2020-2021学年高考总复习数学(理)毕业班质量检查模拟试题及答案解析

最新普通高中毕业班质量检查
理科数学试题
（满分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合{}
12,A x x x =-≤∈Z ,2{|log (1),}B x y x x ==+∈R ，则A B =I
A ．{1,0,1,2,3}-
B ．{0,1,2,3}
C ．{1,2,3}
D ．{1,1,2,3}- 2
根据上表中的数据可以求得线性回归方程y bx
a =+中的
b 为6.6，据此模型预报广告费用为10 万元时销售额为
A ．66.2万元
B ．66.4万元
C ．66.8万元
D ．67.6万元
3．阅读右边的程序框图，输出结果S 的值为 A ．1008- B ．1 C ．1-
D ．0
4．已知a ∈R
，i 是虚数单位，命题p ：在复平面内，复数12
1i
z a =+
-对应的点位于第二象限；命题q ：复数2i z a =-的模等于2，若p q ∧是真命题，则实数a 的值等于 A ．1-或1 B ．C ．．5．已知3cos(π)5α+=，π(,π)2α∈，则πtan()4
α-=
A ．17
- B.7-
C.
17
D.7 6．在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则
10T 的值为
A.921-
B.362
C.1021-
D.452
7．已知直线:1l x y -=与圆22:2210x y x y Γ+-+-=相交于A C ,两点，点B ,D 分别在圆Γ上运
π
cos
2
i S S =+
动，且位于直线l 的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 A
B
．C
D
．8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的 三视图，则该几何体的体积为 A ．
8
3
B ．2
C ．8
D ．6
9．已知点1F 是抛物线2
:4C x y =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴
与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以12F F ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
B
1C
1D
10．设点(,)x y 在不等式组1,
1,
40x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域上，若对于[0,1]b ∈时，不等式ax by b ->恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．2(,4)3
B ．2(,)3
+∞ C ．(4,)+∞ D ．(2,)+∞
11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -
中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P
在正方形ABCD 的边上，射线OP 交球O 的表面于点M ．现点P 从点A 出发，沿着
A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为
B.
D.
12．已知函数4
log 3(0),()1() 3 (0),4x x x x f x x x ⎧
+->⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩
若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，则12||x x -=
A ．3ln 2-
B ． 3ln 2
C
．
D ．3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数()sin 2f x x x a =--，若()f x 在[0,π]上的最大值为1-，则实数a 的值是_______． 14．在2
3
(2)x x --的展开式中5
x 的系数是（用数字作答）.
15．已知平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，1,2AB AD ==,点P 是线段BC 上的一个动点，则
AP DP ⋅u u u r u u u r
的取值范围是__________．
16．在数列{}n a 中，已知21
11,1n n n a a a a +>=-+*()n ∈N ，且1
2
2015
1112a a a +++=L ，则当
201614a a -取得最小值时，1a 的值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，2AB =，1
cos 3
B =，点D 在线段B
C 上．
(Ⅰ)若3
π4
ADC ∠=
，求AD 的长； (Ⅱ)若2BD DC =，△ACD
sin sin BAD
CAD
∠∠的值．
18. （本小题满分12分）
微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个
（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%
的
把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售． ①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；
②以X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过5
个的型号种数，求随机变量X 的分布列及数 学期望()E X ．
参考公式：2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，PA =，120PDC ∠=o ，
点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上． （Ⅰ）若1
2
AF =
，求证：CD EF ⊥； F
E
D
C
B
A P
（Ⅱ）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ， 试确定点F
的位置，使得cos θ=
20．（本小题满分12分）
已知点P 是直线2y x =+与椭圆22
2:1(1)x y a a
Γ+=>的一个公共点，12,F F 分别为该椭圆的左右
焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知,A B 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点(0,),(0,)M m N n ，试判断mn 是否为定值，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x bx a =-+(,)a b ∈R ，2
1()12
g x x =+． （Ⅰ）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；
（Ⅱ）设1b =，直线1l 是曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线，直线2l 是曲线()y g x =在点
22(,())Q x g x 2(0)x ≥处的切线．若对任意的点Q ，总存在点P ，使得1l 在2l 的下方，求实数a
的取值范围．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙1O 与⊙2O 相交于,A B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的
割线，分别交⊙1O ，⊙2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P ． （Ⅰ）求证:AD ∥EC ；
（Ⅱ）若AD 是⊙2O 的切线，且6PA =，2PC =，
9BD =，求AD 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,
sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)；在以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2
cos sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点）
