高考数学 夺分法宝 函数、三角函数、立体几何(解析版)

2013高考数学 夺分法宝 函数、三角函数、立体几何（解析版）
【2011高考真题——新课标卷】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只需一项是符合标题要求的。

(1)复数
212i
i +-的共轭复数是 （A ）35
i - （B ）35
i （C ）i - （D ）i 解析：
212i i
+-=
(2)(12)
,5i i i ++=共轭复数为C （2）以下函数中，既是偶函数又在+∞（0，）
单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由影像知选B
（3）履行左面的程序框图，如果输出的N 是6，那么输出的p 是
（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040
解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B
（4）有3个兴味小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相反，则这两位同学参加同一个兴味小组的概率为
（A ）13 （B ）12 （C ）23
（D ）
34
解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情
形有9种，而参加同一组的情形只需3种，所求的概率为p=
3193=选A
（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=
解析：由题知tan 2θ=,
222222cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-
++选B （A ）45- （B ）35- （C ）35
（D ）
4
5
（6）在一个几何体的三视图中，重视图和俯视图如右图
所示，
则相应的侧视图可以为
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D
（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，
L 与C 交于A ,B 两点，
AB
为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为
（A
（B （C ）2 （D ）3
解析：通径|AB|=2
22b a a =得2222222b a a c a =⇒-=，选B
（8）5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40
解析1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

5
11
()(2)x x x x +-的
通项
521552155(2)()(1)2r r r r r r r
r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号
提出x,从余下的5个括号当选2个提出x ，选3个提出1
x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号当选2个提出1
x ，选3个提出x.
故常数项=
223
3223
35353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-
+⋅-⋅=-40+80=40
（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
（A ）103 （B ）4 （C ）16
3
（D ）6
解析;
用定积分求解
4
324
200
21162)(2)|323s x dx x x x =-+=-+=
⎰，选C
（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题
12:10,3
P a b π
θ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤
+>⇔∈
⎥⎝⎦
3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤
->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是
（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P
解析：1a b +==>得，
1cos 2θ>-
，
20,
3
π
θ⎡⎫⇒∈⎪
⎢⎣⎭。

由1a b -==>得1
cos 2θ<
,3πθπ⎛⎤
⇒∈ ⎥
⎝⎦。

选A
（11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为
π，且()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递
减
（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增
（D ）()f x 在3,
44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
解析：())
4f x x π
ωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+
=+⇒=+∈
，())2f x x x π
∴=+=，选A
(12)函数1
1y x
=
-的影像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的影像一切交点的横坐标之和等于
（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
解析：影像法求解。

1
1y x =
-的对称中心是（1,0）也是
2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的影像在x=1的左侧有4个
交点，则x=1右侧必有4个交点。

不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D (18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

