广东省惠州一中高三数学2月份联考试卷(理)

惠州一中2009届高三2月份联考试卷
数 学 试 题（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）
1．复数()2
21i z i
+=
-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2． 函数2sin(22
y x π
=+
是（ ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
( )
（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） 4. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若
E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是（ ）
(A)6π (B) 4π
(C) 3π (D) 2
π
5.两个正数a 、b 的等差中项是9
2
，一个等比中项是且,b a >则双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的离心率为（
）
A ．
53
B ．
4
C ．
54
D ．
5
6.已知 {}()(){}:4;:230p A x x a q x x x =-<-->，且非p 是非q 的充分条件，
则a 的取值范围为（ ）
2009.02.13
A.16a -<<
B.16a -≤≤
C.16a a <-或>
D.16a a ≤-≥或
7．若实数,x y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩, 目标函数2z x y =-，则（ ）
A ．max 52
z =
B ．max 1z =-
C ．max 2z =
D ．min 0z =
8．已知函数()32R f x x x =-∈，．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若x 1≤244，则继续赋值21()x f x =，…，以此类推，若x ≤244，则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*(N )n ∈．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围是（ ） A ．65(33]k k --，
B ．65(3131]k k --++，
C ．56(3131]k k --++，
D ．45(3131]k k --++，
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 9. 已知0t >，若()021d 6t
x x -=⎰，则t = 。

10. 若数据123,,,,n x x x x 的平均数为5，方差为2，则数据1231,31,x x ++
331,,31n x x ++的平均数为 （2分）
，方差为 （3分）。

11．已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . 12. 对于n 个向量23
,,n a a a a 1,若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k 使得:
22330n n k a k a k a k a ++++=11成立，则称向量23
,,n a a a a 1是线性相关的。

按
此规定，能使向量23(,0),(,),(2,2)a a a ==-=1111是线性相关的实数为123,,k k k ，则134k k += 。

13.极坐标系下，直线cos()14
π
ρθ+
=
与圆ρ=_______．
14．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=
的最大值是 。

15．如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ，DC 的延长线交
于点P ， 若PA=4，PC=5，则CBD ∠= ______.
三、解答题（本部分共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
★（请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分。

） 16．（本小题满分12分）
已知向量(cos ,sin )a αα=, (cos ,sin )b ββ=, 25
||a b -=. （Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02
π
α<<
, 0,2
π
β-
<<且5
sin 13
β=-
, 求sin α. 17．（本小题满分12分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19、110、1
11
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分布列. 18．（本小题满分14分）
设椭圆:C )0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为e =22
,点A 是椭圆上的一点,且点A 到
椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；
（2）椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1
143y x -的取值范围.
B
19、（本小题满分14分）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B
（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E —DF —C 的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论.
20．（本小题满分14分） 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图6所示的数表：
设ij a （i 、j ∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i 行、 从左往右数第j 个数. 数表中第i 行共有1
2-i 个正整数.
（1）若ij a ＝2010，求i 、j 的值；
（2）记nn n a a a a A ++++= 332211∈n (N*),
试比较n A 与2
n n +的大小, 并说明理由.
21. （本小题满分14分） 已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
1 2 3 4 5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
…………………………
20题图
A B C D E
F
A B C
D E F
惠州一中2009届高三2月份联考试卷
数 学 试 题（理科）评分标准
6、解析：()()61,3
4,,3,2,4,4_
_
≤≤-∴⎩⎨
⎧≥+∴⊆=+-=a a B A B a a A ，选B ；
二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 9、解析：
36|)12(202
=⇒=-=-=-⎰t t t x x
dx x t t
或2-=t （舍去）
，故3=t 10、16（2分），18 （3分） 11、22(1)10x y +-= 12、0 13、2 14、306
π
或
11、解：抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，2
2
2
2
(032)3105r --=+
=，圆C 的方程为22
(1)10x y +-=. 14、解析：a b c ++=
2
2
2
++
=
()222
222
111
3
⎡⎤++⋅++⎢⎥⎣⎦
∴a b c ++≥
2
3
，∴1≥
2
3
≤
三．解答题（本部分共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
a (cos ,sin )αα=,
b (cos ,sin )ββ=,
()a b cos cos sin sin αβαβ∴-=--，. ……………2分
a b -=
………3分 即 ()422c o s 5
αβ--=, ………5分 ()3
c o s 5
αβ∴-=. ……………6分
（Ⅱ）
0,0,02
2
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<-<, ……………7分
()3cos 5αβ-=
, 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12
cos 13
β=…………9分
()()()sin sin sin cos cos sin 11ααββαββαββ⎡⎤∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦分
4123533
51351365
⎛⎫=⋅+⋅-=
⎪⎝⎭. ……………12分 17．（本小题满分12分）
解：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k =1，2，3. 由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P （A 1）=19，P （A 2）=110，P （A 3）=1
11
. （1）该单位一年内获赔的概率为
1-P (1A 2A 3A )=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-891039101111
⨯
⨯=. （5分） （2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分） P (ξ=0)=P (1A 2A 3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=89108
9101111
⨯
⨯=， （7分） P (ξ=9000)=P (A 12A 3A )+P (1A A 23A )+P (1A 2A A 3)
=P (A 1)P (2A )P (3A )+P (1A )P (A 2)P (3A )+P (1A )P (2A )P (A 3) =
191081108912421191011910119101199045
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， （8分）
P (ξ=18000)=P (A 1A 23A )+P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3)
=P (A 1)P (A 2)P (3A )+P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3) =
1110191811273910119101191011990110
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， （9分） P (ξ=27000)=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=1111
91011990
⨯⨯=. （10分） 综上知，ξ的分布列为
（12分）
18.(本小题满分14分)
解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= …… 2分 ∵2
2
=
=
a c e , ∴2,222=-==
c a b c . …… 4分
∴所求椭圆C 的方程为12
42
2=+y x . …… 6分 （2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222
,1210101
01
0x x y y x x y y ……8分
解得：001435y x x -=
，00
1345
y x y +=. ……10分 ∴011543x y x -=-. ……12分
∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12
42
2=+y x 上,
∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x .
∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. ……14分
19、解：法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，
又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .
（II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角
∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD
取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角…………6分
在Rt △EMN 中，EM =1，MN =2
3
∴tan ∠MNE =23，cos ∠MNE =7
21
………………………8分
（Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ……………………10分 证明如下：在线段BC 上取点P 。

