【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练1 Word版含解析
2017步步高考前3个月 理科数学(通用版)技巧规范篇 第2篇 看细则、用模板、解题再规范 (word)
[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x －π6).(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积.评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给1分. 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值.解 (1)f (x )＝32－32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin(2x －π6)＋32. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z ).(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12， ∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”). ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AH⊥平面DEF.证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF . 4分∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD ，∴EF ∥平面P AD . 6分 (2)∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴P A ⊥底面ABCD .∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥P A .∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt △ABH ≌Rt △ADE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，则DE ⊥AH . 8分 ∵P A ⊂平面P AH ，AH ⊂平面P AH ，P A ∩AH ＝A ，[找线线的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、系的性质寻找线线平行或线线垂直[找线面行，利用判定定理，找线面垂直或平行；性质找线面垂直或平行[找面面定理，寻找面面垂直或平行[写步骤件规范书写解题步骤评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM，给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD，同样给分；(2)第(2)问，证明P A⊥底面ABCD时缺少1个条件扣1分；证明DE⊥AH时，只要指明点E，F分别为正方形边AB、BC中点，得DE⊥AH，不扣分；证明DE ⊥平面P AH ，只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥P A ，P A ∩AH ＝A ，缺少其他条件不扣分. 变式训练2 (2015·北京)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点.(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积.(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为3 3.模板3空间角的计算例3(12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，CD＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值.则A (22，0，0)，D (0，0，1)，B (0，22，0)，E (0，22，1)， AB →＝(－22，22，0)，BE →＝(0，0，1)，AD →＝(－22，0，1)，DE →＝(0，22，0). 6分 设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝－22x 1＋z 1＝0，n 1·DE →＝22y 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1，0，22).设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝－22x 2＋22y 2＝0，n 2·BE →＝z 2＝0，令x 2＝1，得n 2＝(1，1，0). 10分 ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝132＝26，∴平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为26. 12分 方向向量或平面的法向量[求夹角的夹角[得结论两个平面所成的角或直线和平面所成的角评分细则 (1)第(1)问中证明CD ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分；证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分.(2)第(2)问中，建系给1分； 两个法向量求出1个给2分； 没有最后结论扣1分； 法向量取其他形式同样给分.变式训练3 如图，四边形ABCD 是菱形，ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD .AB ＝2AF ＝2，∠BAD ＝60°，点G 是BE 的中点.(1)证明：CG ∥平面BDF ； (2)求二面角E －BF －D 的余弦值.(1)证明 设AC ∩BD ＝O ，BF 的中点为H ，连接GH .∵G 是BE 的中点，GH ∥EF ∥AC ，GH ＝12AC ＝OC ，∴四边形OCGH 是平行四边形. ∴CG ∥OH ，又∵CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， CG ∥平面BDF .(2)解 设EF 的中点为N ，AC ∩BD ＝O ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，ON ⊂平面ACEF ， ∴ON ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴以点O 为原点，OB 所在直线为x 轴， OC 所在直线为y 轴，ON 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系.∵AB ＝2，AF ＝1，∠BAD ＝60°，∴B (1，0，0)，C (0，3，0)，F (0，－3，1)，E (0，3，1)，D (－1，0，0)， DB →＝(2，0，0)，BF →＝(－1，－3，1)，EF →＝(0，－23，0)， 设平面BEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BDF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF →＝0，n 1·BF →＝0⇒⎩⎨⎧－23y 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，n 1＝(1，0，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DB →＝0，n 2·BF →＝0⇒⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2－3y 2＋z 2＝0⇒n 2＝(0，1，3)，设二面角E －BF －D 的大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|32×2|＝64.∴二面角E －BF －D 的余弦值为64. 模板4 离散型随机变量的分布列例4 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法.目前，国内青蒿人工种植发展迅速.调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值.评分细则 第(1)问得分点，①列出空气湿度相同的全部情况给2分；②计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分.第(2)问得分点，①列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；②计算概率时3个式子给1分；分布列正确给1分.变式训练4 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值. 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ， 则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1，2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.模板5 数列的通项与求和例5 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；(3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分.变式训练5 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围. 