广东省梅县东山中学高三数学中段考试题(文科)

广东省梅县东山中学2007-2008学年度高三数学中段考试题（文科）
（考查内容：平面向量、解三角形、导数）
一.选择题.(本题共计10小题，每小题5分，共计50分) 1、化简0sin 600的值是（ ）
A ．0.5
B ．0.5-
C ．
2 D ．2
- 2、函数)6
52cos(3π
-=x y 的最小正周期是（ ）
A ．
52π B ．2
5π C ．π2 D ．π5 3、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )
A 667
B 668
C 669
D 670
4、 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）
A.1:2:3
B.3:2:1
C.
D.2
5、下列求导运算正确的是 ( )
A ．(x+211)1x
x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1
x
C ．(3x )′=3x log 3e
D ． (x 2cosx)′=-2xsinx 6、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2）
7、设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）
A ．030
B ．060
C ．075
D ．045
8、已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°，那么| a + 3 | = ( )
A 7
B 10
C 13
D 4
9、 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
二、填空题（本题共计4小题，每小题5分，共计20分）
11、若(,1),(2,4)a x b ==，且a b ⊥，则x =__________。

12、已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为__________。

13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 、 .
14、已知向量()2cos ,2sin a αα=，()3cos ,3sin b ββ=，其夹角为60°,则直线
1cos sin 02x y αα-+
=与圆()2
21(cos )sin 2
x y ββ---=的位置关系是
三、解答题（本题共计6小题，共计80分）
15、(本小题满分12分) 已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，
且a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及ABC S ∆
16、(本小题满分14分) 已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？
（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？
17、(本小题满分12分)设函数32()33f x x ax bx =-+的图象与直线1210x y +-=相
切于点(1,11)-。

（1）求a 、b 的值. （2）讨论函数()f x 的单调性
18、（本小题满分14分）已知)cos 3,(sin x x a =
，)cos ,(cos x x b = ，b a x f ⋅=)(
（1）若b a
⊥，求x 的解集； （2）求)(x f 的周期及单调增区间．
19、(本小题满分14分)设函数232()cos 4sin cos 43422
x x
f x x t t t t =--++-+，x R ∈,
其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t .
（1）求()g t 的表达式； （2）讨论()g t 在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
20、(本小题满分14分) 设{}n n S a n 是数列的前项和,
对任意**,1(0,1),,,n n n N S qa q q m k N m k ∈=+>≠∈≠且。

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)试比较m k S +与221
()2
m k S S +的大小；
(3)当222111m k
m k
q S S S +>+时,试比较
与
的大小
广东省梅县东山中学2007-2008学年中段考高三
数学（文科）试题参考答案
（平面向量、解三角形、导数）
答题纸
一、选择题：（共10题，每题5分，共50分）
二、填空题：（共4题，每题5分，共20分） 11、 2- 12、
3
π
13、 3 17- 14、 相离
三、解答题。

（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、(本小题12分) 解：由余弦定理可得：
b 2＝a 2＋
c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·33·2·(-2
3
)＝49． ∴ b ＝7，
S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝2
33．
16、(本小题14分)
解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
（1）()ka b +⊥(3)a b -，
得()ka b +(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-= 解得：19k =
（2）()//ka b +(3)a b -，
得4(3)10(22),k k --=+ 解得：1
3
k =- 此时1041
(,)(10,4)333
ka b +=-=--，所以方向相反。

17、(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）∵2
()363f x x ax b '=-+
由已知可知(1)12f '=-⇒3631225a b a b -+=-⇒-= ①
又(1)11133114f a b a b =-⇒-+=-⇒-= ②
由①②可求得1a =，3b =-
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()369f x x x '=--
2()036903f x x x x '>⇒-->⇒>或1x <- 2()0369013f x x x x '<⇒--<⇒-<< ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞上为增函数 ()f x 在()1,3-上为减函数
18、（本小题14分）
解：（1）b a ⊥， 0=⋅∴b a ． b a
⋅∴x x x 2cos 3cos sin +⋅=
2
3
2cos 232sin 21+
+=
x x 02332sin =+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=πx
πππ
k x 23432+=+∴ 或 ππ
πk x 2332+-=+ ππ
k x +=
∴2
或 ππ
k +-
3
∴所求解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+-+=Z k k k x x ,32ππππ或
（2）b a x f ⋅=)(2332sin +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx
ππ
==
∴2
2T x x f sin )(= 的增区间为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-22,22ππππk k
2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-∴k x k
12
125π
πππ+≤≤-
∴k x k ∴原函数增区间为]12
,125[π
πππ+-k k ()Z k ∈
19、(本小题14分)
解：（I ）2
32()cos 4sin cos 43422
x x
f x x t t t t =--++-+ 2
3
2
sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 2
2
3
sin 2sin 433x t x t t t =-++-+
23(sin )433x t t t =-+-+．
由于2
(s i n )0x t -≥，1t ≤，故当s i n
x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3
()433g t t t =-+．
（II ）我们有2
()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：
由此可见，()g t 在区间112⎛
⎫--
⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，单调递减，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
．
20、（14分)解(1)当n=1时,11111
1,
1,1a S qa q a q
==+≠∴=
- 11111
n n n n n n n q
a S S qa qa a a q ++++=-=-⇒=
- {}1
1,11
1()11
n n n q a q q q a q q -∴--∴=
⋅--数列是以首项公比为的等比数列
(2)由(1)得11(
)1n n n q S qa q =+=-- ， 令1
q
t q =- 222211()(1)(1)(1)22m k m k
m k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣
⎦ 22211()2()022m k m k
m k t t t t ++⎡⎤=-=->⎣
⎦ 故221
()2
m k m k S S S +>
+
(3)1,1,1
q
q t q >=
>-时2222,,10,10,10m k m k m k m k t t t t t +≠∴≠-<-<-<
22221111()()m
k m k S S S S ⎛⎫∴-+=-+-> ⎪
⎝⎭
=
222222220(1)(1)()11m k m k m k m k t t t t t t ++<--=-++<-
2(1)m k t +=-
222
11
(1)(1)(1)
m k m k t t t +∴
>---
221122
1m k
m k m k S S t S ++⎛⎫∴-+>==- ⎪-⎝⎭
22211
m k
m k
S S S +∴
>
+。