2023-2024学年江苏省南京市秦淮外国语学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程是一元二次方程的是( )A. B. C. D.
2.如图，在
中，弧
弧AC ，
，则
的度数为2023-2024学年江苏省南京市秦淮外国语学校九年级（上）月考数
学试卷（10月份）
( )
A. B.
C.
D. 3.如图，矩形ABCD 的对角线交于点若
，
，则
下列结论错误的是( )A. B. C. D. 4.点O 是的外心，若
，则的度数为( )
A.
B.
C.
或
D.
或
5.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根
，
若
，
则m 的值是( )A. 2
B. C. 2或
D. 不存在
6.如图，AC 是直径，，
，点D 是弦AB 上的一个动点，
那么
的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.已知的半径，点P和圆心O之间的距离为d，且d是关于x的一元二次方程
的实数根，则点P在__________填“内”“上”“外”
8.如图，AB、AC、BC都是的弦，，，垂足分别为M、
N，若，则BC的长为__________.
9.用配方法将方程变形为的形式为__________.
10.已知已知a、b实数且满足，则的值为__________.
11.已知等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程的两个根，则底角的正弦值是
__________.
12.一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是28L，则每次倒出的液体是多少？设每次倒出的液体x L，可列方程为
__________.
13.如图，点A，B，C，D在上，点O在的内部，四边形OABC为平行四边形，则
__________
14.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则
等于__________.
15.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点若的半径为5，点A的坐标是则点D的坐标是__________.
16.如图，已知的半径是2，点A，B在上，且，动点C
在上运动不与A，B重合，点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD
的长度最大值是__________.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。

17.解方程：
；
18.计算：
四、解答题：本题共9小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.本小题8分
定理证明：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．
20.本小题8分
如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的交PB于点A，点C在上，连接PC，满足
求证：PC是的切线；
若，求的值.
21.本小题8分
某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000公斤，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000公斤，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率．22.本小题8分
如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为
求拱桥的半径；
有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？
23.本小题8分
已知：，是关于x的一元二次方程的两个实数根，一等腰三角形ABC
的一边长为若，恰好是另外两边的长，求这个三角形的周长.
24.本小题8分
如图，在海岸边相距12km的两个观测站A、B，同时观测到一货船C的方位角分别为北偏东和北偏
西，该货船向正北航行，与此同时A观测站处派出一快艇以的速度沿北偏东方向追赶货
船送上一批货物，正好在D处追上货船，求快艇追赶的时间．参考数据：，，
25.本小题8分
如图，
中，
，BD 是中线，
的平分线交BD 于点O ，
与AC 相切于点
求证：AB 是的切线；
若
，
，求
的半径．
26.本小题8分
如图1，AB 是O 的一条弦，点C 是优弧AmB 上一点．
若，点P 是上一点不与重合，则__________；如图2，若点P 是弦AB 与
ˆ所围成的弓形区域不含弦AB 与
ˆ内一点．求证：
；
请在图3中直接用阴影部分表示出在弦AB 与
ˆ所围成的弓形区域内满足
的点P 所在的范围．
在
的条件下，以PB 为边，向右作等腰直角三角形PBQ ，连结AQ ，如图4，已知，
①当点Q在线段AB的延长线上时，线段AQ的长为__________
②线段AQ的最小值为__________
27.本小题8分
【操作体验】
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得，如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作，交l于，；
所以图中，即为所求的点．
在图②中，连接，，说明；
【方法迁移】
如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得，不写做法，保留作图痕迹
【深入探究】
已知矩形ABCD，，P为AD边上的点，若满足的点P恰有两个，则m 的取值范围为__________.
已知矩形ABCD，，，P为矩形ABCD内一点，且，若点P绕点A逆时针旋转到点Q，则PQ的最小值为__________.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：方程整理，得，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆周角定理，根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等得出，利用三角形内角和定理求解即可.
解：中，，
，
又，
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
根据矩形的性质得出，，，，，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：A、四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
由三角形内角和定理得：，故本选项不符合题意；
B、在中，，即，故本选项不符合题意；
C、在中，，即，故本选项符合题意；
D、四边形ABCD是矩形，
，
，
在中，，故本选项不符合题意.
