高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》经典测试题及答案解析

新数学复习题《平面向量》专题解析
一、选择题
1．已知向量(sin ,cos )a αα=r
，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r
r
，则1tan 2
α=
B ．若a b ⊥r
r
，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r
r 取得最大值，则1tan 2
α= D ．||a b -r
r 1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r
取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2
k k Z π
αϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1
tan 2
α=
，则C 正确.
D 选项，||a b -=
=r r
的最大值为
1=，选项D 正确.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u
r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||36
22||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r
，P 是线段BN 上的一点，若15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
则实数m 的值为（ ）
A ．
35
B ．
25
C ．
1415
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，以AB u u u r ，AC u u u
r 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】
由题意，设()
NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以，()
()113
AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 又15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
所以，
1135λ-=，且m λ=，解得2
5
m λ==. 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
4．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
5．在平行四边形OABC 中，2OA =
，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ） A
．2+B
．3+
C
．5+D
．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得24+3221,12
AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，
又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以22333333,,(2)()13222
AD DB OB =⨯
==∴=++=, 所以
7
2cos 13213
BOA ∠==
, 所以
1327213
OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为32cos023⨯⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．已知向量a r 与向量b r
满足||2a =r ，||2b =r ||||5a b a b +⋅-=r r r r
，则向量a r
与向
量b r
的夹角为( )
A ．
4π或
34
π B ．6π或56π
C ．3π或23π
D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】
设向量a r ，b r
的夹角为θ，则2||1282a b θ+=+r r ，2||1282a b θ-=-r r ，即可
求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】
解：设向量a r ，b r
的夹角为θ，222||||||2||||cos 4882a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r 1282θ=+，222||||||2||||cos 48821282a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r r
，所以
2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，2
1cos 2
θ∴=，因为[0,)θπ∈，故
4
π
θ=
或
34
π
，故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
7．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r
方向上的投影为( )
A ．165
-
B ．
165
C ．1613
-
D ．
1613
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出16a b r r
⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r
r 可得
【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r
，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r
，
则向量a r 在b r
方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r
r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r
的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为
cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r
r
8．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）
A ．1162DF A
B A
C =--u u u r u u u r u u u r B ．1134
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
C ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r
D ．1126
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
设AB AF λ=u u u r u u u r
，由平行四边形法则得出144
AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理
得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r
，即可得出答案. 【详解】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444
AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u u
r u u u r r u u u r u u u r
因为C E F 、、三点共线，则
1
=144
λ
+
，=3λ 所以1111132262
DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
故选：A
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
9．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交
AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r
在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r
，然后套用公式
向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又因为EF BC ⊥，
所以()
22111()()()12222
AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=
-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r .
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
10．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r
恒
成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A
．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B
．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C
．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
D
．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1
cos1202
AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，
由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即2210k kt t -+->，构造函数2
2
()1f k k tk t =-+-， 由题意，(
)
2
2
410t t ∆--<=，
解得3t <-
或3
t >
. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
11．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
12．平面向量a →与b →
的夹角为π3
，()2,0a →
=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．3
B 6
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ，
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，
|2|2a b ∴-=r r
，
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
13．已知平面向量a v ,b v
的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则
DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．134-
B ．
54
C ．5
D ．
154
【答案】B 【解析】 【分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r
，再
根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角
坐标系，
则1,12E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .
故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
15．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．23
-
B ．43-
C ．83
-
D ．2-
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r
，
则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ）
＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ）
1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223
AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
16．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=
，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．229
B ．229-
C ．169
D ．89- 【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果．
【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v . ∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u v u u u v 82423cos 993
π=-+-⋅⋅⋅ 229
=. 故选A ．
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
17．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC
=u u u v u u u v （ ） A ．1
B
．2 C
．2 D
．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v 可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．
【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC ⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以AB BC =uu u v uu u v 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
18．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α= C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2
α=
D ．||a b -r r
1 【答案】B
【解析】
【分析】 A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.
【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，
22k π
αϕπ+=+，22k π
ϕπα=+-，
tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα
⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.
D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时a =r ，,a b r r 反向.故选项D 正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF
MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122F F c ==
∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，
∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2
222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足
(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ） A 35 B 25 C 6 D 6【答案】A
【解析】 【分析】 根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r .再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】 在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB AOB
OAB =∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=
即2OAB π
∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22⎝⎭
所以22OA =⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r 则)222,022OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= 则22
22222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
()()2
2322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
所以当95λ=
时, min OP ==u u u r 故选:A
【点睛】 本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。