成都市新都一中高级高三数学二月月考试题(理科)

成都市新都一中高2008级二月月考数学试题（理科）
（全卷满分为150分，完成时间120分钟）
一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知:1|32:|＜x p -,0)
3(:＜x x q -,则p 是q 的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D 既不充分也不必要条件 2．定义运算(,)(,)⊗=-a b c d ac bd ，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设α是第四象限角，53sin -
=α，则=+)4
cos(2π
α ( ) A ．57 B ．51 C ．- 57 D.- 5
1
4．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为30x y -=,则它的离心率为：
A B ．
3
C ．
D ．3
5．已知m ,n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题
○1α⊂m ，α//n ，则n m // ②α//m ,β//m ，则βα// ③若n =βα ，n m //，则
α//m ，β//m ； ④ α⊥m ,β⊥m ，则βα// 其中真命题个数为 ( )
A ．O 个
B ．1个
C ．2个 D.3个
6．在等差数列}{n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则1193
1
a a -的值为 ( )
A ．14 B.15 C.16 D.17
7.如图,正方体1AC 的棱长为1,过A 点作平面BD A 1的垂线,垂足为点
H ,则以下命题中，错误的命题是( )
A ．点H 是△BD A 1的垂心
B ．AH 垂直平面11D CB
C ．直线AH 和1BB 所成角为0
45 D. AH 的延长线经过点1C
8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( ) A 24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
9.如果椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离
相等，那么椭圆的离心率的范围是。

A
．1] B
．1,1) C
．1] D
．1,1) 10．已知}{n a 是等差数列，若
110
11
-＜a a 且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时,为( )
A.11 B ．20 C ．19 D ．21
11.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则2
22n n S S x +=，n 2n 3n y S (S S )=+的大小关系是( C )
A ．y x ≥
B ．y x ≤
C ．y x =
D ．不确定 l2．设函数)(|
|1)(R x x x
x f ∈+-
=，区间],[b a M =(a ＜b )，集合
N {y |y f (x),x M}==∈,则使N M =成立的实数对(a ，b )有 ( )
(A)2个 (B)1个 (C)O 个 (D)无数多个 二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 13．若n
x
x )2(-
的展开式中第三项是常数项，则n = 6 ，且这个展开式中各项的系数和为 1
14．在四面体OABC 中，OA ,OB ,OC 两两垂直，且OA =3, OB =3, OC =23，则四面体
OABC 的外接球的体积为
15．已知O 是△ABC 内一点，3-=+，则△AOB 与△AOC 的面积的比值为
1
3
16. 设 :p 4312030312x y x x y +->⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
222(,),:(,,0)x y R q x y r x y R r ∈+>∈>，若非q 是非p 的充
分非必要条件，那么p 是q 的 ，r 的取值范围为 .
二、填空题：请把答案填写在相应的横线上．答案填写在答题卷上
13、 、 ；14、 ；15、 ；16、 、 ；
三、解答题：本小题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C
的对边，已知
tan tan tan 1)+=⋅-A C A C ，且72=
b
，∆=ABC S 求（1）角B ；（2）+a c 的值。

l8．(本小题12分) 2008年奥运会即将在北京举行，为了迎接这次奥运盛会某中学从学生中选出100名优秀学生代表，在举行奥运之前每人至少参加一次社会公益活动，他们参加活动的次数统计如图所示,从100名优秀代表中任选两名 (I)求他们参加活动次数恰好相等的概率， (II)用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

19．(本题12分) 如图(1)在直角梯形ABCP 中，AP BC // BC AB ⊥，AP CD ⊥，2===PD DC AD ,E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面⊥PDC 平面ABCD (如图2) (I)求二面角G EF D 的大小；
(II)在线段PB 上确定一点Q ,使⊥PC 平面ADQ ,并给出证明过程.
20.(本小题12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1a =1，),3,2,1()2(1⋯=+=+n S n na n n ．
(I)求证：数列{
n S n }为等比数列；(II)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S ，并求n x n
S
lim a →∞；
(III)若数列{n b }满足：211=
b ，n
S b n b n
n n +=++11 (n =l ，2，3,…)，求数列{n b }的通项公
式．
21．（本题13分）△ABC 的内切圆与三边AB 、BC 、CA 的切点分别为D 、E 、F
，已知(B C ，内切圆圆心(1,),0I t t ≠，设点A 的轨迹为L （1）求L 的方程（2）过点C 作直线交曲线L 于不同两点M 、N ，问在x 轴上是否存在异于C 点的点Q ，使
||
||
⋅⋅=
QM QC QN QC QM QN 对任意的直线m 成立，若存在，
试求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由。

22．（本小题满分13分）已知ln()
()ln(),[,0),(),-=--∈-=-
x f x ax x x e g x x
其中e 是自然常数，.a R ∈（1）讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值;（2）求证：在（1）的条件下，
1
|()|().2
f x
g x >+
（3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。

新都一中高2008级二月月考数学试题（理科）参考答案
1—12、BDAAB CCBBC CC 。

13、6 ，1 ；14、36π ；15、13 ；16、充分非必要 ，120,5⎛⎤
⎥⎝⎦。

17．解：（1）tan tan tan()(1tan tan )+=+⋅-⋅A C A C A C tan tan tan (1tan tan )∴+=--⋅A C B A C
t a n t a n 3(t a n t a n 1)a n 3+⋅-∴A C A C (0,)3
∈∴=
B B π
π
（2
）1sin ,,623∆∆=
⋅===ABC ABC S ac B B S ac π且。