解 (1)a 21＝S 1＝a 1， ∵a 1≠0，∴a 1＝1. ∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3， ∴(1＋d )2＝3＋3d ， 解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去， ∴d ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可.∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可.∵2n －8n随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21).模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (12分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.评分细则 (1)第(1)问，无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分； (2)第(2)问，求|OQ ||OP |时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；(3)第(2)问中，无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；(4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；(5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分.变式训练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22). (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)， 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)， 故△OPQ 面积的取值范围为(0，1).模板7圆锥曲线中的探索性问题例7(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.评分细则 第(1)问得分点①求出t 的值，得1分，列出关于t 的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分.第(2)问得分点①写出直线l 1在y 轴上的截距得2分；②得出直线AE 过定点得3分，只考虑当y 20≠4，且得出此时直线AE 过定点，只能得2分，只考虑当y 20＝4，且得出此时直线AE 过定点，只能得1分；③求出|AE |的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分；④正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分.变式训练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4，0)，过点R (3，0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值.模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.评分细则(1)函数求导正确即给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围给2分.变式训练8已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0，1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值.解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0，1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0，1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对任意x∈(0，1)，有f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)e x，g′(x)＝(－2ax＋1－a)e x.①当a＝0时，g′(x)＝e x>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈(0，1)，有g ′(x )＝－2x e x <0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.a .若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0，1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b .若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝122e aa a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板9 导数与函数零点、 不等式问题例9 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围.评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分；(3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分；(6)其他方法构造函数同样给分.变式训练9 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R ).(1)设b ＝2－a ，求f (x )的零点的个数；(2)设a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小.解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x(x >0). ①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数， 在(12，＋∞)上为增函数，又f (12)＝1－a 4＋ln 2， ∴当0≤a ＜4(1＋ln 2)时，函数f (x )没有零点；当a ＝4(1＋ln 2)时，函数f (x )有一个零点；当a >4(1＋ln 2)时，函数f (x )有两个零点.②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上递减， 在(12，－1a )上递增，在(－1a，＋∞)上递减，又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点. 当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上递减，f (x )有一个零点.当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上递减，在(－1a ，12)上递增，在(12，＋∞)上递减，f (x )只有一个零点.综上，0≤a ＜4(1＋ln 2)时无零点；a <0或a ＝4(1＋ln 2)时有一个零点；a >4(1＋ln 2)时有两个零点.(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4x x， 令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0， 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0，即ln a <－2b .。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理.
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( ×)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．( ×)(3)函数y＝log2x及13log＝3y x都是对数函数．( ×)(4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ×)(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √)(6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √)1．(2015·湖南改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则有关f(x)的性质判断正确的是________．(填序号)①奇函数，且在(0,1)上是增函数；②奇函数，且在(0,1)上是减函数；③偶函数，且在(0,1)上是增函数；④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案①解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．2．已知1213113log log232＝，＝，＝，a b c则a，b，c的大小关系为________．答案a>b>c解析131131,0log log2log log3023322＝＝＝1，＝＝－，a b c><<<故a>b>c.3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案4 33解析23loglog3log3log3222222244－－＋＝＋＝＋a a＝3＋33＝4 33.5．