ O , M 1 , M 2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E , F 的三元一次方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024;
02,0F E D F E D F 解这个方程组得：⎪⎩
⎪⎨⎧==-=.0,6;8F E D 所以所求得圆的方程是06822=+-+y x y x ，所求圆的圆心为（4，-3），半径542
122=-+=F E D r .
思考分析
与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什么体会?
例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,-8) , 求△ABC 的外接圆的标准方程.解: 设所求的方程是2
22)()(r b y a x =-+-因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-2222222
22)8()2()3()7()1()5(r
b a r b a r b a 即⎪⎩
⎪⎨⎧=++-+=++-+=+--+,68164,58614,26210222222222r b a b a r b a b a r b a b a
观察上面的式子，我们可以三式子两两相减，可以消去2
22,,r b a ，得到关于b a ,的二元一次方程组： ⎩⎨⎧-=+=-.1,82b a b a 解得⎩⎨⎧-==.
3,2b a 代入222)1()5(r b a =-+- 得到.252=r 所以△ABC 外接圆德标准方程是.25)3()2(2
2=++-y x
例4也使用了待定系数法，选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解二次方程容易 .
归纳总结:
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、
半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,
一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,
一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
而求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
例5 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4, 3)，端点A 在圆 (x+1)2+y 2=4 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
设M 的坐标为(x, y) , 点A 坐标是(x 0，y 0).由于点B 的坐标是(4 , 3) , 且M 是线段AB 的中点, 所以.2
3,2400+=+=y y x x 于是有)1.(32,4200-=-=y y x x 因为点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即),2(4)1(2020=++y x 把（1）代入（2）得到4)32()142(22=-++-y x ，整理得到1)23
()23
(2
2=-+-y x ，这是点M 的轨迹方程，它表示以⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,23为圆心，半径为1的圆。

归纳总结：
求解轨迹方程的一般方法小结：
1.直接法:
利用几何关系，直接列式求出.
2.相关点法:
利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出. 课堂小结：
1．本节课，我们先学习了圆的一般方程的定义；
2．再利用圆的标准方程和一般方程的互化学习了圆的一般方程特点；
3．学会了利用直接法和相关点求与圆有关的简单的轨迹方程．。