高三理科数学周测试题精编版

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高三周测（理科）
一．选择题：
1. 已知会合 M={x|y=lg （2﹣x）} ，N={y|y=+} ，则（）A．M? N B．N? M C．M=N D．N∈M
2. 已知向量=（ 1， y）， =（﹣ 2，4），若⊥ ，则|2+ |= （）
A．5 B．4 C．3D．2
3. 设，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
4.
（
1 x
﹣log
1 x
）
的零点所在的区间是（）函数 f （ x）= 2 2
A．（0，） B．（，）C．（， 1） D．（ 1，2）
5. 已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ DAB=60°， =3 ，则的值为
（）
A．7B．8 C．9 D ．10
6. 将函数 f （x） =的图象向左平移个单位，再将图象上各点的
横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对于x=对称，则|φ |的最小值为（）
A．B．C．D．
7. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．
8. 设 S n为等差数列 {a n} 的前 n 项的和 a1=1，，则数列的前 2017 项和为（）
A．B．C．D．
9.设 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，给出以下四个命题：①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥ n
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ
③若 m∥α，n∥α，则 m∥n
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
此中正确命题的序号是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
二、填空题（此题共 3 道小题，每题 5 分，共 15 分）
10. 不共线向量，知足，且，则与的夹角为．
11.如图，在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体
的外接球表面积为．
12. 曲线 y=x2与直线 y=x 所围成图形的面积为．
三、解答题（此题共4道小题,每题 10分）
13. 已知函数 f(x)=sin ωx ·cos ω x﹣3
+ 3 cos2ω x( ω＞ 0) 的最小正周期为2
π ．（Ⅰ）求 f （x）的单一递加区间；
（Ⅱ）若 a，b， c 分别为△ ABC的三内角 A，B，C的对边，角 A 是锐角， f （A） =0，a=1， b+c=2，求△ ABC的面积．
14.如图，三棱柱 ABC﹣ A1 B1C1中，侧棱 AA1⊥平面 ABC，△ ABC为等腰直角
三角形，∠ BAC=90°，且 AB=AA1，E、F 分别是 CC1，BC的中点．
（ 1）求证：平面 AB1F⊥平面 AEF；
（ 2）求二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值．
15.如图ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，线段B1C1的中点为D，线段BC的中点为E，线段 CC1的中点为 F．
（ 1）求异面直线 AD、EF 所成角的大
小；（ 2）求三棱锥 D﹣AEF的体积．
16.已知数列 {a n} 知足 a1=1，a n+1=3a n+1（1）证明 {a n+ } 是等比数列，并求 {a n } 的通项公式
（ 2）若 b n=（2n﹣1）（ 2a n+1），求数列 {b n} 的前 n 项和 S n．
试卷答案
【考点】会合的包括关系判断及应用．
【剖析】由题意先化简会合M，N；再确立其关系．
【解答】解：∵会合M={x|y=lg （ 2﹣ x） }= （﹣∞， 2），
N={y|y=+}={0} ，
应选 B．
【考点】向量的模．
【剖析】向量⊥时 ? =0，求出 y 的值，再求 |2 + | 的值．
【解答】解：向量=（ 1， y），=（﹣ 2，4），
且⊥，
因此? =1×（﹣ 2）+4y=0，
解得 y=；
因此 2 + =（2，1）+（﹣ 2，4）=（0，5），
因此|2 + |=5．
应选： A．
【评论】此题考察了平面向量的坐标运算与数目积、模长的应用问题，是基础题目．
3. A
【考点】对数值大小的比较．
【剖析】利用指数函数、对数函数的单一性求解．
【解答】解：∵，＞20160=1，
0=log 20161＞b=＞=，
c=＜=，
∴a＞ b＞ c．
a，b，c 的大小关系为 a＞b＞c．
应选： A．
【评论】此题考察三个数的大小的比较，是基础题，解题时要仔细审题，注意
指数函数、对数函数的单一性的合理运用．
【考点】二分法的定义．
【剖析】依据函数零点的判断条件，即可获得结论．
【解答】解：∵ f （x）=（）x﹣log x，
∴ f （）=﹣log＜0，f（1）=（）1﹣log1＞0，∴在区间（，1）内函数 f （x）存在零点，
应选： C．
【评论】此题主要考察方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决此题的重点．
【考点】平面向量数目积的运算．
【专题】计算题；转变思想；向量法；平面向量及应用．
【剖析】由题意画出图形，把都用表示，则答案可求．
【解答】解：如图，
∵ AB=AD=4，∠ DAB=60°，=3，
∴==
===9．
应选： C．
【评论】此题考察平面向量的数目积运算，是基础的计算题．