4.【答案】C
【解析】解：如图所示：是的外心，，
，，
故的度数为：或
故选：
利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数．
此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的概念以及根的判别式，先根据根与系数的关系可得出，，结合，再由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式，解之得出m的取值范围，即可求出m的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
解得，
该方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且，
故选
6.【答案】C
【解析】解：作，于E，于M，连接
，
，
在中，，
，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为OM，
，
，
在中，
，，
，
的最小值为，
故选：
作，于E，于M，连接在中，，则
，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为
本题考查平行的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
7.【答案】外
【解析】解：一元二次方程可化为，
舍去，，
的半径为，，
点P在圆外．
故答案为：外．
先求出一元二次方程的实数根，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
8.【答案】2
【解析】解：，，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，
，，
，
，
，
故答案为：
根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出BC即可．
本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．9.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
故答案为：
将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】4
【解析】设，则原方程变形为，解得或舍去的值为
11.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、分类讨论的数学思想.
先求出一元二次方程的解，再分两种情况讨论：当等腰三角形的底边为6，高为4时，当等腰三角形的底边为4，高为6时，分别求出斜边的长，然后根据正弦的定义，即可求解.
【解答】
解：，
，
，，
当等腰三角形的底边为6，高为4时，
斜边为，
底角的正弦值为，
当等腰三角形的底边为4，高为6时，
斜边为，
底角的正弦值为，
底角的正弦值为或
故答案为或
12.【答案】
【解析】解：设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为，
依题意得：
故答案为：
设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】60
【解析】解：四边形OABC为平行四边形，
，，
四边形ABCD是圆的内接四边形，
又，
，
解得，，
故答案为：
利用四边形OABC为平行四边形，可得，，利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得利用同弧所对的圆周角和圆心角可得
，求出，进而即可得解．
本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长为1，
过C作于F，
由勾股定理得：，，，
由三角形面积公式得：，
，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：
设小正方形的边长为1，过C作于F，根据勾股定理求出AB、AC，根据三角形面积公式求出CF，根据勾股定理求出AF，解直角三角形求出即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，难度适中．
15.【答案】
【解析】解：设与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则轴，轴，
，
四边形PEOF是矩形，
，
四边形PEOF为正方形，
，
，
，
，
四边形OACB为矩形，
，，，，
，
四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
设与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF 为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．
16.【答案】
【解析】解：如图1，连接OC，取OB的中点E，连接
则
在中，DE是的中位线，
，
，
即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，
求AD的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值，
如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，
，，，
，，
取最大值为，
故答案为：
取OB中点E得DE是的中位线，知，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与上的点的距离的最大值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的圆．
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，；
【小题2】
，
，
，即，
，
，
【解析】
利用直接开平方法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：原式
【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
此题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
19.【答案】解：已知：点A，B，C在上，
求证：；
证明：在图①中，，
，
又，
；
在图②中，作直径BD，同①可得，，
则；
在图③中，作直径
同理，，
【解析】分”圆周角的一边过圆心“、”圆心在圆周角的内部“、”圆心在圆周角的外部“3种情况，分别结合图①、②、③证明上述结论．
本题考查了圆周角定理的证明，以及等腰三角形的性质，正确进行分类讨论是关键．
20.【答案】【小题1】
解：证明：连接OC，
，
，
，
在和中，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小题2】