解析1：（Ⅰ）由于60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD2+AD2= AB2，故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ,
(
)03,0
B ，,()1,
3,0
C -,()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则0
0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩, z x
P
C
B
A D
y
即 30
30
x y y z -+=-=
因而可取n=(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则 00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩ 可取m=（0，-1，3-）
427
cos ,727
m n -=
=-
故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7-
【2011安徽理（】9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若
()()
6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
（A ）,()3
6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
（B ）,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦
（C ）2,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
（9）A 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若
()()
6f x f π
≤对x R ∈恒成立，则
()sin()163f ππ
ϕ=+=，所以
,3
2
k k Z
π
π
ϕπ+=+
∈，
,6k k Z
π
ϕπ=+
∈.由
()()2
f f π
π>，（k Z ∈），可知
sin()sin(2)
πϕπϕ+>+，即
sin 0
ϕ<，所以2,6k k Z
π
ϕπ=+∈，代入
()sin(2)f x x ϕ=+，得
()sin(2)
6
f x x π
=+，由
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+
+
，得
3
6
k x k π
π
ππ-
+
，故选A.
（14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则ABC ∆的面积为_______________
（14)
运用，考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦
定理得222
(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为
6,10,14.△ABC
的面积为1
610sin120152S =⨯⨯⨯=
【2011安徽文】 (15)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ， ab ≠0，若()()6
f x f π
≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11(
)012
f π
=②7(
)10
f π＜
()
5
f π
③()f x 既不是奇函数也不是偶函数
④()f x 的单调递增区间是2,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出一切正确结论的编号）.
(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的运用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性和三角函数的影像.
【解析】22
()sin 2cos 2)
f x a x b x x a b ϕ=+=++，又
1()sin cos 0
6332
f a b b πππ=+=+，由题意
()()
6
f x f π
≤对一切则x ∈R
恒成立，则
3122
a b +对一切则x ∈R 恒成立，即
22
223144a b a b ++，
22
3230a b ab
+恒成立，而
22
323a b ab +，
所以
22323a b ab
+=，此时
30
a b =>.所以
()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛
⎫=+=+ ⎪
⎝
⎭. ①1111()2sin 01266f b πππ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭，故①正确；
②
774713(
)2sin 2sin 2sin 10563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
21713()2sin 2sin 2sin 5563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以
7(
)10
f π
＜
()5
f π
，②错误；
③()()f x f x -≠±，所以③正确； ④由①知()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛
⎫=+=+ ⎪
⎝
⎭，0b >， 由
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+
+
知
23
6
k x k π
π
ππ-
+
，所以③不正确；
⑤由①知30a b =>，要经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交，则此直线与横轴平行，又()f x 的振幅为
23b b >，所以直线必与()f x 影像有交点.⑤不正
确.
（16）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高. （16）解：∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，
1
cos 2A =
，又
0°<A<180°，所以A ＝60°.
在△ABC
中，由正弦定理
sin sin a b A B =
得sin 2sin 602sin 23b A B a ===，
又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，
∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+
2(sin 45cos30cos 45sin 30)
=+232131
2(
)22222+=⨯+⨯=
【2011北京理】9.在ABC 中，若5b =，4
B π
∠=
，tan 2A =，则
sin A =_______，a =______.
【解析】由tan 2A =⇒
25
sin 5A =
，正弦定理可得210a =。

15.已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64
ππ-上的最大值和最小值。

解：（1）()2sin(2)
6f x x π
=+，函数()f x 的最小正周期为π；
（2）2266
3
x π
π
π-
≤+
≤
，当
26
2
x π
π
+
=
即
6x π
=
时，函数()f x 取得最大值
2；
当
26
6
x π
π
+
=-
即
6
x π
=-
时，函数()f x 取得最小值1-；
北京文（9）在ABC ∆中，若5b =，4
B π
∠=,1sin 3
A =，则
a = .
52
3
福建理
3．若
tan 3
α=，则
2sin 2cos a
α的值等于
D
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
14．如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23点D 在BC 边上，∠ADC=45°，
则AD 的长度等于______．
2
16．(本小题满分13分) 已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和
3133
S =
． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6
x π
=处取得最大
值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式． 解：(Ⅰ)由
3133,3q S ==
得11
3a =，所以2
3n n a -=；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得33a =，由于函数()f x 最大值为3，所以3A =， 又当6x π
=
时函数
()f x 取得最大值，所以sin()13π
ϕ+=，由于0ϕπ
<<，
故
6
π
ϕ=
，
所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)
6f x x π
=+。

福建文9．若∈(0，p 2
)，且sin
2
＋cos2
＝1
4
，则tan ＝
D
A. 22 B ．3
3
C ． 2
D ． 3
14．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于 2 21.（本小题满分12分）
设函数f ()＝3sin ＋cos
，其中，角的顶点与坐标原
点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤
≤。

（Ⅰ）若P 的坐标是(12，3
2
)，求f (
)的值；
（Ⅱ）若点P (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥1
x ≤1 y ≤1
上的一个动点，试确定
角的取值范围，并求函数f (
)的最小值和最大值。