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，log a34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确． (2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则________． ①x 1x 2<0 ②x 1x 2＝1 ③x 1x 2>1④0<x 1x 2<1答案 (1)② (2)④解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②. (2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则0lg()111＝－－，x x 0lg()221＝－，x x 因此()00lg 21121－1＝，x x x x 因为000211－1，x x <所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，④正确． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log ()0－，，x x <若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，212log log a a >或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log ()log ()2－－，a a >解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，12log ＝，b π c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知log 3.4log 3.6log 0.3155()5243＝，＝，＝，a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)33310log log 0.3log 0.331()55.5－＝＝＝c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555.∴>>即324log 0.3log 3.4log 3.615()55，>>故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________(填序号)．答案 ②解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.①中，y ＝3－x＝(13)x 在R 上为减函数，错误；②中，y ＝x 3符合；③中，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； ④中，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12＝e ，z -则x ，y ，z 的大小关系为____________． 答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e>14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)22log 24log 24122－＝＝⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21log 2412.24＝＝ 4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0) 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2) 1.5－＋＝－ 6．函数f (x )＝log 2x(2x )的最小值为________．答案 －14 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_________________________． 答案 (1,2] 解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a≤2. 9．已知函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数212log ()＝－＋y x ax a 是由函数12log ＝y t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数12log ＝y t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又因为函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a2，22－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，a ≤22＋1，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23. 14．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132,- 此时f (x )取得最小值时，1332(2)＝x --＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，[]321()2,82＝＝，x - 符合题意，∴a ＝12.。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题10数学思想方.doc
第46练数形结合思想［思想方法解读］数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数Z间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象來直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合就是根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，乂揭示其儿何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起來，关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的儿何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其儿何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学屮的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.常考题型精析题型一数形结合在方程根的个数中的应用例1方程smnx=l的解的个数是 .点评利用数形结合求方程解应注意两点⑴讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意采用数形结合.——―仗 xW0变式训练1若函数./(x)=］xT '''有且只有两个不同的零点，则实数&的取.lnx, x>0值范围是题型二利用数形结合解决不等式参数问题例2设函数/(X)=Q+P-©和g(x)岭+1,已知%e[-4,0]时，恒有/(x)Wg(x),求实数G的取值范围.点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 (或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练2若存在正数x使2x(x~a)<\成立，则d的収值范围是_________________ .题型三利用数形结合求最值例3 (2014-北京)已知圆C：(X-3)2+O~4)2 =1 和两点 /(一加,0), B(m, 0)(加>0),若圆C上存在点使得Z4PB=90。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题2不等式与线.doc
第5练如何让“线性规划”不失分［题型分析•高考展望］“线性规划”也是高考每年必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、屮档.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.常考题型精析题型一已知约束条件，求目标函数的最值兀，例1若变量X,，满足约束条件｛x+yW1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为加和m 护一1,贝!I tn—n= ______ .点评(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.x~y— 1 WO,变式训练1 (2014•山东改编)已知x,尹满足约束条件、当目标函数z=ax+y—3N0,"(CO, QO)在该约朿条件下収到最小值2诉时，a2+b2的最小值为 _____________ •题型二解决参数问题x+2y—4W0,例2 (2014-浙江)当实数满足｛x—p—1W0, 时，15+応4恒成立，则实数。
的Q1取值范围是________ .点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论.xW 1,变式训练2已知不等式组lx+y+2^0,表示的平面区域为其中丘2(),则当。
的面Jcc—y^O积取得最小值时，丘的值为________ .题型三简单线性规划的综合应用yW3x —2,例3设变量x, y 满足约束条件2y+】W0,则lg （j ；+l ）—lgr 的取值范围为 ______ .、2x+尹 W8,点评 若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划 的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变 量的取值范围，解决具体问题.X — 120, 变式训练3 （2015-课标全国I ）若兀，y 满足约束条件牡一応0，则三的最大值为4W0,_______ ■高考题型精练x —尹 W0,1. （2015-北京改编）若兀，丿满足x+yWl, 则z=x+2y 的最大值为 _________ .、兀 $0,兀一2. （2015-安徽改编）已知x, y 满足约束条件*+尹一4冬0,则z=~2x+y 的最大值是庐1，x+yN 1,3.（2014-课标全国I 改编）不等式组 一 的解集记为D 有下面四个命题: 、x —2yW4其中的真命题是3(x, y)^D, x+2尹 32； V(x, y)WD,x+2yW3；B(x, y)WD,x+2尹 W — 1.P3： Pi- V(x, y)^D 9x+2y^ — 2； P2：x+y^294.（2015-淮安联考）已知O是坐标原点，点力（一1, 1）,若点M（x, y）为平面区域XI，[W2x+y—2W0,5.（2015-重庆改编）若不等式组*+2丁一220, 表示的平面区域为三角形，且其面积等于务y+2〃&0贝H m的值为 _________________________________________________________________ .2x—尹+1>0,6.设关于x、y的不等式组*+曲0, 表示的平面区域内存在点P（x。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣9 Word版含解析
