江西省鄱阳县第二中学2017-2018学年高二下学期期中考

鄱阳二中2017-2018学年度高二年级下学期期中考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟
总分：150分
出题人：吴琳 2018.04.18
一、选择题(本大题共12个小题,毎小题5分,共60分) 1.已知i 为虚数单位，则复数1
1i
z =
+在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．下列语句中是命题的是( )
A ．梯形是四边形
B ．作直线AB
C ．x 是整数
D ．今天会下雪吗？
3．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题 4. 下列说法中正确的是（ ） A.
时，函数
是增函数，因为
，所以
是增函数，这种推理是合情推理. B. 在平面中，对于三条不同的直线，，，若，
，将此结论放在空间中也是如此，这
种推理是演绎推理. C. 命题：
，
的否定是：
，.
D. 若分类变量与的随机变量的观察值越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 5..已知p:a>2,q:a 2
>4,则p 是q 的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6. 用反证法证明：若整系数一元二次方程
有有理数根，那么、、中至
少有一个偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（ ） A. 假设、、都是偶数 B. 假设、、都不是偶数 C. 假设、、至多有一个偶数 D. 假设、、至多有两个偶数
7.32
()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
319 B ．316 C ．313 D ．3
10
8．“2m =-”是“直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行且不重合”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件 9.有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③
方程x 2
＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个 10.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
-的共轭．．复数是（ ） A ．13i -+ B ．13i + C ．13i - D ．13i --
11.已知命题p:若实数x,y 满足x 2
+y 2
=0,则x,y 全为0;命题q:若a>b,则
b
a 1
1<. 给出下列四个复合命题:①p ∧q;②p ∨q;③⌝p;④⌝q.其中真命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
12．已知函数()2
22x
f x xe ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (],e -∞
B. (],1-∞
C. [),e +∞
D. [)1,+∞ 二、填空题： (本大题共4小题, 每小题5分, 共20分)
13.命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 . 14.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+ (a-1)y=a-7平行且不重合的________条件. （填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”） 15.
=-⎰
4
2dx x _____________．
16.已知函数()sin f x ax x =+的图像在2
π
=
x 处的切线与直线 02=+-y x 平行，则a 的值是 . 三、解答题：(本大题6个小题，共70分)
17.（本小题满分10分）写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)全等三角形一定相似;
(2)末位数字是零的自然数能被5整除.
18.（本小题满分12分）计算：
（1）、)23()89()57(i i i -+--+- （2）、)34)(7()26)(4(i i i i --+-+ （3）、i
i
i i -+++1122
19.（本小题满分12分）已知ab ≠0,求证:a+b=1的充要条件是a 3
+b 3
+ab-a 2
-b 2
=0.
20．（本小题满分12分）
p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；
如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
21. （本小题满分12分）求下列函数的导数：
(1)f (x )＝2x 2＋1x
3－7x
；
(2)f (x )＝cos x sin x
＋log 9x ＋3e x
.
22.（本小题满分12分）已知函数()3
2
392f x x x x =-++-，求：
（1）函数()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间．
高二下学期数学（理）答案及评分参考
一、选择题（5×12=60分）
13.圆的切线到圆心的距离等于半径 14 充要 15 4 16 1 三解答题
17解：(1)逆命题:若两个三角形相似,则它们一定全等.假命题. 否命题:若两个三角形不全等,则它们一定不相似.假命题. 逆否命题:若两个三角形不相似,则它们一定不全等.真命题. (2)逆命题:若一个自然数能被5整除,则它的末位数字是零.假命题. 否命题:若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被5整除.假命题. 逆否命题:若一个自然数不能被5整除,则它的末位数字不是零.真命题. 18解：
（1）)23()89()57(i i i -+--+-=（-7-9+3）+（5+8-2）i=-13+11i . （2）)34)(7()26)(4(i i i i --+-+=(24-8i+6i-22
i )+(28-21i-4i+32
i )=51-27i （3）
i i i i -+++1122+(1)(1)
(1)(1)
i i i i ++-+=2-2i+i=2-i 19 解：证明:必要性: 因为a+b=1, 所以b=1-a. 所以a 3
+b 3
+ab-a 2
-b 2
=a 3
+(1-a)3
+a(1-a)-a 2
-(1-a)2
=a 3
+1-3a+3a 2
-a 3
+a-a 2
-a 2
-1+2a-a 2
=0. 充分性:因为a 3
+b 3
+ab-a 2
-b 2
=0, 即(a+b)(a 2
-ab+b 2
)-(a 2
-ab+b 2
)=0, 所以(a 2
-ab+b 2)(a+b-1)=0. 又因为ab≠0,即a≠0,且b≠0,
所以a 2
-ab+b 2
=(a-2b )2+4
32
b ≠0,只有a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2
=0. 20解 对任意实数x 都有ax
2
＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0
Δ<0
⇔0≤a <4；
关于x 的方程x 2
－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14；如果p 真，且q 假，有0≤a <4，
且a >14
，
∴14<a <4；如果q 真，且p 假，有a <0或a ≥4，且a ≤1
4
，∴a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，4.
21 解：(1)f ′(x )＝(2x 2)′＋(1x
3)′－(7x
)′
＝4x －3x －4－7x
ln7.
(2)f ′(x )＝(cos x sin x )′＋(log 9x )′＋(3e x
)′
＝ cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2
x ＋1x ln9＋3e x
＝
－1sin x ＋
1x ln9
＋3e x . 22: 解：（1）∵()3
2
392f x x x x =-++-
∴()2
369f x x x '=-++， ∴()09f '=， 又()02f =-，
∴函数()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程为()29y x --=，
即920x y --=。

………………6分
（2）由（1）得()()
()()22
369323331f x x x x x x x =-++=---=--+'，
令()0f x '<，解得1x <-或3x >。

∴函数()y f x =的单调递减区间为()(),1,3,-∞-+∞。

………………12分。