21、（Ⅰ）f()＝2；（Ⅱ）＝0时f()min ＝1，＝p
3
时f()min
＝2。

广东理16.（本小题满分12分）
1()2sin(),36
f x x x R π
=-∈已知函数
5(1)()4
f π
求的值;
106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤
∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值.
.
6516
54135531312sin sin cos cos )cos(.
5
4
sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;
13
12
cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24
sin 2)6125sin(2)45(
)1(:=⋅-⋅=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαπ
πππ f f f 解
广东文
12．设函数.1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则
=-)(a f ．-9
16．（本小题满分12分） 已知函数
()1
2sin 3
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．
（1）求()0f 的值；
（2）设10
,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫
∈+= ⎪⎢⎥⎣
⎦
⎝
⎭
()6
32,5
f βπ+=求()sin αβ+的值．
解：（1）(0)2sin()2sin 1
66f ππ
=-=-=-
（2）
101(3)2sin[(3)]2sin ,13232661(32)2sin[(32)]2sin()2cos 5362
53
sin ,cos ,
135
12
cos ,
134
sin 5
5312463
sin()sin cos cos sin 13513565f f πππ
αααππ
βπβπββαβαβαβαβαβ=+=⨯+-==+=⨯+-=+=∴==∴====
∴+=+=⨯+⨯=
湖北理3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为 A. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈+≤≤+
Z k k x k x ,3πππ
π B. ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤≤+
Z k k x k x ,232πππ
π C. ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
≤≤+
Z k k x k x ,656
ππππ D. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262π
πππ 【答案】B 解析：由条件
1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πx ，则 6
526
6
2π
ππ
π
π+
≤-
≤+
k x k ，解得π
ππ
π+≤≤+
k x k 23
2，Z k ∈，所以选B.
16．（本小题满分10分）
设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，
4
1
cos =
C .
（Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.
本小题次要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯
-+=-+=C ab b a c
∴2=c
∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .
（Ⅱ）∵
41cos =
C ，∴415411cos 1sin 2
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ， ∴
815
2415
sin sin =
==c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，
∴878151sin 1cos 2
2
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A
∴()C A -cos C
A C A sin sin cos cos +=1611
4158154187=⨯+⨯=
.
湖南理 6. 由直线,,03
3
x x y π
π
=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．1
2 B ．1 C
D
答案：D
解析：
由定积分知识可得
3
33
3
cos sin |(S xdx x ππ
ππ
--
=
==
-=⎰，故选D 。

11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，
AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长
为 。

答案：233
解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=︒，2OA OB ==,得
1OD BD ==,
33
DF =
，
又2
3AD BD CD =⋅=，所以
233AF AD DF =-=
.
湖南文7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =
-+在点(,0)4
M π
处的切线的斜率为
（ ） A ．1
2
- B ．12
C ．2
2
- D ．
22
答案：B 解析：
22
cos (sin cos )sin (cos sin )1
'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--=
=
++，所以
24
1
1'|
2
(sin
cos )44
x y ππ
π
=
==+。

17．（本小题满分12分）
在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （I ）求角C 的大小；
（II ）求3sin cos()4
A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大
小．
解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
由于0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π
>=≠==
从而又所以则
（II ）由（I ）知
3.4B A π=
-因而
3cos()3cos()
4
3cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时
2sin()
6A π
+取最大值
2．
3cos()
4A B π
-+的最大值为
2，此时
5,.3
12A B π
π=
=
江苏7.已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x
2tan tan 的值为__________.
答案：4
9
解析：
221tan 1tan tan 1tan 4
tan()2,tan ,2tan 41tan 3tan 2291tan x x x x x x x x x x π
++==∴=∴=
-（－）＝＝－.
本题次要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的勾引公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.
9.函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则____)0(=f 答案：6
2解
析
：由图可知：
7
,2,41234T A ππ
πω==-== 7322,2,1223k k πππϕπϕπ⨯+=+=+
(0))3f k ππ=+=
由图知：
(0)f =
本题次要考查正弦余弦正切函数的影像与性质，sin()y A x ωϕ=+的影像与性质和勾引公式，数形结合思想,中档题.
15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==，求C sin 的值.
答
案：（1
）
sin()2cos ,sin ,cos 0,tan 63A A A A A A A A π
π
π+=∴=≠=<<∴=
（2）在三角形中,22221
cos ,3,2cos 8,3A b c a b c bc A c a ==∴=+-==
sin c C
=
，而
sin A ==
1
sin 3C ∴=.（也
能够先推出直角三角形）
(也能根据余弦定理得到
1
cos sin 3C C C π=
<<⇒=)
解析：本题次要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力，容易题. 江西理17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知
2
sin
1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 【解析】（1）由已知得
2
sin 12sin 212cos 2sin
22C
C C C -=-+，即
0)12sin 22cos 2(2sin
=+-C C C ，由02sin ≠C 得012sin 22cos 2=+-C
C 即
212cos 2sin
=-C C ，两边平方得：43
2sin =C
（2）由0212cos 2sin
>=-C C 知2cos 2
sin C
C >，则2
24
π
π
<<
C ，即
π
π
<<C 2
，
则由
43
2sin
=
C 得
47cos -=C 由余弦定理得
728cos 22
22+=-+=C ab b a c ，所以17+=c . 江西文14、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若
()4,p y 是角θ终边上一点，且25
sin 5
θ=-
，则y=_______.
答案：—8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。