回扣9 概率与统计牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n )．④方差与标准差：方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(4)八组公式①离散型随机变量的概率分布的两个性质 Ⅰ.p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式V (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差V (X ). ⑤方差的性质 Ⅰ.V (aX ＋b )＝a 2V (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则V (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (r )＝C r n p r (1－p )n －r. ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ).1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是________法．答案分层抽样解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法．2．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)为实数的概率是________．答案1 6解析投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，记作(m，n)，共有6×6＝36(种)结果．(m＋n i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，应满足m＝n，有6种情况，所以所求概率为636＝16.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为________．答案3 10解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．答案 23解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P 2＝1－13＝23. 5．花园小区内有一块三边长分别是5 m ，5 m ，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是__________． 答案 1－π6解析 如图所示，分别以三角形ABC 的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC 的边交于D ，E ，M ，N ，Q ，P .由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5，底边长为6的等腰三角形． 底边AB 上的高为h ＝52－32＝4， 故△ABC 的面积S ＝12×6×4＝12.而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2 m ”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC 除去以三个顶点为圆心，2为半径的扇形部分． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以三个扇形的面积之和为12π×22＝2π.故阴影部分的面积S ′＝S －2π＝12－2π.所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m ”的概率为P 1＝S ′S ＝12－2π12＝1－π6.6．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________． 答案 1－π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0， 整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2， 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 7．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________． 答案 18解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20(种)，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数为A 25－2＝20－2＝18. 8．甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为________．答案 0解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.9．在区间[1,5]和[2,4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________． 答案1532解析 当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示 ，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10．将某班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________． 答案 13解析 系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11．某班有学生60人，现将所有学生按1,2,3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a,28，b,52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a,28，b,52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40，∴a ＋b ＝56. 12．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”． 其中属于互斥事件的是________．(把你认为正确的事件的序号都填上) 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件．13．某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，求X的概率分布和均值．解(1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A1、B1，设事件E表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P(E)＝P(A1·B1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A、B、C，则P(A)＝0.5×0.4＝0.2，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.5×0.4＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，则X可能取0,1,2,3.P(X＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P(X＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416，P(X＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012，P(X＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124.故X的概率分布为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练8 Word版含解析
