近世代数第12讲

第 12 讲
§10 不变子群、商群
（Normal subgroup, Quatient group ）
本讲的教学目的和要求：在前一讲中，我们已经知道群G 的每一个子群H 都能“引导”出一批陪集，这些陪集构成的集合R S （或L S ）可以构成G 的陪集分解：m
Ha Ha Ha H G
⋃⋃⋃⋃= 21.那么R S 是否可以成
为一个群呢？如果R S 成群，对H 有什么特殊的要求吗？本讲正是以这个问题为中心而展开的。

为此，要求在本讲的学习中注意下列问题：
1、掌握不变子群的特性，尤其是不变子群的等价定义。

2、商群的证明方法。

3、围绕着不变子群和商群而形成的常见几类例子以及几个思考问题。

本讲的重点和难点：由于在讨论不变子群成立的等价条件时，要用到陪集的一些性质，所以在这里往往会感到棘手一些。

另外商群的形成，由于元素都是子集；多少都会带来一些不习惯的感觉。

一、 不变子群概念的引入
问题：若H 是G 的子群且G a ∈, 那么“aH
Ha
=”
成立吗?为什么?
答：不成立。

如三次对称群
()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 是3S 的子群。

()()(){}23,123123=H
，而()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.
定义2.10.1：设N 是G 的子群，如果对于G 中任一个元a ， 都有N a aN =，那么称N 为G 的不变子群，记做G
N。

一个不变子群的左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。

注：不变子群也叫正规子群。

例1
G
是群，e 是G 的单位元。

则G 和{}e 是G 的不变子群。

例2 令{|,}N n G na an a G =∈=∀∈。

则N
是G 的不变子群。

（P62定理1）。

N ≠Φ
，对G 的运算封闭，1
n N
n
N
-∈⇒∈。

称N 是G 的中心。

例3 交换群G 的每一个子群都是G 的 不变子群。

例4
()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 不是3S
的不变子群。

但{(1),(123),(132)}N
=是3S 的不变子群。

事实上，{(1),(123),(132)}N
=是3S 的子群。

并且
(1){(1),(123),(132)}(1)N N N ===, (12){(1),(12),(23),(13)}(12)N N ==,
(13)(13),
(23)(23)N N N N
==,
()()()()123123132132N N N N
==，。

注：aN
N a
=是两个集合相等，与,an na n N =∈不同。

定义2.10.2设m S S S ,,,21 都是群G 的非空子集，则集合
12{|1,2,,}m i i s s s s S i m ∈= ,　叫做m
S S S ,,,21 的积，记为
12m S S S 。

由于G 的运算满足结合律，所以123123()()S S S S S S =，并且
12m S S S 和12m s s s 有意义。

二、不变子群的基本性质
定理2.10.3（p72，定理1、2）设N 是G 的子群，那么以下 条件是等价的 （1）,aN
Na a G
=∀∈
（2）1aNa N a G -=∀∈ （3）1aNa N a G
-⊆
∀∈
（4）1,ana N a G n N -∈∀∈∀∈ 证明：(1)(2)
aN Na ⇒=
右乘两端
用1
-⇒
a
a H a =-1。

1
1
(2)(3)aNa N aNa
N
--⇒=⇒⊆
11
1
1
(3)(4).aN a
N h N aha aN a
N
aha
N
----⇒⊆⇒∀∈∈⊆∴∈ ,1
1
(4)(1)a G h N
aha
N aN a
N aN N a
∀∈∀∈--⇒∈⇒⊆⇒⊆ .
1
11
a
aN N a a N N a
N a aN
---⊆⇒⊆⇒⊆替换
. ∴aN N a
=.
注：上述四个条件中条件（4）是用元素的形式来表达含义的，比较具体些，故实际操作中，（4）的使用比较方便。

例5 模n 剩余类加群{[0],[1],,[1]}n
Z n =- 。

[][0]k k =+是[0]的
陪集。

而n Z 是一个加群：[][][]l k j k +=+。

就是说[0]的所有陪 集构成一个加群。

一般的，我们有： 定理2.10.4：设G
N
，那么{|}R S N a a G =∈关于运算
""N aN b N ab =做成一个群。

证明：设G
N。

首先R R H
H e S S =∈⇒≠∅。

其次证明()()Nx Ny Nxy =是{|}R
S N a a G =∈中定义的一个代数运算。

如果
又有,R N a N b S ∀∈使,Nx Na Ny Nb ==.且N aN b N ab =.须证Nxy Nab =.
事实上，N a N x a N x =
⇒∈,即11,h N a h x
⇒∃∈=使得。

Nb Ny b Ny =⇒∈⇒22h N b h y
∃∈=，使得。

xN N x =⇒2323xh xN N x h N xh h x ∈=⇒∃∈=，使得.
∴12121313()()()()()()ab h x h y h xh y h h x y h h xy Hxy Hab Hxy
====∈⇒=.
这说明，运算与代表元的选择无关。

第三、由群的子集乘法定义直接可得结合律成立。

第四、()NeNa N ea Na Ne N
==⇒=是单位元， 最后11
()N a N a N a a N e N N a
--===⇒有逆元1-Ha 。

所以{|}R
S N a a G =∈是一个群。

我们称{|}R
S N a a G =∈为G
关于N 的商群，并记为G
G
N
=。

若+∞<||G ，当N 是G 的不变子群时，则由p69，定理2得
]:[|
|||||H G H G H G
==
注意：上述讨论中，我们都用的是乘群，如果是加群时，则 符号要做相应的改变，即从""Ha 变成""a H +。

思考题：
1：若H G 是的子群且2]:[=H G .则H G 是的不变子群.(P74.Ex3) 证：G x ∈∀.若xH
H Hx H
x ==⇒∈.即Hx
xH
=.
若H x ∉.则H
xH
≠且G
H xH
=⋃.
又有H
Hx
≠且H
Hx G
⋃=.(都是G 的陪集分解),于是
Hx H G xH =-=
Hx
xH =⇒.故不论如何都有
G
H Hx xH ⇒=..
2、我们知道“子群”的概念具有传递性——若N H 是的子群 ，H G 是 的子群，那么N G 是的子群。

“不变子群”是否也 具有传递性呢？即若N H 是的不变子群且H G 是不变子群，
N G
则是的不变子群。

回答是否定的。

例：设4S G
=，取
)}34)(12()1{()}.23)(14(),24)(13(),34(12(),1{( ==N H ，
那么易知H G 是不变子群，且N H 是的不变子群， 但N G 不是的不变子群。