【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 第3部分 专题一 第1讲 “12+4”提速专练卷(

“12＋4”提速专练卷(二)
一、选择题
1．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1
z ＝( )
A ．i
B ．1－i
C ．1＋i
D ．－i
解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2
＋i
1－2i ＝
－
1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1
i
＝1－i.
2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2,3) C ．(－2，－1]
D ．[－1,3)
解析：选 D N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}＝{x |x ＋2≥1}＝{x |x ≥－1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <3}．
3．(2013·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选A 逐次计算：S ＝1，k ＝1；S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋23
＝11，k ＝3；S ＝11＋211
，k ＝4.故输出的k 的值为4.
4．函数f (x )＝3x 2
＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．无数个
解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2
－2x ＋1
x
，
由于x >0，g (x )＝6x 2
－2x ＋1中Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立． 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．
5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产
品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、
b 、
c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )
A ．800
B ．1 000
C ．1 200
D ．1 500
解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×1
3
＝1 200.
6．(2013·西安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，则f (－1)＋f (13)＝( )
A ．3
B ．2 C.32
D.12
解析：选B 由图像可知⎩⎪⎨
⎪
⎧
A ＋
B ＝1.5，－A ＋B ＝0.5，
即⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝12，
B ＝1，
T ＝
2πω＝4，所以ω＝π
2
， 所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
x ＋φ
＋1. 又∵f (2)＝1，且(2,1)是“五点作图”中的第三个点， ∴π
2×2＋φ＝(2k ＋1)π，即φ＝2k π，k ∈Z ， ∴f (x )＝12sin π
2x ＋1，
∴f (－1)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1
2
，
f (13)＝12sin 132π＋1＝32
，
∴f (－1)＋f (13)＝12＋3
2
＝2.
7．若a ，b 是互相垂直的两个单位向量，且向量c 满足(c －a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值为( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．1＋ 2
解析：选B (c －a )·(c －b )＝0可整理为c 2
－(a ＋b )·c ＋a ·b ＝0，∵a ·b ＝0，∴c
2
－(a ＋b )·c ＝0.若c ＝0，则|c |＝0；若c ≠0，则c ＝a ＋b ，c 2
＝(a ＋b )2
＝a 2
＋b 2
＝2，∴|c |＝2，即|c |的最大值为 2.
8．(2013·滨州模拟)函数y ＝sin x
x
(x ∈(－π，0)∪(0，π))的图像大致是( )
A B C D
解析：选A 函数为偶函数，所以图像关于y 轴对称，排除B ，C.当x →π时，y ＝
sin x x
→0，故A 正确．
9．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1
a n
，若b 4·b 5＝2，则a 9＝( ) A ．4 B ．8 C ．16
D ．32
解析：选C 设{b n }公比为q ，首项为b 1， ∵b n ＝
a n ＋1
a n
，a 1＝1，b 4b 5＝2， ∴a 9＝a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3
×…×a 9a 8
＝b 1b 2…b 8＝b 8
1q 1＋2＋…＋7
＝b 81q 28＝(b 21q 7)4＝(b 1q 3×b 1q 4)4＝(b 4b 5)
4
＝24
＝16.
10．定义在R 上的函数f (x )是增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|<1的解集为( )
A ．(－1,2)
B ．[3，＋∞)
C ．[2，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)
解析：选A ∵A (0，－1)，B (3,1)是函数f (x )图像上的两点，∴f (0)＝－1，f (3)＝1. 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)． ∵f (x )是定义在R 上的增函数，
∴由单调函数的定义可知，0<x ＋1<3，∴－1<x <2.
11．已知抛物线x 2
＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )
A.34
B.3
2
C ．1
D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1.设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F
为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2.
12．数列{a n }的通项a n ＝n 2
⎝
⎛⎭
⎪⎫
cos
2
n π
3
－sin
2
n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470 B ．490 C ．495 D ．510
解析：选A 注意到a n ＝n 2
cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n
是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2
＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝
(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×
＋2
＋7
2
×10＝470. 二、填空题
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.
答案：38
14．(2013·东莞模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且b ＝3a sin B ，则tan A ＝________.
解析：由b ＝3a sin B 得sin B ＝3sin A sin B ，所以sin A ＝13，cos A ＝223，即tan A
＝2
4
.
答案：
24
15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2－x
－1，x ≤0，x 1
2，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取
值范围是________．
解析：当x ≤0时，由2－x
－1＝1，得x ＝－1；当x >0时，由x ＝1得，x ＝1. 所以由图像可知，－1<m ≤1，即m ∈(－1,1]． 答案：(－1,1]
16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22
＝1＋3 32
＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 (23)
＝3＋5 33
＝7＋9＋11 43
＝13＋15＋17＋19 …
根据上述分解规律，若m 2
＝1＋3＋5＋…＋11，p 3
的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.
解析：由22
＝1＋3,32
＝1＋3＋5,42
＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2
＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2
＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53
＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53
的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.
答案：11。