高中数学人教A版第二章知识点总结梳理

新教材人教A版2019版数学必修第一册
第二章知识点清单
目录
第二章一元二次函数、方程和不等式
2. 1 等式性质与不等式性质
2. 2 基本不等式
2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章一元二次函数、方程和不等式
2. 1 等式性质与不等式性质
一、不等关系
1. 在现实世界和日常生活中，既存在着相等关系，又存在着大量的不等关系，不等关系常用不等式表示.
四、比较实数(代数式)的大小
1. 比较实数(代数式)大小的方法
1. 利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围，可以避免错误.
2. 利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体求解，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解.
六、利用不等式性质证明不等式 
1. 利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质适用的前提条件.
2. 2 基本不等式
一、两个重要不等式
1. 已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2√P .
2. 已知x ，y 是正数，如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值S 2
4.
3. 运用以上结论求最值要注意下列三个条件： (1)一正：要求各数均为正数； (2)二定：要求和或积为定值；
(3)三相等：要保证具备等号成立的条件. 4. 设a>0，b>0，则有21a +
1b
≤√ab ≤
a+b 2
≤√
a 2+
b 22
(当且仅当a=b 时取等号)，
即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 三、应用基本不等式求最大(小)值 1. 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正：各项必须都是正值.
若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最大(小)值；若各项都是负数，则可以提取负号，化为正数后用基本不等式求最大(小)值；若有些项是正数，有些项是负数，则不可以用基本不等式求最大(小)值. (2)二定：各项之和或各项之积为定值.
利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的方法技巧如下：
①拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件；
②并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
③配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否成立，若等号不成立，则不能用基本不等式求最大(小)值.
四、利用基本不等式求有附加条件的最大(小)值
1. 求含有附加条件的最大(小)值问题，常见的方法是分析条件与结论的运算结构，选用不同的不等式求解：倒数和选用调和平均数、积选用几何平均数、和选用算术平均数、平方和选用平方平均数，并根据调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，利用合适的不等式求解最值.
2. 换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1
y 的最小值”和“已
知a x +b
y
=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.
五、用基本不等式证明不等式 
(1)利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. 证明不等式常用的变形技巧有：
①拆分、配凑：将所要证明的不等式先拆分成几部分，再利用基本不等式证明.
②常值代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子，将“常值”代入后再利用基本不等式证明.
(2)多次运用基本不等式时，需要注意两点：一是不等号方向要一致，二是等号要能同时取到.
2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、一元二次不等式的概念
1. 一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.
2. 一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a，b，c均为常数，且a≠0).
二、“三个二次”的关系
1. “三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ=b 24ac Δ>0Δ=0Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 
ax2+bx+c=0(a>0) 的根有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数
根x1=x2=b
2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集{x|x<x1，或x>x2} {x|x≠b
2a
} R
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2} ⌀⌀
三、含参数的一元二次不等式的解法
1. 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论
熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础，所以应当熟记形如ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式. 解含参数的“一元二次不等式”时，一般需对参数进行分类讨论，何时进行讨论，如何分类是解这类题的难点. 根据运算的需要，分以下几种情况：
(1)关于不等式类型的讨论. 当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论. 当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论.
四、三个“二次”之间的关系 
1. 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来解决.
(2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题.
2. 应用三个“二次”之间关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根. 在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
五、一元二次不等式有关的恒(能)成立问题
1. 解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法
(1)对于一元二次不等式有关的恒(能)成立问题，可借助二次函数的图象求解，必要时可通过分离参数，转化为最大(小)值求解. 一般地，已知范围的是变量，待求范围的是参数.
(2)一元二次不等式恒成立问题，可结合二次函数图象从二次项系数与判别式两个方面列不等式求解，恒大于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数在给定的范围内的图象全部在x轴下方.
六、不等式的实际应用
解一元二次不等式、基本不等式有关的应用题的关键在于构造不等式或函数模型，选择其中起关键作用的未知量作为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列
出不等关系或函数关系，通过解不等式或利用基本不等式求最值得到实际问题的解.。