锁定70分”专项练81．设集合A ＝{x |12<x <3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B ＝________.答案 {x |12<x <2}2．(2016·课标全国乙改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. 答案2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2. 3．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则綈p 为________________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>04．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝________. 答案 －1解析 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f (52)＝f (－12＋3)＝f (－12)＝4×(－12)2－2＝－1.5．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，且函数f (x )的部分图象如图所示，则f (－3π4)，f (－5π3)，f (7π6)的大小关系为________．答案 f (5π3)<f (－3π4)<f (7π6)解析 由题意T ＝43(5π6－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，又∵2×π12＋φ＝π2，解得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(2x ＋π3)，由图象知f (x )的一个减区间是(π12，7π12)，一个增区间是(7π12，13π12)，f (－3π4)＝f (π4)，f (5π3)＝f (2π3)＝f (2×7π12－2π3)＝f (π2)， f (7π6)＝f (π6)，π12<π6<π4<π2<7π12， 所以f (π6)>f (π4)>f (π2)，即f (7π6)＞f (－3π4)＞f (5π3)．6．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值为________．答案 0.018解析 依题意，0.054×10＋10x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018. 7．(2016·四川改编)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.8．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是________． 答案 78解析 如图，当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P —ABC <12V S —ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝V S —ABC －V S —EFG V S —ABC ＝1－(12)3＝78.9．函数y ＝|log 2x |－(12)x 的零点个数是________．答案 2解析 令y ＝|log 2x |－(12)x ＝0，即|log 2x |＝(12)x ，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝(12)x 的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．10．(2x 2＋x －1)5的展开式中，x 3的系数为__________．(用数字填写答案) 答案 －30解析 因为(2x 2＋x －1)5＝(2x －1)5(x ＋1)5，所以x 3的系数为C 2523·1－C 3522·C 45＋C 4521·C 35－C 5520·C25＝－30. 11．如果执行下面的程序框图，那么输出的S ＝________.答案 2解析 开始i ＝0，S ＝2，判断i <4？是，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13，判断i <4？是，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12，判断i <4？是，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3，判断i <4？是，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2，判断i <4？否，输出2，所以答案为2.12．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要不充分条件．13．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2 ，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 答案2－1解析 设点P 在x 轴上方，则依题意，P 点的坐标为(c ，b 2a )．因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以b 2a ＝2c ，b 2＝2ac ，即a 2－c 2＝2ac ，两边除以a 2得1－e 2＝2e ， 解得e ＝2－1(e ＝－2－1舍去)．14．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是________． 答案 (－72，－1)解析 本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx －1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)>0，0<－1k ≤1，解得－72<k <－1.。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题4三角函数与.doc
第19练平面向量中的线性问题［题型分析•高考展望］平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和儿何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2015•课标全国I改编)设Z)为△MC所在平面内一点，BC=3CD,则下列结论正确的是________.点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时，才能得岀三点共线.⑶04=XOB+fiOC^，“为实数)，若力、B、C三点共线，则久+“=1.变式训练1 (1)(2015・杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，^AD=XAB+kAC,则2+k= _______________ .(2)在梯形ABCD 4*，AB//CD. AB=2CD, M, N 分别为CD 的中点，^AB=kAM+i.iAN.贝IJ 久+“= _______ .题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015-江苏)已知向量a=(2,1), 6=(1, -2),若ma+nb=(9f一8)(加,用R),则加~n的值为 ________ (2)平面内给定三个向量a=(3,2), ft=(-l,2), c=(4,l),请解答下列问题:①求满足a=mb+nc的实数tn, n；②若(a+kc)//(2b~a),求实数広③若d 满足(d-c)//(a+b)f且\d~c\=yj5f求d.点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(X], pi), b=(X2,旳)，则a//b的充要条件是X"—兀少1=0;②若a〃方(aHO),则b=Xa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2 (1)(2014-湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，J(-1,O), 3(0,迈)，C(3,0),动点D满足\CD\=],则|鬲+丽+场|的最大值是______________ ⑵已知向量04=(3, -4), 08=(6,一3), 0C=(5~m,一3—加)，若点、A、B、C 能构成三角形，则实数加满足的条件是高考题型精练1. （2015-四川改编）设向量a=（2,4）与向量b=（x,6）共线，则实数.2. （2015•安徽改编）/\ABC 是边长为2的等边三角形，己知向量a, b 满足乔=2a, AC=2a+b. 则下列结论正确的是 ________ .① |^| = 1； ②a 丄@ab=l;④（4a+b ）丄記 3. （2015•常州调研）已知 /（一3,0）, 3（0,2）,。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题8概率与统计.doc
（2）几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题 . 在转化中，面积
问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式（或其他简单不等式）组表示区
域.
几何概型的试验中事件 A 的概率 Pg）只与其所表示的区域的几何度量 （长度、面积或体积） 有关，
而与区域的位置和形状无关 .
变式训练 2 （1）（ 2015?湖北改编）在区间 ［0,1］上随机取两个数兀，”记刃为事件 “x+yW*
的概率， ）如图，在边长为
?P I<2< P2的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分 ,
据此估计阴影部分的面积为
题型二几何概型问题 ［底応 2 表示的平面区域为°在区域°内随机取一个点，则此点 到坐标原点的 距离大于 2 的概率是
例 2 （1）设不等式组 （2）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯 . 这两串彩灯的第一次 闪亮相互独立，且都在
通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同 时通 电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 点评 （ 1）几何概型并不限于向平面（或 直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多 个等可能的基本结果，每个基本结果可以 用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基 本结果对应于一个区域 0,这时，与试验有关 的问题即可利用几何概型来解决 .