斜边对边=θsin =552162-=+y y 8-=⇒y
（PS:大家可以看到，步骤越来越少，不就意味着题也越来越简单吗？怎样能说高考题是难题偏题。

） 17.(本小题满分12分）
在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知
C b B c A a cos cos cos 3+=.
（1）求A cos 的值； (2)若3
32cos cos ,1=
+=C B a ，求边c 的值．
解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得：
)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=及：A A A sin cos sin 3=所以
31
cos =
A 。

（2）由332cos cos =
+C B ，33
2cos )cos(=+--C C A π展开易得：
36sin 3sin 2cos =
⇒=+C C C ， 正弦定理：23
sin sin =
⇒=c C c A a
【解析】本题考查的次要知识三角函数及解三角形成绩，标题偏难。

第一问次要触及到正弦定理、勾引公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于普通难度；第二问一样是对正弦定理和勾引公式的考查但情势更为复杂。

辽宁理4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
a sin A sin B +
b cos 2A =
a 2，则
=a
b A ．23 B ．22 C ．3 D ．2 D 7．设sin
1+=43
πθ（），则sin 2θ=
A
A ．79
- B ．19
- C ．19
D ．
7
9
辽宁文12．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2
||,0πϕω<>），y =)(x f 的
部分影像如下图，则
=)24
(
π
f
A ．
B
C
D ．2-
B
17．（本小题满分12分）
△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
a
sin A sin B +b cos 2A a ．
（I ）求b a
；（II ）若c 2
=b 2
2
，求B ．
17．解：（I ）由正弦定理得，22
sin sin cos A B A A +=，即
22sin (sin cos )B A A A +=
故sin ,b
B A a ==所以 (6)
分
（II ）由余弦定理和
222,cos c b B =+=
得
由（I ）知222,b a =故
22
(2.c a =+
可得
21cos ,cos 0,cos 452B B B B =
>==又故所以 …………12分
全国Ⅰ理（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=
（A ）45
- （B ）35
- （C ）35
（D ）
4
5
B
（11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为
π，且()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递
减
（C ）()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
（D ）()f x 在3,
44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
A
（16）在ABC 中，60,3B AC ==，则2AB BC +的最大值为 。

27 全国Ⅰ文（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初
始地位为0p （2，2-），角速度为1，那么点p 到
x 轴距离d 关于工夫t 的函数影像大致为
C
（10）若sin a = -45
，a 是第一象限的角，则
sin()
4
a π
+=
A （A ）72
10
（B 7210
（C ）210（D 210
(16)在ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC =,则5全国Ⅱ理5）设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的影像向右平移
3
π
个单位长度后，所得的影像与原影像重合，则ω的最小值等于
(A)1
3
(B)3 (C)6 (D)9 【答案】：C 【命题意图】：本小题次要考查三角函数及三角函数影像的平移变换、周期等有关知识。