，当斜率
k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||21|f x x a x =-+-()a ∈R ． （I ）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（II ）若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1[,1]2
，求实数a 的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1. B
2. A
3. D
4. D
5. B
6. D
7.A
8. B
9. C 10.C 11.A 12.D 二、填空题：
13. 1 14. -3 15. 1,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
16.54
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解法一：(Ⅰ) 在三角形中，1cos ,3B =Q sin B ∴=…………2分
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD
ADB B
=
∠,
又2AB =，4
ADB π
∠=
，sin B =
8
3
AD ∴=. …………5分 (Ⅱ) 2BD DC =Q ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=, …………6分
又ADC S ∆=
，ABC S ∆∴=， …………7分 1
sin 2
ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠Q ,6BC ∴=， …………8分 1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=
⋅∠Q ，1
sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC S S ∆∆=sin 2sin BAD AC
CAD AB
∠∴
=⋅
∠， …………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2
2
2
2cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．
AC ∴=， …………11分
sin
2sin BAD AC CAD AB
∠∴
=⋅=∠． …………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)2BD DC =Q ,3ABC ADC S S ∆∆∴==, 又1
sin 2
ABD S AB BC ABC ∆=
⋅∠Q ,6BC ∴=， 4,2BD CD ∴==． …………8分
在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．AC ∴=， …………9分
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AB
BAD ADB
=
∠∠， 即sin sin 2sin BD ADB
BAD ADB AB
⋅∠∠=
=∠，
同理在ACD ∆
中，由正弦定理得sin sin CD ADC CAD AC ⋅∠∠=
=
…………11分 又Q sin ADB ∠=sin ADC ∠，
sin 2sin sin sin BAD ADB
ADC CAD
∠∠∴
==∠∠． …………12分
18． 解：（Ⅰ）根据题意列出22⨯列联表如下：
2分
()
2
210491025
0.4 2.0725555
2525
K -⨯=
=
=<⨯⨯⨯⨯，
所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关．………………4分 （Ⅱ）①令事件C 为“型号I 被选中”；事件D 为“型号II 被选中”，
则1
234335533
(),()510
C C P C P C
D C C ====,
所以()1
()()2
P CD P D C P C =
=．………………6分 ②随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,………………7分
()12323
53
110C C P X C ⋅===；()12233
5325C C P X C ===； ()33351
310
C P X C ===．………………10分
故X 的分布列为
()123 1.810510
E X ∴=⨯
+⨯+⨯=………………12分
19．解：（Ⅰ）在PCD ∆中，2PD CD ==，
∵E 为PC 的中点，
∴DE 平分PDC ∠，60PDE ︒∠=,
∴在Rt PDE ∆中，cos601DE PD ︒
=⋅=，…………2分
过
E 作EH CD ⊥于H ，则12
DH =，连结FH ，
∵1
2
AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ………………4分 ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =I ，∴CD ⊥平面EFH ，
又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥． ………………5分
（Ⅱ）∵2AD PD ==，PA =AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，
又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ． ………………6分 过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ， 故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， ………………7分 则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,P -，又知E 为PC 的中点，E 1(0,,
22
，设(2,,0)F t ，则1(0,2DE =u u u r ，(2,,0)DF t =u u u r ， (0,DP =-u u u r ，(2,0,0)DA =u u u r
．…………8分 设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，
则0,0,DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴1111
10,2220,
y z x ty ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量
(,2)=-n ， ………………9分
设平面ADP 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,
0,
DP DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
m m 所以2220,20,
y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取=m ． ………………10分
∴cos cos ,4m n θ=<>==
u r r ，解得43t = H P
A B C D E
F x
∴当4
3
AF =
时满足cos θ=． ………………12分
20． 解法一：（Ⅰ）将2y x =+代入椭圆方程2
2
21x y a
+=，
得2222
(1)430a x a x a +++=， ………………1分
Q 直线2y x =+与椭圆有公共点，
∴422164(1)30a a a ∆=-+⨯≥，得23a ≥
，a ∴≥． ………………3分 又由椭圆定义知122PF PF a +=，
故当a =12PF PF +取得最小值，此时椭圆C 的方程为22
13
x y +=.………………4分
（Ⅱ）设111100(,),(,),(,)A x y B x y Q x y -，且(0,),(0,)M m N n ，
Q QA QM k k =，010010y y y m x x x --∴
=-，即001001
()
x y y y m x x --=-，
0m y ∴=-
00101()x y y x x --=0110
01x y x y x x --． ………………6分
同理可得n =
0110
01
x y x y x x ++． ………………8分