2227
2cos ,. 2
=+-=b a c ac B b 2227121
()()2(1cos )()24
∴=+-+∴+=a c ac B a c 11
02
+>∴+=
a c a c 18、⑴ 222105040
2
100
C C C 41
P(A B C)P(A)P(B)P(C)99
C ++++=++==
---------6分 ⑵ξ可取的值为0，1，2，则41
P(0)99
ξ==
， 111110
50
50
40
2100
C C C C
50
P(1)99C +ξ==
=
1110
40
2100
C C 8
P(2)99
C ξ===
10分 随机变量ξ的分布列为：---11分 数学期望415082
E 0129999993
ξ=⨯
+⨯+⨯=---12分。

20、解：（I ）将n 1n 1n a S S ++=-代入已知n 1n na (n 2)S +=+，整理得
n n S S
2n 1n
=+(n 1,2,3,)=⋯-4分又由已知
1
S 1，所以数列{n
S n }是首项为1，公比为2的等比数列. ------4分
（II ）由（I ）的结论可得
n 1n
S 2n
-=， ∴n 1n S n 2-=⋅. ---6分当n 2≥时，n 1n 1n a S S ++=-= n 1n 2n 2n 2n 2(n 1)22(2n n 1)(n 1)2----⋅--⋅=-+=+，由已知1a 1=∵∴当n 1=时，n 2(n 1)21-+=
，∴ n 2n a (n 1)2-=+.(n 1,2,3,)=⋯ ---7分 ∴22lim
lim lim 21
11n x x x S n n n n
→∞→∞→∞===++ -----8分
（III ）由
n S b n b n n n +=++11(n 1,2,3,)=⋯，得1
121n n n b b n n
-+=++，由此式可得 2121n n n b b n n --=+-，312212n n n b b n n ---=+--，-----3232232b b -=+，2221221
b b
-=+，把以上各等式相加化简得
111121
22122
n n n b n ---=+=--------11分∴(21)2n n n b =-(n 1,2,3,)=⋯----12分 21、（1）由题知22=-+=-=-CE OE CE CE BE AC AB 根据双曲线定义知，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点()0,1E ，故l 的方程为1
2
2
=-y x （1>x ） （5分）
（2）设点()0,0x Q 、()11,y x M 、()22,y x N ，由（1）可知(
)
0,2C
QM QC cos QM,QC QN QC cos QN,QC QM QC QN QC QM
QN
QM
QN
--→
--→--→--→
--→--→
--→--→
--→
--→
--→--→
--→--→
--→
--→
⋅⋅⋅⋅=
⇒
=
∴NQC MQC ∠=∠cos cos ，∴NQC MQC ∠=∠
（7分）
①当直线MN ⊥x 轴时，点()0,0x Q 在x 轴上任何一点处都能使得NQC MQC ∠=∠成立
②当直线MN 不与x 轴垂直时，设直线MN ：()
2-=x k y
由(22x y 1y k x ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
得
(
)
(
)
0122212
2
22
=+-+-k x k x k ∴1
2212222
2221-=--=
+k k k k x x ，1122221-+=k k x x （9分） ∴()()
()1
2222222
212121-=-+=-++=+k k k x x k x k x k y y 1
QM 10y tan MQC k x x ∠==- 2
QN 20
y tan NQC k x x ∠=-=-
-要使NQC MQC ∠=∠，只需NQC MQC ∠=∠tan tan 成立
即
22
011x x y x x y --
=-，即020211012=-+-y x y x y x y x （11分）
∴()()()
()212121*********x x k x kx x k x x k x x y y +-=-⋅+-⋅=+即
1
212220
2-=-k k
x k k
故220=x 故所求的点Q
的坐标为0⎫⎪⎪⎝⎭时，使QM MC QN NC
QM QN
--→--→--→--→
--→--→⋅⋅=成立 （13分）
22、（1） ()()f x x ln x =---，()1x 1
f 'x 1x x
+=--=-
∴当1-<≤-x e 时，()f 'x 0<，此时()f x 为单调递减当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增∴()x f 的极小值为
()f 11-= （4分）
（2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1，∴()1min =x f 令()()1h x g x 2
=+ ()ln x 1
x
2-=-
+
又 ()()2
ln x 1h 'x x --=，当0<≤-x e 时()0'≤x h ，()x h 在[)0,e -上单调递减∴()()()max
min 1111h x h e 1f x e 222=-=+<+==∴当[)x e,0∈-时，()()1
f x
g x 2
>+（8分）
（3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈，()x
a x f 1
'-= ①当e
a 1-≥时，由于[)0,e x -∈，则()01
'≥-=x
a x f ∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数，∴()()31min
=--=-=ae e f x f ，解得e
e a 1
4-<-=（舍去） （10分）
②当1a e
<-时，则当1
e x a -≤<时，()1
f 'x a 0x =-<此时()()x ax x f --=ln 是减函数
当1
x 0a
<<时，()1f 'x a 0x =->，此时()()x ax x f --=ln 是增函数
∴()min 11f x f 1ln 3a a ⎛⎫⎛⎫
==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得2e a -=由①、②知，存在实数2e a -=，使得当
[)0,e x -∈时()x f 有最小值3（13分）。