【解析】：由题意知3π
为函数()()cos 0f x x ωω=>周期的正整数倍，
所以*2(),66
3
k k N k π
π
ωω
=•
∈=≥，故ω的最小值等于6.
(14)已知(,)2π
απ∈ ，sin α,则tan2α =___________.
【答案】：43-
【命题意图】：本小题次要考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式。

【解析】：由
sin α
=
,
(,)
2
παπ∈，得
212tan 4
cos tan ,tan 221tan 3ααααα==-∴==--
（17）（本小题满分10分）（留意：在试题卷上作答有效．．．．．．．．．）
△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知A-C=90°，a c +=，求C.
【命题立意】:本小题次要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想及消元方法的运用.
【解析】：由A-C=90°，得A=C+90°()902B A C C π=-+=︒-（现实上045C ︒<<︒）
由a c +=，根据正弦定理有：
sin sin sin(90)sin 2)A C B C C C +=∴+︒+=︒-
即
22cos sin 2sin )sin )(cos sin )C C C C C C C C C +==-=+-
cos sin 0
C C +≠
1
cos sin45)45),4560,15
2
C C C C C C
∴-=+︒=+︒=+︒=︒∴=︒
全国Ⅱ文(14)已知3
(),tan2
2
π
απα
∈=
，，则cosα=
【答案】【解析】由
2
2
222
cos11
cos,
sin cos tan15
α
α
ααα
===
++又
3
(),cos0
2
π
απα
∈<
，所以
cosα=
(18)(本小题满分12分)(留意：在试题卷上作答有效
．．．．．．．．．)
ABC
∆的内角A B C
、、的对边分别为a b c
、、.
己知sin csin sin sin,
a A C C
b B
+=
(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若75,2,.
A b a c
==求,
【解析】(Ⅰ)
由正弦定理sin csin sin sin,
a A C C
b B
+=可变形为
222
a c b
+-=，
即222
a c b
+-=，由余弦定
理
222
cos
2
a c b
B
ac
+-
===
又(0,)
Bπ
∈,所以4
B
π
=
（Ⅱ）首先
2
sin sin(4530)
A=+=
3
sin sin60
2
C==
由正弦定
理
sin
1.
sin
b A
a
B
===+
，同
理sin
sin
b C
c
B
===
山东理3.若点（a,9）在函数3x
y=的图象上，则tan=
6
aπ的值为（A）
【答案】D
【解析】由题意知:9=
3a,解得a=2,所以
2
tan tan tan
663
aπππ
===
,
故选D.
6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω=
（A ）3 （B ）2 （C ）3
2 （D ）23
【答案】C
【解析】由题意知,函数在3x π
=
处取得最大值
1,所以1=sin 3ωπ
,
故选C.
17.（本小题满分12分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
. （I ）
求
sin sin C
A
的值； （II ） 若cosB=1
4
，2b =,求ABC ∆的面积.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
=
2sin sin sin C A
B
-,
即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,
即sin 2sin C A =,所以sin sin C
A =2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
sin sin c C a A ==2,即c=2a,又由于2b =,所以由余
弦定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即
2221
24224a a a a =+-⨯⨯
,解得1a =,所以
c=2,
又由于cosB=
14
，所以sinB=
154
，故ABC ∆的面积为
11
sin 1222
ac B =⨯⨯⨯
154154 山东文
（17）（本小题满分12分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
.
（Ⅰ）求
sin sin C
A
的值； （Ⅱ）若cosB=1
4
，5b ABC 的周长为，求的长.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
=
2sin sin sin C A
B
-,
即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,
即sin 2sin C A =,所以sin sin C
A =2.
（Ⅱ）由sin 2sin C A =得2c =，∵
1
cos 4B =
，∴22222cos 4b a c ac B a =+-= ∴2b a =，又5a b c ++=得1,2a b ==
陕西理6．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）
（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点
（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无量多个零点 【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。

