用均值不等式求最值的方法和技巧 完美

用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，
、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a
= b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：
b
a 11
2
+2
a b
+≤≤≤2
2
2b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +∈R ，求4
()f x x x
=+)10(≤<x 的最小值。

(故当1x =时，4
()f x x x
=+在(0,1]上有最小值5)
4、条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足81
1x y
+=，求2x y +的最小值。

解法一：（利用均值不等式）
2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+
+1018≥+=,当且仅当81
116x y x y
y
x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）
由811x y
+=得8x y x =-，由00088x
y x x x >⇒>>⇒>-又则
2x y +22(8)161616
2(8)108888x x x x x x x x x x -+=+
=+=++=-++---
-1018≥=。

当且仅当16
88
x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误
的求解方法： 812()(2)8x y x y x y +=++≥=。

原因就是等号成立的条件
不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

解法一：
由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥230-≥解得
13≤-(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

又2
3(
)2
x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞
解法二：
由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠，
则31x y x +=-，由3
0011
x y x x +>⇒
>⇒>-，则：
2233(1)5(1)44
(1)51111x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++----59≥=，当
且仅当4
1(0)31
x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+
=+=++=-++≥=----，
当且仅当4
1(0)31
x x x x -=
>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数2216
32y x x =+
+的最小值.
分析：
2216
32x x +
+是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.
而2
1
2x +可与22x +相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即22
16
3662y x x =++
-+，再用均值不等式.
222
22
1620,3216
3(2)6266x y x x x x +>=++=++
-+≥=解：
当且仅当
22
163(2)2x x +=
+
，即2
23x =-时,等号成立. 所以y 的最小值
是6.
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值，而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即
将xy 变形为326x y
⋅，再用均值不等式.
220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是
lg 6.
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利
用
2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭来解决.
3、 裂项
例3 已知1x >-，求函数
()()
521
x x y x ++=
+的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.
()(
)1411
10,14(1)5519
x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
+>=
+=++
+≥+=解：
当且仅当
4
11x x +=
+，即1x =时，取等号. 所以min 9y =.
4、 取倒数
例4 已知
102x <<
，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由
1
02x <<
，得10x +>，120x ->.
取倒数，得 22
1(12)1312(1)31131211113212
x x x x y x x x
x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤
+
⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
当且仅当31211x x x x -=++，即1
5x =
时，取等号.
故y 的最小值是12. 5、 平方
例5 已知0,0x y >>且2
2
283y x +=
求.
分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.
初看似乎无从下手，但若把所求式题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决
.
2
2
2
2
2
2
222((62)32(1)
3
2(1)9333()
22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：
当且仅当
22
2(1)3y x =+，即32x =
，2y =
时，等号成立.
故
评注 本题也可将x
纳入根号内，即将所求式化为数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6
求函数
25y x =
+的最大值.
22,0,2,
(0)21
00;101212=.
3,24t t x t t
y t t t y t y t t t t t x =≥=-=
≥+==>=
≤
=
+
==-则当时，当时，当且仅当，即所以时
7、 逆用条件
例7 已知19
1(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是 （16） .
8、 巧组合
例8 若,,0a b c >
且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而
()()a b a c ++
等于定值4-
.
,,0,2()()2,,1.2 2.
a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为
9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2
y xz 的最小值是.
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
32x z y +=
，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
22
22
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=
+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.
故的最小值为。