【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【剖析】利用函数 y=Asin （ω x+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得 | φ | 的最小值．
【解答】解：将函数 f （x）=的图象向左平移个单位，可得
y= sin[2 （x+）+φ ]=sin （2x++φ）的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），可得y=sin （ x++φ）的图象．
依据所得图象对于x=对称，可得+φ=kπ +，即φ =kπ﹣，
故 | φ | 的最小值为，
应选： B．
【评论】此题主要考察函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
【考点】由三视图求面积、体积．
【剖析】依据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为 2 的直三棱柱，画出几何体的直观图，联合图中数据计算它的表面积即可．
【解答】解：依据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为 2 的直三棱柱，
画出几何体的直观图，如下图，
联合图中数据，计算它的表面积是
S 三棱柱 =2××2×1+2× 2+2×2+2×2=6+8．
应选： C．
【考点】等差数列的性质．
【剖析】利用等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前n 项和公式，求得数列用裂项法进行乞降 {a n} 的通项公式、前n 项公式，可得数列的通项公式，从而用裂项法求得它的前2017 项和．
【解答】解： S n为等差数列 {a n } 的前 n 项的和 a1=1，设公差为 d，
∵=﹣=a1+1008d﹣（a1+1007d）=d，
∴ a n=a1+（n﹣1）d=n，S n=n?1+?1=，
∴==2（﹣），
则数列的前 2017项和为 2[1﹣+﹣+﹣+ +﹣）=2（1 ﹣）=，
应选： A．
【评论】此题主要考察等差数列的性质，等差数列的通项公式以及前 n 项和公式，用裂项法进行乞降，属于中档题．
【考点】空间中直线与平面之间的地点关系；命题的真假判断与应用；空间中
直线与直线之间的地点关系；平面与平面之间的地点关系．
【剖析】依据线面平行性质定理，联合线面垂直的定义，可得①是真命题；依
据面面平行的性质联合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反
例，可得平行于同一个平面的两条直线不必定平行，垂直于同一个平面和两个
平面也不必定平行，可得③④不正确．由此可得此题的答案．
【解答】解：对于①，由于n∥α，因此经过 n 作平面β，使β∩α=l ，可得 n ∥l ，
又由于 m⊥α，l ? α，因此 m⊥ l ，联合 n∥ l 得 m⊥n．由此可得①是真命题；对
于②，由于α∥β且β∥γ，因此α∥γ，联合 m⊥α，可得 m⊥γ，故②是
真命题；
对于③，设直线 m、 n 是位于正方体上底面所在平面内的订交直
线，而平面α 是正方体下底面所在的平面，
则有 m∥α且 n∥α成立，但不可以推出m∥n，故③不正确；
对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个极点的三个
面，则有α⊥γ且β⊥γ，可是α⊥β，推不出α∥β，故④不
正确．综上所述，此中正确命题的序号是①和②应选： A
10.
【考点】 9S：数目积表示两个向量的夹角．
【剖析】设与的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数目积的定
义，求得 cosθ的值，可得θ的值．
【解答】解：设与的夹角为θ，∵不共线向量，知足，且
，则θ∈（ 0，π），
∴（﹣ 2 ） =﹣2=﹣2|| ?| |cos θ =﹣2cosθ =0，∴ cosθ=，∴ θ=，
故答案为：．
11.34 π
【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．
【剖析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再成立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．
【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱锥S﹣ ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面 ABC垂直，
其直观图如下图；
由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4，
成立空间直角坐标系O﹣xyz ，如下图；
则 A（0，﹣ 2，0）， B（4，0，0）， C（ 0， 2，0）， S（ 0， 0，
4），则三棱锥外接球的球心 I 在平面 xOz 上，设 I （x，0，z）；
由得，
，
解得 x=z=；
∴外接球的半径R=|BI|==，
∴该三棱锥外接球的表面积S=4π R2 =4π×=34π ．
故答案为： 34π ．
【评论】此题考察了由三视图求几何体外接球的表面积，解题的重点是判断几
何体的形状及外接球的半径，是综合性题目．
12.
【考点】定积分在求面积中的应用．
【剖析】先依据题意画出地区，而后依照图形获得积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先依据题意画出图形，获得积分上限为1，积分下限为0
直线 y=x 与曲线 y=x2所围图形的面积S=∫0 1（x﹣x2） dx
1 2
﹣）| 1
= ﹣ =
而∫ 0 （x﹣x）dx=（
0 ∴曲边梯形的面积是
故答案为：．
13.