【解】选B （方法一）数形结合法，令()cos f x x x =-0=，则cos x x =，设函数
y x =和cos y x =，它们在[0,)+∞的影像如图
所示，明显两函数的影像的交点有且只需一个，所以函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内有且仅有一个零点；
（方法二）在[,)
2x π
∈+∞上，1x >，
cos 1x ≤，所以
()cos f x x x =-0>；在
(0,]
2x π
∈，
1()sin 0
2f x x x
'=
+>，所以函数()cos f x x x =-是增函数，又由于(0)1f =-，()0
2
2
f ππ
=
>，所
以()cos f x x x =-在
[0,]
2x π∈上有且只需一个零点．
7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||2N x x i
=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）
（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1] 【分析】确定出集合的元素是关键。

本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。

【解】选C 22
|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；
由于1
||2
x i -<，所以||2x i +<，即|()|2x i --<，又由于x ∈R ，所
以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N =，故选C.
18．（本小题满分12分） 叙说并证明余弦定理．
【分析思绪点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，注重基础知识学习和巩固．
【解】叙说:
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。

或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有
2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.
证明：（证法一） 如图，2
c BC = ()(
)
AC AB AC AB =-•-
22
2AC AC AB AB
=-•+2
2
2cos AC AC AB A AB
=-•+
22
2cos b bc A c =-+
即
2222cos a b c bc A =+-
同理
可
证
2222cos b c a ca B =+-，
2
2
2
2cos c a b ab C =+-
（证法二）已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，
∴
222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++
222cos b c bc A =+-，
即
2222cos a b c bc A =+-
同理
可证
2222cos b c a ca B =+-，
2222cos c a b ab C =+- 陕西文6.方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无量多个根
【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观
判断．
【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的影像，如图所示，观察知影像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
上海理 6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若
75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、B 两点之间的距离为 千米.
6
8.函数sin cos 26
y x x ππ
⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
的最大值为 . 23
4
+ 上海文4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 5
8、在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点之间的距离
是 千米 6
17.若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,E F ，则（ ）A
（A ）E F （B ）E F （C ）E F = （D ）E F =∅ 四川理
6．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是
（A ）(0,]6
π （B ）[,)6
ππ （C ）(0,]3
π （D ）
[,)3
π
π 答案：C
解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222
a b c bc ≤+-，即2221
22b c a bc +-≥， ∴
1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π
<≤
，选C ． 17．（本小题共l2分）
已知函数73()sin()cos()4
4
f x x x ππ=++-，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知4cos()5
βα-=，4cos()5
βα+=-，02
παβ<<≤，求证：
2[()]20f β-=．
本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、勾引公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想． （Ⅰ）解析：
7733()sin cos
cos sin cos cos sin sin 4444f x x x x x ππππ=+++
x x =-2sin()
4x π
=-，∴
()
f x 的最小正周期2T π=，最小值
min ()2f x =-．
（Ⅱ）证明：由已知得
4cos cos sin sin 5αβαβ+=
，4
cos cos sin sin 5αβαβ-=-
两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02
π
αβ<<≤
，∴cos 0β=，则
2
π
β=
．
∴
22
[()]24sin 20
4
f π
β-=-=．
天津理
7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，
sin 23sin C B =，则A =（ ）．
Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
【解】由sin 23sin C B =及正弦定理得23c b =，代入22
3a b bc -=得 2223236a b b b b -=⋅=，即227a b =，又22
12c b =，
由余弦定理
222222212763
cos 224343b c a b b b A bc b +-+-====
，
所以30A =︒．故选Ａ．
17．（本小题满分12
分）已知函数
()223cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小
值．
（Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
．求0cos 2x 的值． 【解】（Ⅰ）由
()223cos 2cos 1
f x x x x =+-得
())()232sin cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪
⎝
⎭． 所以函数的最小正周期为
22
T π
π
==．由于
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以
72,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦． 所以
2,662x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 为增函数，而在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 为减函数，所以
2sin 2
62f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
为最大值，
72sin 1
26f ππ⎛⎫
===- ⎪⎝⎭为最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
()002sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由已知()065
f x =
，则
03sin 265x π⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭． 由于0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因而0cos 20
6x π⎛
⎫+< ⎪⎝⎭， 所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，因而00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦， 00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4331343
525210-=-⨯+⨯=．
天津文
8．右图是函数()sin y A x ωϕ=+()x ∈R 在区间
5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin y x =()x ∈R 的图象上的一切的点（ ）．
Ａ．向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标延长到本来
的12
倍，纵坐标不变
Ｂ．向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来
的2倍，纵坐标不变
Ｃ．向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标延长到本来
的12
倍，纵坐标不变
Ｄ．向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来
的2倍，纵坐标不变
【解】解法1．如图，平移需满足26ϕϕπω
-
=-=-，解得3πϕ=
．因而首
先将sin y x =()x ∈R 的图象上的一切的点向左平移3π
个单位长度，
又由于该函数的周期为
236T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣⎦
，因而再需把sin y x =()
x ∈R 的图象上的一切的点横坐标延长到本来的1
2倍．故选Ａ．
解法2．由已知图象得0,6,3πωϕπωϕπ⎧⎛⎫
⋅-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎪⋅+=⎪⎩解得
2,3πωϕ==
，又1A =， 所以图中函数的解析式是
sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭， 因而该函数的图象是将sin y x =()x ∈R 的图象上的一切的点向左平移
3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标延长到本来的1
2倍，纵坐标不
变得到的．故选Ａ．
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，cos cos AC B
AB C
=
． （Ⅰ）证明：B C =．
（Ⅱ）若1cos 3
A =-．求sin 43
B π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
的值．
【解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由
cos cos AC B AB C =及正弦定理得sin cos sin cos B B
C C
=
，
因而sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=， 由于0B π<<，0C π<<，则B C ππ-<-<， 因而0B C -=，所以B C =．
（Ⅱ）由A B C π++=和（Ⅰ）得2A B π=-，所以
()1
cos 2cos 2cos 3B B A π=--=-=
，
又由B C =知02B π<<，所以
sin 2B =
．
sin 42sin 2cos 2B B B ==
．
227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-
．
所以sin 4sin 4cos cos 4sin 333B B B πππ⎛
⎫+=+=
⎪⎝
⎭．
浙江理9．设函数()4sin(21)f x x x =+-，则鄙人列区间中函数()f x 不．存在零点的是
A ．[]4,2--
B ．[]2,0-
C ．[]0,2
D ．[]2,4 A
13．已知函数()'()cos sin ,4
f x f x x π=+则()4
f π
的值为 ▲ .
1
18．（本小题满分14分）
已知函数
2π()2sin 24f x x x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．ks**5u
（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）若不等式
()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数
m 的取
值范围
解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x
⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵
π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪
⎝⎭． ……………………………………………………3分
又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π
2633x -∴≤≤
，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2
f x f x ==∴．……………………………………………………
………7分 （
Ⅱ
）
()2()2()2
f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，
ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦， (9)
分
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)． (14)
分
浙江文（5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，
则2sin cos cos A A B +=
A ．- 1
2
B ．12
C
． -1
D ．1
D
（18）（本题满分14分）已知函数()sin ()3
f x A x π
ϕ=+，x R ∈，0A >，
02
π
ϕ<<
．()y f x =的部分影像，如图所示，P 、Q 分别为该影像
的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23
PRQ π
∠=，
求A 的值．
（1）本题次要考查三角函数的图象与性
质、三角运算等基础知识。

