有限元法的基本思想

有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数在单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。

最后通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的袋鼠方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。

（有限元法分为三类：即位移法、力法、和混合法。

位移求解问题的步骤如下：结构的离散化、单元分析、单元集成、引入约束条件、求解线线方程组，得出节点位移、由节点位移计算单元的应力与应变。

）
节点位移：节点在受力变形过程中，节点位置的改变，分为线位移、角位移。

节点载荷：作用在节点上的外载荷。

单元节点力：单元与节点之间的作用力。

杆件结构划分单元的原则：（1）杆件的焦点一定要取为节点。

（2）阶梯行杆截面变化处一定要取为节点
（3）支撑点和自由端要取为节点
（4）集中载荷处要取为节点
（5）欲求位移的点要取为节点（6）单元长度不要相差太多
弹性力学的几个基本假设：连续性假设、弹性假设、均匀性和各向同性假设、小变形假定、无初应力假设。

弹性力学几个基本概念：1、外力：作用于物体的外力，通常分为表面力和体积力。

面力：分布在物体表面上的外力
体积力：分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比且是各质点位置函数。

内力：弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在。

在选择多项式位移模式的时候考虑的因素：1、单元的完备性和协调性的要求
2、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为N向各项同性。

3、多项式位移模式中的项数必须与单元多项式的项数与单元外节点的自由度相等
弹性力学的典型问题：1、空间问题
2、平面问题：平面应力问题、平面应变问题
平面应力问题的特点：（1）长度尺寸远大于厚度（2）沿板面有平行版面的面力，且
沿厚度均布：体力平行与版面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。

平面应变问题的特点：（1）Z向尺寸远大于X、Y向尺寸，且与Z轴垂直的各个截面尺寸都相同(2)受有平行于横截面(XY平面)且布沿z向变化的外载荷，约束条件沿Z向也不变，即所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。

选择位移模式需满足三个条件：（1）位移模式必须包含单元的刚体位移
（2）位移模式必须包含单元的常应变
（3）位移模式在单元内要连续，且位移在相邻单元之间要协调
节点编号：要尽量使用同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储，提高计算效率。

弹性力学的三大方程：计算题
圣维南原理：把物体一小部分上面力变换为分布不同但静力等效的面力，只影响近处的应力分量，而不影响远处的应力。

弹性力学的平面问题：1、平面应力问题：所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用。

2、平面应变问题：适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。

在适用单元时一般首选三角形单元或等参元，因为三角形单元和等参元适用于任何边界，当边界为曲线时三角形单元用相应的直线近似代替曲线作为三角形单元的一个边。

对于平直边界可选矩形单元，也可以同时选用两种或两种以上的单元，当物体是否是由不同的材料组成时厚度不同或材料不同的部分，应划分成为不同的单元
单位划分原则：1、集中力，集中力偶，分布载荷强度的实变点，分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点；2、划分单元的数目，视要求的计算精度和计算机的性能而定（数目越多，单元数目越多，越接近精确解，但占用计算机内存资源大，求解时间大）3、单元大小，可根据部位的不同而有所不同，一般在应力比较大的，变化较快的，有应力集中的部位需要用较小的单元来划分，在不太重要，应力较小，变化不大的部位可以用较大的单元划分。

平面应力问题在有限元计算的问题：（1）应该保证在受力变形过程中相邻单元的位移在交界边上是相同的、连续的（2）平面问题的单元刚度矩阵本身就是一个连续体问题，不能像杆单元一样直接通过计算得到
三角形单元称为常应变单元：三角形单元把弹性体划分为有限各互不重叠的三角性，在其顶点处相互连接组成一个单元联合体，以代替原来的弹性体，同时将所有作用在单元上的载荷都按照虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷，也是最简单最常用的单元。

三角形三节点单元中各点的应变都相等，各点的应力也相等，故称为常应变常应力单元
形函数的性质（形状函数又称形函数是坐标函数反映单元位移形态）
1、形函数在单位节点上的值具有“本点为1，它点为零的性质”
2、在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1
3、三角形任意一条边上的形函数仅与该边的两个端节点坐标有关，而与另外一个节点的坐
标无关。

整体刚度矩阵的性质：1、整体刚度矩阵【K】中每一列元素的物理意义：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移而其它节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力
2、整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的
3、整体刚度矩阵【K】是一个对称矩阵。

4、整体刚度矩阵是一个带状分布的稀疏矩阵
5、整体刚度矩阵【K】是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后它是正定阵
等效节点载荷。

1、单位刚度矩阵【K】。

中元素aml的物理意义：为单元第l个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第M个节点力分量
2、整体刚度矩阵的性质、特点
1.对称性
2.奇异性
3.稀疏形.
4.主对角性上的元素恒为正
3.叠加法：是把所有单元刚度矩阵中的每一元素按照一定方式叠加到整体刚度矩阵中的对应位置中，从而形成整体刚度矩阵，具体步骤如下：1、将单元刚度矩阵【k】e写成分块形式
2、将整体刚度矩阵写成分块形式
3、叠加形成整体刚度矩阵【k】
有限元求解问题的基本过程：
1、结构的离散化（划分单元、对单元、节点进行编号）
2、单元分析：得到每一个单元的刚度矩阵，并将单元刚度矩阵写成分类形式
3、求出结构的整体刚度矩阵，得到有限元基本方程，得到整体刚度矩阵方法：1、通过建
立平衡方程2、通过叠加法
4、分析结构的边界约束条件，求解有限元基本方程
弹性力的三大方程：1平衡方程2.几何方程3.物理方程
集中力的等效载荷列阵
表面力的等效载荷列阵。