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定
理．
【剖析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数分析式可得 f
（ x） =sin （ 2ω x+），利用周期公式可求ω，可得函数分析式，从而由2kπ﹣≤ 2x+≤ 2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单一递加区间．
（Ⅱ）由，又角 A 是锐角，可求 A 的值，利用余弦定理可求
bc=1，依据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（此题满分为12 分）
解：（Ⅰ）
=，
∴ T==π，从而可求ω=1，
∴ f （ x） =sin （ 2x+）
由 2kπ ﹣≤2x+ ≤2kπ+ ，（ k∈Z），可得：
，
因此 f （x）的单一递加区间为：．
（Ⅱ）∵ f （ A） =0，
∴，又角 A 是锐角，
∴，
∴，即．
又 a=1，b+c=2，
因此 a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，
∴1=4﹣3bc，
∴bc=1．
∴．
14.
【考点】与二面角相关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判断．
【剖析】（ 1）连接 AF，由已知条件推导出头 ABC⊥面 BB1C1C，从而 AF⊥
B1F，由勾股定理得 B1 F⊥EF．由此能证明平面 AB1F⊥平面 AEF．
（2）以 F 为坐标原点， FA， FB分别为 x， y 轴成立直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B1﹣ AE﹣F 的余弦值．
【解答】（ 1）证明：连接 AF，∵ F 是等腰直角三角形△ ABC斜边 BC的中点，∴ AF⊥BC．
又∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1为直三棱
柱，∴面 ABC⊥面 BB1C1 C，
∴ AF⊥面 BB1 C1C，AF⊥B1F．
设 AB=AA1=1，则，EF=，．
∴=，∴ B1F⊥EF．
又 AF∩ EF=F，∴ B1 F⊥平面 AEF．
而 B1F? 面 AB1F，故：平面 AB1F⊥平面 AEF．
（2）解：以 F 为坐标原点， FA，FB分别为 x，y 轴成立直角坐标系如图，
设 AB=AA1=1，
则 F（0，0，0）， A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），
，= （﹣，，1）．
由（ 1）知， B1F⊥平面 AEF，取平面 AEF的法向量：
=（0，，1）．
设平面 B1 AE的法向量为，
由，
取 x=3，得．
设二面角 B1﹣AE﹣F 的大小为θ，
则 cosθ=|cos ＜＞|=||=．
由图可知θ为锐角，
∴所求二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值为．
15.
【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．
【剖析】（ 1）以 A 为原点成立空间坐标系，求出，的坐标，利用向量的
夹角公式得出 AD，EF 的夹角；
（2）证明 AE⊥平面 DEF，求出 AE和 S△DEF，代入体积公式计算．
【解答】解：（ 1）以 A 为坐标原点， AB、 AC、AA1分别为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系．
依题意有 D（2， 2， 4）， A（0，0，0）， E（2，2，0）， F（0，4，2），
因此．
设异面直线 AD、 EF所成角为α，则
==，
因此，
即异面直线 AD、 EF所成角的大小为．
（ 2）∵ AB=AC=4，AB⊥AC，∴，，DE=AA1=4，
∴ S△DEF= =4 ，
由 E 为线段 BC的中点，且 AB=AC，
∴ AE⊥BC，
又 BB1⊥面 ABC，∴ AE⊥
BB1，∴ AE⊥面 BB1 C1C，
∴，
∴三棱锥 D﹣AEF的体积为．
16.
【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式．
【剖析】（ 1）由已知得 a n+1+ =3（a n+），=，从而能证明{a n+} 是首项为，公比为3的等比数列．并能求出{a n}的通项公式．
（ 2）由 b n=（2n﹣1）（ 2a n+1） =（ 2n﹣1）?3n．利用错位相减法能求出数列 {b n} 的前 n 项．
【解答】证明：（ 1）∵数列 {a n} 知足 a1=1， a n+1=3a n+1，
∴a n+1+ =3（ a n+ ），
又=，
∴ {a n+ } 是首项为，公比为3的等比数列．
∴==，
∴ {a n} 的通项公式．
（2） b n=（ 2n﹣1）（ 2a n+1） =（ 2n﹣1）?3n．
∴数列 {b n} 的前 n 项和：
S n=1?3+3?32+5?33++（ 2n﹣1）?3n，①
3S n=1?32+3?33+5?34 ++（ 2n﹣1）?3n+1，②
①﹣②，得：﹣ 2S n=3+2（32+33+34++3n）﹣（ 2n﹣1）?3n+1 =3+2×﹣（2n﹣1）?3n+1
=﹣6﹣（ 2n﹣2）?3n+1，
∴S n=（ n﹣ 1）?3n+1+3．。