满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得，2 6.
3
T π
π
=
=
由于
(,)sin(
)
3
P A y A x π
ϕ=+在的图象上，
所以sin(,) 1.3πϕ+=又由于
02π
ϕ<<
，所以
6π
ϕ=
（Ⅱ）解：设点Q 的坐标为0(,)x A -，由题意可知033
6
2
x π
π
π
+
=
，得
04,(4,)x Q A =-所以
连接PQ ，在
2,3
PRQ PRQ π∆∠=
中，由余弦定理得
2221
cos .
22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅
解得2
3.A =
又0,A A >=所以
重庆理（6）若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足2
2a b 4（）c +-=，
且C=60°，则ab 的值为
A
（A ）4
3 （B
）8-23
（14）已知1
sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫
α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4
πα⎛⎫α- ⎪
⎝
⎭
的值为
__________(16) (本小题满分13分)
设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2
f x x a x x x π⎛⎫
=-+- ⎪⎝
⎭
满足()3f π
-(0)f =，求函数()f x 在11424ππ⎡⎤
,⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值 解：（1）
()2sin(2)
6f x x π
=-；
（2）当[,]43x ππ∈时，
2[,]
632x πππ
-∈，函数()f x 递增；
当
11[,]324x ππ∈时，32[,]
624x πππ-∈，函数()f x 递减； 所以()f x 在11[,]424x ππ∈上的最大值为()2
3f π
=
又
11()3,()2424
f f ππ==，所以()f x 在
11[,]
424
x ππ
∈上的最小值为
11()224f π=。

