湖南省衡阳市八中-度高一数学下学期期中考试

湖南省衡阳市八中高一下学期期中考试高一数学
考生注意：本卷共三道大题，满分100分，考试时间120分钟。

一.选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 240o
的值是( )
A. 21-
B. 2
1
C. 23-
D. 23
2.下列函数中，最小正周期为
2
π
的是( ) A.4sin y x = B.sin cos y x x = C.tan 2
x
y = D.cos 4y x = 3.半径为10cm ，弧长为20cm 的扇形的圆心角为( )
A.︒2
B.2弧度
C.π2弧度
D.10弧度
4.已知在平行四边形ABCD 中，若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AB =u u u r
( )
A.1()2a b →→-
B.1()2b a →→-
C. 12a b →→+
D.1()2
a b →→
+
5.已知向量a =(3, 2),b =(x, 4)，若a 与b 共线,则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-
D.3
8
6.若(2,2)a =-r
，则与a r 垂直的单位向量的坐标为( )
A.cos
4π
π
（，sin ）
4
B.2222（，）
C.
22
22
（-- D.( 1, 1)或(-1,-1)
7.函数)sin(ϕω+=x A y ，（πϕω<>,0）在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为( ) A.)322sin(2π+
=x y B.)3
2sin(2π
+=x y
C.)3
2sin(
2π-=x y D.)3
2sin(2π
-
=x y
8.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，由此定义了正弦（sin α）、余弦
（cos α）、正切（tan α），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（cot x
y
α=）、正割
（1
sec x α=）、余割（1csc y α=）. 则下列关系式错误的是( )
A.cos cot sin ααα=
B.1sec cos αα=
C.1
csc sin αα
= D.22cot csc 1αα-=
二.填空题：本大题共7个小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9.若(2,2),(1,3),2a b a b →
==--=r r r
则 .
10.sin62cos58cos62sin122︒︒+︒︒的值为 .
11.已知a b =r r
，且a r 与b r 的夹角为60︒，则a r 与a b +r r 的夹角为 .
12.函数y =
的定义域是 .
13.已知函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，R x ∈，且2)2010(=f ，则)2011(f 的值为 .
14.35
ABC ,cos ,513
A B C ∆===在中，sin 则cos .
15.给出下列命题： ①函数)22
5sin(
x y -=π
是偶函数； ②函数)4
sin(π
+=x y 在闭区间]2
,2[π
π-
上是增函数； ③直线8
π
=
x 是函数)4
52sin(π
+
=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)3
2cos(π
-
=x y 的图象向左平移
3
π
单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是 .
三.解答题：本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分8分）
已知,αβ为锐角，若43
,cos()55
ααβ=+=-sin ,试求cos β的值.
17.（本小题满分9分）
已知,是同一平面内的两个向量，其中)2,1(=，2
5
||=
且2+与-2垂直，(1)求a b ⋅r r
； (2)求|- |.
18．（本小题满分9分） 已知：2)4
tan(=+
π
α
（1）求αtan 的值； （2）求α
αα2cos 1cos 2sin 2+-的值．
19.（本小题满分9分）
如图，在ABC ∆中，0AB AC =⋅u u u r u u u r
,68==L 为线段BC 的垂直平分线，L 与BC
交与点D ，E 为L 上异于D 的任意一点，
(1)求AD CB ⋅u u u r u u u r
的值。

(2)判断AE CB ⋅u u u r u u u r
的值是否为一个常数，并说明理由。

20.（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B
（1）求+αβ； （2）求tan()αβ-的值.
21. (本小题满分10分)
已知向量),cos ,cos 3(),cos ,(sin x x b x x a =-=设函数()1
2
f x a b =-⋅r r ；
(1)写出函数()f x 的单调递增区间； (2)若x ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,4ππ求函数()x f 的最值及对应的x 的值；- (3)若不等式()1<-m x f 在x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,4ππ恒成立，求实数m 的取值范围.
数学试题答卷（第II 卷）
一、选择题答案表：本大题共8题，每小题3分，共24分
二、填空题答案：本大题共有7小题，每小题3分，满分21分
9、(5,1) 10、0
30 12、 13、6 14、16
65
15①③
三、解答题：本大题共6小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分8分） 已知,αβ为锐角，若43
,cos()55
ααβ=
+=-sin ,试求cos β的值. 34
cos ,sin()55
αβααβ∴=+=
Q 解法1：，为锐角
故:
解法2:联立方程组求解:由43,sin ,cos 55
ααα=
=为锐角得 所以:343
cos()cos cos sin sin cos sin 555
αβαβαβββ+=⨯-⨯=-=- (1)
由(1)知33sin cos 44ββ=+ 再联立 22
sin cos 1ββ+= 可得7cos 1cos 25
ββ=-=或
又,β为锐角 所以7
cos 25β=
解法3: 由 43
,sin ,cos 55
ααα==为锐角得,
此时cos()cos cos()αβαπα+=-=- 而,,αβαβπα+=-为锐角所以
即2,βπα=-所以22
47cos cos(2)cos 22sin 12()1525
βπααα=-=-=-=⨯-=
.
17．（本小题满分9分）
已知a ，b 是同一平面内的两个向量，其中)2,1(=a ，2
5
||=
且b a 2+与b a -2垂直，522,6
6x k x k k z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬
⎭⎩()cos =cos +-=cos
+cos +sin(+)sin βαβααβααβα⎡⎤⎣⎦（）33447
=-+=
555525
⨯⨯
(1) 求a b ⋅r r
； (2)求 |- |。