使BC BP 3
1
=
，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ∵3
3
231=
=
DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ=30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE ………………………………14分
法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E ……4分 平面CDF 的法向量为)2,0,0(=设平面EDF 的法向量为),,(z y x =
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
即)3,3,3(0303-=⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+z y y x 取 721|
|||,cos =
>=
<n DA 所以二面角E —DF —C 的余弦值为7
21
…8分 A
B
C
D
E F
M
N
P
Q
y
x
（Ⅲ）在平面坐标系xDy 中，直线BC 的方程为323+-=x y 设)2,332,(),0,332,(--=-x x x x P 则
BC BP x DE AP DE AP 3
1
340=⇔=
⇔=⋅⇔⊥∴…………………12分 所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE …………………………14分 另解：设3
3
2023),0,,(=
∴=-=
⋅y y DE AP y x P 则 又)0,32,(),0,,2(y x y x --=-= …………………………12分
323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x
把BC BP x y 3
1
,34332=∴==
代入上式得所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE 20.（本小题满分14分）
解：（1）数表中前n 行共有122
2211
2
-=++++-n n 个数，
即第i 行的第一个数是1
2
-i ， …… 2分
∴ij a ＝121
-+-j i ．
∵1110
220102
<<，ij a ＝2010，
∴ i ＝11． …… 4分 令201012
10
=-+j ,
解得98712201010=+-=j ． …… 6分 （2）∵nn n a a a a A ++++= 332211
()
()[]1210222112-+++++++++=-n n
()2
112-+
-=n n n ． …… 7分 ∴()2232)(2112)(222
++-=+--+-=+-n n n n n n n n A n
n
n ． 当1=n 时, 2
2
322++<n n n
, 则n n A n +<2;
当2=n 时, 2
2
322++<n n n
, 则n n A n +<2;
当3=n 时, 2
2
322++<n n n
, 则n n A n +<2;
当4≥n 时, 猜想: 2
2
322++>n n n
. …… 11分
下面用数学归纳法证明猜想正确.
① 当4=n 时,2243416224
+⨯+>=, 即2
2322++>n n n
成立;
② 假设当()4≥=k k n 时, 猜想成立, 即2
2
322++>k k k
,
则232
2
32222221
++=++⨯>⨯=+k k k k k
k ,
∵
()()()()02
122654622213123222
2
>-+=---++=++++-++k k k k k k k k k k
,
∴()()2
21312
2
1
++++>+k k k .
即当1+=k n 时，猜想也正确.
由①、②得当4≥n 时, 2
2
322++>n n n
成立.
当4≥n 时,2n A n >n +. …… 13分
综上所述, 当3,2,1=n 时, n n A n +<2; 当4≥n 时,2n A n >n +. …… 14分
另法( 证明当4≥n 时, 2
2
322++>n n n
可用下面的方法):
当4≥n 时, ()>+=n
n 112C 0n + C 1n + C 2n + C 3
n
()()()621211--+-+
+=n n n n n n
()6
2
3211⨯⨯+-++≥n n n n 2
2
32++=n n .
21. (本小题满分14分) 解：（1）当3-=a 时，()333
123
+--=
x x x x f ， ∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .
令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. …… 2分
当1-<x 时,()0'>x f , 则()x f 在()1,-∞-上单调递增; 当31<<-x 时,()0'<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减; 当3>x 时,()0'>x f , ()x f 在()+∞,3上单调递增.…… 4分 ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3
1433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273
1
3+--⨯=f 6-=.…… 6分 （2） ∵ ()x f '= a x x +-22
，
∴△= a 44-= ()a -14 . ① 若a ≥1，则△≤0， …… 7分 ∴()x f '≥0在R 上恒成立，
∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,
∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点．…… 9分 ② 若a ＜1，则△＞0，
∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2，（x 1<x 2）． ∴x 1+x 2 = 2，x 1x 2 = a ．
当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况如下表：
…… 11分
∵02121=+-a x x , ∴1212x x a +-=.
∴()a ax x x x f -+-=
1213
1131 =12
112131231x x ax x x -++-
()13
1231x a x -+=
()[]
233
12
11-+=a x x .
同理()2x f ()[]
233
1222-+=
a x x . ∴()()()[]()[]
2323912
2212121-+⋅-+=⋅a x a x x x x f x f
()()()()
()[
]
2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){
}
22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a (
)
339
4
2+-=a a a . 令f （x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0．
而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f ,
故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点.…… 13分
综上所述，a 的取值范围是()+∞,0． …… 14分。