重庆文(8)若的内角、、满足,则
D
(A) (B)
(C) (D)
(12)若
，且
，则
＝ .
4
3
(18) (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.) 设函数
.
(Ⅰ)求
的最小正周期;
(Ⅱ)若函数的图象按
,
平移后得到函数
的图象,
求
在,上的最大值.
解：(Ⅰ)3
()sin(2)3
2
f x x π
=++()f x 的最小正周期为π； (Ⅱ)3()()sin(2)34
26
g x f x x π
π
=-+
=-+
由[0,]2[,]4
6
63
x x ππππ∈⇒-∈-，()g x 为增函数，所以()g x 在[0,]4
π
上的最
大值为()4
g π
=。

科学睡眠 健康成长
——在国旗下的发言
各位尊敬的老师、各位亲爱的同学：
大家上午好!我是来自预备二班的***。

今天，我非常的荣幸，能在3月21日世界睡眠日这一重要节日即将来临的时刻，和大家共同学习、分享《科学睡眠 健康成长》这一主题内容。

睡眠是人体的一种主动过程，人的一生几乎有3分之1的时间在睡觉中度过。

睡眠是生命所必需的过程，是健康不可缺少的组成部分。

本届冬奥会的18岁天才少女谷爱凌在赛后回答夺冠秘诀时，她说：“从 8 岁到 14 岁，我一直都只有周末才滑雪。

而我能比那些年纪更大、更专业的运动员做的更好的秘密武器，就是每天睡十小时，真的每天睡十小时。

”
可是据世界卫生组织的调查，竟有27%的人存在着睡眠问题，而其中我国在30%以上，高达50%的学生存在睡眠不足的问题。

而“世界睡眠日”的目的便是要引起人们对睡眠重要性的关注，提醒人们要重视睡眠健康。

如今，随着学习、工作压力的增加，失眠已成为人们常见的健康问题。

失眠不仅会影响人的情绪，甚至能影响人的免疫系统，更重要的是，失眠往往是身体潜在某种疾病的外在表现形式之一。

那么，作
为青少年的我们，该如何提高学习效率，留出更多的时间来保障睡眠呢？
首先，要明确当天晚上学习的目标。

学习之前，一定要列个清单出来，这样更便于安排时间，不致于手忙脚乱。

其次，减少学习时的干扰。

学习之前不要上网、看电视、玩游戏等；手机要放在不被打扰的地方。

再次，养成规律运动的习惯，建议每天运动半小时。

适当的运动，对调节睡眠有很大的作用，同时让一整天的精力充沛，保持高效学习状态。

最后，我们应当创造一个良好的睡眠环境，周围的温度、湿度和声音，都应保持在恰当的状态。

至少在睡前三十分钟，远离手机和任何发光的屏幕。

亲爱的同学们：
睡眠给我们一个清醒的头脑
睡眠给我们一个健康的身体
睡眠给我们一个幸福的生活
睡眠给我们一个精彩的世界
让我们做一个聪明的人，养成高效率学习习惯，为充足睡眠保驾护航。

最后借此机会想对全体预备班的同学们说，愿你们拥有良好健康的体魄，稳健坚实的步伐，从容不迫的心态，以梦为马，不负韶华。

祝愿我们所有的老师、同学们从今天起，都有良好的睡眠，美好的心情！拥有一个健康的未来。

今天的分享就到这里，感谢大家的倾听，谢谢！！
2024年3月。