17.解：⑴∵(2b )a +⊥r u u r (2b)a -r r ∴ (2b)(2)=0a a b +-⋅r r r r
即：222a 320a b b +•-=r r r r 又 22225a 5, b b 4a ====r r r r ∴ 5
2a b ⋅=-r r
（2）解法一：
而] , 0[πθ∈ ∴πθ=
故： |a - b
|=a +b =2r r
解法二：()
2222545
25544a b a b a a b b -=-=-•+=++=r r r r r r r r 18. （本小题满分9分） 已知：2)4
tan(=+
π
α
（1）求αtan 的值； （2）求α
α
α2cos 1cos 2sin 2+-的值．
解：(1) tan(
4π＋α)＝ααtan 1tan 1-+＝2，解得tan α＝3
1。

(2) 61
21tan cos 2cos sin 21
cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=-+-=+-ααααααααααα
19.（本小题满分9分）
如图，在ABC ∆中，0=•,68==L 为线段BC 的垂直平分线，L 与BC 交与点D ，E 为L 上异于点D 的任意一点， (1)求•的值。

(2)判断•的值是否为一个常数，并说明理由。

解法1：（1）由已知可得()
+=
2
1
，-=∴)()(21
-•+=
• =14)3664(212122=-=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-AC AB (2)•的值为一个常数
ΘL 为L 为线段BC 的垂直平分线，L 与BC 交与点D ，E 为L 上异于D 的任意一点，
∴0DE CB =⋅u u u r u u u r ,故:()AE CB AD DE CB AD CB DE CB =+=+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =14AD CB =⋅u u u
r u u u r
解法2：（1）以D 点为原点，BC 所在直线为X 轴，L 所在直线为Y 轴建立直角坐标系，可
5a b cos 1a b
θ-
•===-r r
r r 2
a b ∴-=
r r
求A （
524,57）
，此时)524
,57(--=AD ，),0,10(-= ()724
10()01455
AD CB =-⨯-+-⨯=⋅u u u r u u u r
（2）设E 点坐标为（0，y ）(y ≠0),此时),5
24
,57(--=y
此时()724
10()01455
AE CB y =-⨯-+-⨯=⋅u u u r u u u r (常数)。

20．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位
圆相交于A 、B 两点，已知A 、B
的纵坐标分别为
510
．
（1） 求+αβ ; （2）求tan()αβ-的值；
解：由条件得sin αβ==
αβQ 、为锐角， cos 510
αβ∴==
（1）βαβαβαsin sin cos cos )cos(⨯-⨯=+
2
2
10105510103552=⨯-⨯=
又 βα, 为锐角，所以 ()πβα,0∈+ 故：4
π
βα=
+
(2)由条件可知31tan ,21tan ==βα ∴ 11
tan tan 1
23tan()111tan tan 7
132
αβαβαβ-
--===+⋅+⨯
(21)(本小题满分10分)
已知向量),cos ,cos 3(),cos ,(sin x x x x =-=设函数()1
2
f x a b =-⋅r r ；
(1)写出函数()f x 的单调递增区间； (2)若x ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,4ππ求函数()x f 的最值及对应的x 的值；- (3)若不等式()1<-m x f 在x ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,4ππ恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：（1）由已知得f （x ）=12a b ⋅-r r =x x x 2
cos cos sin 3--12
=
-x 2sin 231cos 2122x +- =12cos 2122x x --=sin(2)16
x π
-- 由 ππ
π
ππ
k x k 22
6
222
+≤
-
≤+-
得：ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
3
6
)(z k ∈
所以f （x ）= 12a b •-r r 的单调递增区间为x ,63k x k k z ππππ⎧⎫
-+≤≤+∈⎨⎬⎭⎩。

（2）由（1）知()sin(2)16f x x π
=-
-，Q x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,4ππ ,所以 65623πππ≤
-≤x 故 当 262π
π
=
-
x 时，即3
π
=
x 时，max ()0f x =
当6562ππ=-x 时，即2
π
=x 时，21)(min -=x f
（3）解法1Θ ()1<-m x f ()1()1f x m f x ⇔-<<+ （x ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,4ππ）； 1)(max ->∴x f m 且1)(min +<x f m 故m 的范围为(-1，
2
1
)。

解法2：()1<-m x f ()11+<<-⇔m x f m ∴,211-<-m 且o m >+1；故m 的范围为(-1，2
1
)。