2222
01100110011022
010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=-+-， ………………10分
又220013x y +=，221113x y +=，2
20013x y ∴=-，22
1113x y =-， 2
22
2
012201012222
0101
(1)(1)
331x x x x x x mn x x x x ----∴===-- 则mn 为定值1． ………………12分 解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称点1F '， 连结12F F '交直线于点P 时，12PF PF +取得最小值，
此时满足1212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． ………………1分 设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐标为()2,2c --+，
∴122F F a '==
2a ， ………………3分 又2
2
1c a =-，解得2
3a =，此时椭圆C 的方程为22
13
x y +=． ………………4分
（Ⅱ）同解法一．
21．解：（Ⅰ）由()ln f x x x bx a =-+，所以()ln 1f x x b '=+-，
因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >， …………………1分
①当10b -≥，即1b ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增．…………………2分 ②当10b -<，即1b >时，令()ln 10f x x b '=+-=，得1e b x -=， 当1(1,e )b x -∈时，0ln 1x b <<-，所以()0f x '<； 当1(e ,+)b x -∈∞时，ln 1x b >-，所以()0f x '>，
所以()f x 在1(1,e )b -上单调递减，在1(e ,+)b -∞上单调递增． …………………4分． （Ⅱ）由()ln f x x x x a =-+，得()ln f x x '=， 所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线1l 的方程为
111ln ()y y x x x -=-，即11ln y x x x a =-+． …………………5分
由21
()12
g x x =+，得()g x x '=，
所以曲线()y g x =点22(,())B x g x 2(0)x ≥处的切线2l 的方程为
222()y y x x x -=-，即2
222112
y y x x x -=-+． …………………6分
要使直线1l 在直线2l 的下方，当且仅当122
12ln ,112x x a x x =⎧⎪
⎨-<-+⎪⎩
恒成立， 即22
2112x a e x <-+2(0)x ≥恒成立． …………………8分
设21
()1(0)2x x e x x φ=-+≥，则()x x e x φ'=-，
令()x
t x e x =-，则()1x t x e '=-，当[0,)x ∈+∞时，()(0)0t x t ''≥=，
所以()x t x e x =-在[0,)+∞上是增函数， …………………10分 则()(0)10t x t ≥=>，即当[0,)x ∈+∞时，()0x φ'>， 也就是2
1()12
x x e x φ=-+在[0,)+∞上是增函数， 所以2
1()12
x x e x φ=-
+在0x =处取得最小值为2， 综上可知，实数a 的取值范围是2a <． .....................12分 22．解：（Ⅰ）连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴BAC D ∠=∠， (3)
分
又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD ∥EC ． ………………5分 （Ⅱ）设BP x =，PE y =，∵6PA =，2PC =，∴12xy =，① ………………6分 ∵AD ∥EC ，∴
96
2
DP AP x PE PC y +=⇒=， ∴39x y =-,②………………7分
由①②可得，34x y =⎧⎨=⎩
或⎩⎨⎧-=-=112
y x （舍去）………8分
∴916DE x y =++=， ∵AD 是⊙2O 的切线，
∴2
916AD DB DE =⋅=⨯， ………………9分 ∴12AD =. ………………10分
23．解：（Ⅰ）由1cos ,sin ,
x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， 所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． ………………3分 由2cos sin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2
x y =．………5分
（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=， …………6分
且tan k α=∈， 联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩
得1||2cos OA ρα==， ………………7分 联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin ||cos OB αρα==， ………………9分 所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα
⋅=⋅=⋅=
=(2,∈， 即||||OA OB ⋅
的取值范围是(2,． ………………10分 解法二：（Ⅰ）同方法一．
（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，
则射线的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
，其中t 为参数， 将cos ,sin ,
x t y t αα=⎧⎨=⎩代入1C :2220x y x +-=，得22cos 0t t α-=， 设点A 对应的参数为A t ，则2cos A t α=， ………………7分
同理，将cos ,sin ,
x t y t αα=⎧⎨
=⎩代入2y x =，得22sin cos t t αα=， 设点B 对应的参数为B t ，则2sin cos B t αα
=， ………………9分 所以2sin ||||2cos 2tan 2cos A B OA OB t t k αααα
⋅=⋅=⋅==，
∵k ∈，∴||||OA OB ⋅
的取值范围是(2,． ………………10分
24. 解：（I ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，
()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤， 上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,
x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4.3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
………………3分 ∴102x ≤≤或112x <<或413
x ≤≤， ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤. ………………5分
（II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2， ∴当1[,1]2x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立， ………………6分 即|||21||21|x a x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，
∴||2121x a x x -+-≤+， 即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤，
∴22x a x -≤≤+在1
[,1]2
x ∈上恒成立， ………………8分 ∴max min (2)(2)x a x -≤≤+， ∴5
12a -≤≤，
∴a 的取值范围是5
[1,]2-．
………………10分。