江苏省市县高三上学期期中试题分类汇编：不等式 含答案

江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编
不等式
一、填空题
1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则
x y +的最大值是 ▲ ．
答案：4
2、（苏州市2014届高三上学期期中）不等式
1
3x x
+<的解集为 ▲ ． 答案：1(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
3、（苏州市2014届高三上学期期中）设0x ≥，0y ≥且21x y +=，则2
23x y +的最小值为 ▲ ． 答案：34
4、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）将一枚骰子（一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，向上的点数分别记为,m n ，则点(,)P m n 落在区域22x y -+-≤2内的概率是 ▲ . 答案：
3611
5、（苏州市2014届高三上学期期中）设0a b >>，则()
211
a a
b a a b ++-的最小值为 ▲ ． 答案：4
6、（无锡市2014届高三上学期期中）定义运算()
()b a b a b a a b >⎧⊕=⎨≤⎩
，则关于正实数x 的不
等式1
4
2()(2)x x x x
⊕+≤⊕的解集为 。

答案：[1,2]
7、（兴化市2014届高三上学期期中）设实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--0
20520
2y y x y x ，则xy x y u 22-=的
取值范围是＿＿＿
答案：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
23,38． 提示：令x y t =
，则t
t u 1-=． 8、（兴化市2014届高三上学期期中）已知函数()()R x k x x kx x x f ∈++++=,1
1
2
424．则()x f 的最大值与最小值的乘积为
3
2
+k ． 解析：()()1
11112
4
2
2424++-+=++++=x x x k x x kx x x f ，而2421x x ≥+ 所以3
1
102
42≤++≤x x x 当1≥k 时，()()1,32
min max =+=x f k x f ； 当1<k 时，()()1,32
max min =+=x f k x f ．
因此()()3
2
min min +=⋅k x f x f ．
9、（徐州市2014届高三上学期期中）如果22log log 1x y +=，则2x y +的最小值是 。

答案：4
10、（扬州市2014届高三上学期期中）已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数
2z x y =+的最小值为 ▲ ．
答案：－3
11、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a
为常数）所表示的平面区域的面积等于3， 则a 的值为 ▲ ． 答案：5
二、解答题 1、（海安县2014届高三上学期期中） 3、（海门市2014届高三11月诊断）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y m f x =，其中()2log (4),046,42
x x f x x x +<≤⎧⎪
=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净．化．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．
. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 解：（1）由题设：投放的药剂质量为4=m ，
自来水达到有效．．净化．．4()6f x ⇔≥ ………2分 3
()2
f x ⇔≥
204
3log (4)2x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或46
322
x x >⎧⎪
⎨≥⎪-⎩ ………4分 04x ⇔<≤或46x <≤，即：06x <≤， 亦即：如果投放的药剂质量为4=m ，
自来水达到有效．．净化．．
一共可持续6天； ………8分 （2）由题设：(0,7],6()18x mf x ∀∈≤≤，0m >， ………10分
()2log (4),046
,42
x x f x x x +<≤⎧⎪
=⎨>⎪-⎩， 2(0,4],6log (4)18x m x ∴∀∈≤+≤，且6(4,7],6182
m
x x ∀∈≤
≤-，………12分 26318m m ≥⎧∴⎨≤⎩且6
6
5318m m ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， ………14分
36
56m m ≤≤⎧∴⎨
≤≤⎩
， 56m ∴≤≤， 亦即：投放的药剂质量m 的取值范围为[5,6]. ………16分
2、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）
5、（苏州市2014届高三上学期期中）设a 、b 、c 均为实数，求证：
a 21+
b 21+
c 21≥c b +1+a c +1+b
a +1. 证明：∵,,a
b
c 均为实数，
∴21(a 21＋b 21)≥ab 21≥b
a +1
，当a b =时等号成立； …………………4分
21(b 21＋c 21)≥bc 21≥c b +1
，当b c =时等号成立； ………………6分 21(c 21＋a 21)≥ca 21≥a
c +1． ……………………8分 三个不等式相加即得
a 21+
b 21+
c 21≥c b +1+a c +1+b
a +1
， 当且仅当a b c ==时等号成立.
3、（兴化市2014届高三上学期期中）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完，每千件
的销售收入为()x R 万元，且()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
>-≤<-=10
,3100010810
0,30
18.1022x x x
x x x R ．
（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤<--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10,107.231000108100,107.23018.1022x x x x x
x x x x W ，
即⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤<--=10
,7.2310009810
0,103011.83x x x x x x W ．
（2）①当100≤<x 时，1030
11.83
--
=x x W 则()()10
9910811011.822x x x x W -+=-=-=' ∵100≤<x
∴当90<<x 时，0>'W ，则W 递增；当109≤<x 时，0<'W ，则W 递减； ∴当9=x 时，W 取最大值
6.385
193
=万元． ②当10>x 时，⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=x x W 7.23100098387.231000298=⋅-≤x x ．
当且仅当
x x 7.231000=，即109
100
>=x 取最大值38． 综上，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 4、（扬州市2014届高三上学期期中）某小区有一块三角形空地，如图△ABC ，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90︒，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC 内的P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在△ADE 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所．现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米．设DC=d 米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？
D
C B
解法一：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，
··································································································································· 2分 则(0,0)C ，(0,180)A ，(90,0)B ，(10,100)P ，(0,)D d ．
DE 直线方程：100
100(10)10
d y x --=
--，①·
·················································· 4分 AB 所在直线方程为2180x y +=，② ·································································· 6分
解①、②组成的方程组得，101800
120E d x d -=
-， ························································ 8分
∵直线DE 经过点B 时2252d =，∴225
02
d <<，
11101800
||(180)22120ADE E
d S
AD x d d -=
⋅=⋅-⋅- ····················································· 10分 =2(180)5120d d -⋅-，设15120(,120)2d t -=∈，
2(60)5ADE
t S
t +=⋅=36005(120)t t
⋅++，
3600
120t t
+
≥（当且仅当60t =，即4k =时取等号）
，此时12060d t =-=， ∴当d =60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大． ······································· 15分 解法二：如图，分别过点,P E 作AC 的垂线，垂足为,Q F ，设EF h =，则 若如图1所示，则10,100,100PQ CQ DQ d ===-， 由AFE ACB ∆∆得
18090
AF h
=
，即2AF h =，从而1802CF h =-，1802DF h d =--， 由DPQ
DEF ∆∆得
101001802d h h d -=--，解得180010120d h d
-=- （若如图2所示，则10,100,100PQ CQ DQ d ===-，2AF h =，1802CF h =-，
2180DF h d =+-，由DPQ
DEF ∆∆得
101001802d h h d -=
--，解得180010120d
h d
-=-） 由090h <<得225
02
d <<
，
由
11101800
(180)
22120
ADE
d
S AD h d
d
-
=⋅=⋅-⋅
-
（下同解法一）
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