，
，，，
，
，
由知，∽，
【解析】
本题考查三角形相似的判定与性质，切线的判定与性质，以及圆周角定理．
由得，可证得∽，根据相似三角形的性质得，
根据圆周角定理得，则，由得，可得
，即，即可得出结论；
由可得，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质即可得出的值．
21.【答案】解：设今年平均亩产量的增长率为x，
根据题意得：，
解得：，舍去
答：平均亩产量的增长率为
【解析】设今年平均亩产量的增长率为根据增长后的产量=增长前的产量增长率，设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．
本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．22.【答案】【小题1】
解：如图，设O为弧AB所在圆的圆心，连接OD、OB，则点C、D、O共线，
，
为AB中点，
，
又，
设，则
在中，根据勾股定理得：，
解得，
所以拱桥的半径为；
【小题2】
船舱顶部为长方形并高出水面，
如图，，过点E作，交弧AB于点M、N，连接ON，
，
，
，
在中，，
此货船能不顺利通过这座拱桥．
【解析】
此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
设O为弧AB所在圆的圆心，连接OD、OB，则点C、D、O共线，根据垂径定理和勾股定理求解；
过点E作，交弧AB于点M、N，连接ON，OB，通过求距离水面米高处，即ED长为
米时，MN的长与货船的宽度5米做比较来判定货船能否通过大于5则能通过，MN小于等于5则不能通过根据中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
23.【答案】解：，恰好是另外两边的边长，而等腰的一边长为7，
当7是腰时，必是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
若，则，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为
综上所述，这个三角形的周长为
【解析】分类讨论：若时，把代入方程得，解得，
，当时，由根与系数的关系得，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为
；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，属于拔高题．
24.【答案】解：延长DC交AB于E，那么
直角三角形ACE中，，，
在直角三角形CEB中，，，
，
，
直角三角形ADE中，，，
因此快艇追赶的时间应该是小时．
【解析】延长DC交AB于E，那么，CE为直角和的公共直角边，可用CE表示出AE和EB，然后根据AB的长来求出CE的长，进而求得AE的长，那么就能在直角中，根据三角函数求出AD的长，即可求出时间．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】【小题1】
证明：如图，过点O作，垂足为F，
是的切线，
，
为的平分线，
，即OF是的半径，
与相切；
【小题2】
解：中，，
，，
，
是中线，
，
，
即，
，，
，
，
解得：
即的半径为
【解析】
过点O作，垂足为F，根据角平分线的性质可得出，继而可得出结论；
根据，可得出的半径．
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出BA是的切线是解此题的关键．26.【答案】【小题1】
或
【小题2】
证明：如下图2所示，延长AP交于点Q，连接
则，
为的一个外角，
，
即
【小题3】
点P所在的范围如下图3所示，
【小题4】
4
【解析】
解：如图1所示，
根据题意可分两种情况，
第一种情况，当点P在时，
可知，；
第二种情况，当点P在时，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故答案为：或
根据题意可知，存在两种情况，针对两种情况，可以画出相应的图形，由题目中的信息和同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，可以分别求得两种情况下的度数，本题得以解决．
根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决．
根据题意和第问，可以画出满足的点P所在的范围，本题得以解决．
①如图中，当点Q在AB的延长线上时，连接
，
，
，
，，
，
，
故答案为
②如图中，连接PA，设PQ交于T，连接AT，
，
，
是的直径，
，，
，
以BT为底边向右作等腰，，
，
点Q的运动轨迹是以K为圆心KT为半径的圆，作交AB的延长线于M，连接则
，，
，
，
，
的最小值为
故答案为
①画出图形证明是等腰直角三角形即可解决问题．
②如图中，连接PA，设PQ交于T，连接AT，以BT为底边向右作等腰，则
，由，推出点Q的运动轨迹是以K为圆心KT为半径的圆，作
交AB的延长线于M，连接AK，求出AK，KQ，利用三边关系即可解决问题．
本题考查圆的综合题、同弧所对的圆周角的关系、圆内接四边形对角的关系、三角形的外角和内角的关系，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问
题．
27.【答案】【小题1】
，
是等边三角形，
，
由图②得：；
【小题2】
如图，
①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，
②作BC的中垂线，连接EC，交于O，
③以O为圆心，OE为半径作圆，
则上所有的点不包括E、F两点即为所求；
【小题3】
【小题4】
【解析】
本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．
先根据等边三角形得：，则根据圆周角定理可得：；
先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作的外接圆，可得圆心角，则所对的圆周角都是；
先确定，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件；
如图④，同理作，
，
，
的半径为，即，
，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
先确定，根据圆周角定理正确画出，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ 的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．
如图⑤，构建，使，
在优弧上取一点H，则
，
由旋转得：是等腰直角三角形，
，
取最小值时，就是AP取最小值，
当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，
在中，，，
，
，
故答案为：。