点评求解古典槪型问题的三个步骤 (1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件 4 ⑵分别计算基本事件的总数舁和所求事件力所包含的基本事件的个数九
(3)利用古典概型的概率公式 P⑷=晋求出事件 / 的概率 . 若直接求解比较困难，则可以利用间 接的
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣8 Word版含解析
回扣8计数原理1．分类计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)．2．分步计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝C r n an －r b r. 6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项112n T -＋的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112n T -＋和112n T +＋的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．(2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系． (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b.1．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个． 答案 18解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个．2．某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为________． 答案 3,5解析 设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男、女生人数分别为3、5.3．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有________种． 答案 150解析 先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法有25×6＝150(种)．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种． 答案 420解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方案，若选出的3位教师是2男1女，则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方案，所以共有180＋240＝420(种)不同的选派方案．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于________． 答案 1解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种． 答案 720解析 A 47－A 45＝720(种)．8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为________．答案 420解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方案有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方案有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种)方案．9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析 T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12. 10．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为________． 答案 120解析 圆上任意三点都不共线， 因此有三角形C 310＝120(个)．11．一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种． 答案 36解析 可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求把6个空位分为1,1,2,2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6(种)，所以不同的坐法共有6×6＝36(种)．12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种． 答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种)．13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 答案 24解析 依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种)，所以实验的编排方法共有24种．14．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________． 答案 288解析 从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A 23＝6(种)，先排3个奇数，有A 33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A 24＝12(种)．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种)．若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288.。
2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分 抢分周计划 第7周 Word版含答案
周练14+4·锁定128分强化训练(7)【强化训练】锁定128分强化训练(7)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.设复数z=-1+i，则|z|=.2.已知集合A={0，m，2}，B={x|x3-4x=0}，若A=B，则m=.10，|a-b|=6，则a·b=.3.设向量a，b满足|a+b|=4.根据给出的流程图，计算f(-1)+f(2)=.(第4题)5.有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边构成直角三角形的概率是.6.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为.(第6题)7.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，则当a<0时，不等式f(x)>0的解集为.8.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为.9.设变量x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.10.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，且△ABC的面积为3，则AC的长为.11. 已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有n n S T =314n +，则33a b = .12. 已知函数f (x )=|||lg |020x x x x >⎧⎨≤⎩，，，，则函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是 .13. 已知圆O ：x 2+y 2=1，点C 为直线l ：2x+y-2=0上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 .14. 已知正实数a ，b ，c 满足1a +1b =1，1ab +1bc +1ca =1，则实数c 的取值范围是 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，设向量m=(3cos A，sin A)，n=(cos B，-3sin B)，其中A，B为△ABC的两个内角.(1) 若m⊥n，求证：C为直角；(2) 若m∥n，求证：B为锐角.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°.(1) 求证：BC⊥平面PAB；(2) 求证：AD∥平面PBC.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC=π6.(1) 若13AE的长；(2) 设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2+2y2=4.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.【强化训练答案】锁定128分强化训练(7)一、填空题1.22.-2【解析】由题知B={0，-2，2}，A={0，m，2}，若A=B，则m=-2.3. 1【解析】由条件可得(a+b)2=10，(a-b)2=6，两式相减得4a·b=4，所以a·b=1.4.0【解析】输入-1，满足x≤0，所以f(-1)=4×(-1)=-4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)=22=4，即f(-1)+f(2)=0.5.14【解析】从四条线段中任取三条，共有4种不同的取法，三条线段能构成直角三角形的是3，4，5，故所求事件的概率为P=14.6. 12【解析】第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4=50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36=18，故第三组中有疗效的人数为18-6=12.7.10-a⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由(ax2+x)e x>0，得ax2+x>0，所以x(ax+1)>0.因为a<0，所以x1xa⎛⎫+⎪⎝⎭<0，所以0<x<-1a.8. 339【解析】正三棱锥的高h=225-(23)=13，底面积S=34×62=93，故体积V=13×93×13=339.9.2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z=x+y，得y=-x+z.平移直线y=-x+z经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.(第9题)10.13【解析】因为△ABC的面积S=12×AB×BC×sin B=12×AB×1×32=3，所以AB=4.由余弦定理得AC2=1+16-2×1×4×cosπ3=13，所以AC=13，即AC的长为13.11. 9【解析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，t，取n=1，2，3可知a1=b1，q=9，t=3，所以33ab=2qt⎛⎫⎪⎝⎭=9.12. 5【解析】方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12或1，作出y=f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.(第12题)13.85⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意分析可知以C为圆心，1为半径的圆与已知圆O相交，设直线l上任意一点C(x0，2-2x0)，则OC<2，所以2200(2-2)x x+<2，整理得52x-8x0<0，所以0<x0<85.14. 413⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】方法一：因为1a ∈(0，1)，1b ∈(0，1)，所以可设1a =cos 2α，1b =sin 2απ02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.由1ab +1bc +1ca =1，易得1c =1-14sin 22α∈314⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，所以1<c ≤43.方法二：由题意可得a+b=ab=-1c c ，又a ，b ，c 为正数，所以-1cc >0，c>1.因为ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1c c ≤214-1c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1cc ≥4，解得1<c ≤43.二、 解答题 15. (1) 由题意得m ·n(cos A cos B-sin A sin B )=cos(A+B )，因为m ⊥n ，所以m ·n =0，即cos(A+B )=cos π2.因为0<A+B<π，且函数y=cos x 在(0，π)内是单调减函数，所以A+B=π2，即C 为直角.(2) 因为m ∥n ，cos A (-sin B )-sin A cos B=0，即sin A cos B+3cos A sin B=0. 因为A ，B 是三角形内角， 所以cos A cos B ≠0， 于是tan A=-3tan B ， 所以A ，B 中恰有一个是钝角.从而tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=2-3tan tan13tanB BB++=2-2tan13tanBB+<0，所以tan B>0，即B为锐角.16. (1) 在平面PAB内过点P作PH⊥AB于点H，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH ⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.由∠PBC=90°，得PB⊥BC.又PH∩PB=P，PH⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.(2) 由(1)知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.由∠BAD=90°，得AD⊥AB.故在平面ABCD中，AD∥BC.又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.17. (1) 已知点C在以AB为直径的半圆周上，所以△ABC为直角三角形.因为AB=8，∠ABC=π6，所以∠BAC=π3，AC=4.在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE cos A，且CE=，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3.(2) 因为∠ACB=π2，∠ECF=π6，所以∠ACE=α∈π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-π3-π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π2-α， 在△ACF 中，由正弦定理得sin CF A =sin AC CFA ∠=πsin -2ACα⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos AC α，所以CF=. 在△ACE 中，由正弦定理得sin CE A =sin AC AEC ∠=πsin 3AC α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以CE=sin 3α+ ⎪⎝⎭. 若产生最大经济效益，则△CEF 的面积S △ECF 最大，S △ECF =12CE ·CF sin ∠ECF=3πsin cos 3αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12π2sin 23α⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为α∈π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 所以0≤sinπ23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1. 所以当α=π3时，S △ECF 取最大值为4(m 2)，此时该地块产生的经济价值最大.18. (1) 由题意，椭圆C 的标准方程为24x +22y =1， 所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a=2，.故椭圆C 的离心率e=ca=.11 (2) 直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA u u u r ·OB u u u r =0，即tx 0+2y 0=0，解得t=-002y x .当x 0=t 时，y 0=-22t ，代入椭圆C 的方程，得， 故直线AB 的方程为，圆心O 到直线AB 的距离.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y-2=00-2-y x t (x-t ). 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0，.又20x +220y =4，t=-002y x ，故.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣6 Word版含解析
回扣6立体几何1．概念理解四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4．用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量)． (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量)．(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量)．1．混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． 5．几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180° 锐角0°<α<90°6．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．1．已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ②若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ④若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m ； ⑤若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β.其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③⑤解析 命题①，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故不正确；命题②，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，由线面垂直的性质定理易知正确；命题③，由线面垂直的性质定理易知正确；命题④，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m 或m 、n 异面，所以不正确；命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题．故答案为②③⑤.2．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x ，4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则实数x 的值为________． 答案 2解析 由题意得AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， AB →·AC →＝(6，－2，－3)·(x －4,3，－6) ＝6(x －4)－6＋18＝0， 解得x ＝2.3．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为________．答案 60°解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.4．在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，SA ＝SB ＝2，则该三棱锥的体积为________．答案354解析 如图，∵SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，且SA ∩SB ＝S ， ∴SC ⊥平面SAB ，在Rt △BSC 中，由SB ＝2，BC ＝3，得SC ＝ 5.在△SAB 中，取AB 中点D ，连结SD ，则SD ⊥AB ，且BD ＝32，∴SD ＝22－(32)2＝72，∴V ＝13×12×3×72×5＝354.5．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α. 答案 ②6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________． 答案52π3解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 7．已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条．答案 6解析 如图，连结EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ，可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条．8．(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.9．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p ＝________. 答案 34解析 可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p ＝⎝⎛⎭⎫2－12×2×22×2×2＝34.11．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S ＝________. 答案 10π解析 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×2，2πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π.12．在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ； (3)求二面角A —PC —B 的余弦值．(1)证明 因为△ABC 是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ，又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明 在正三角形ABC 中，BM ＝23， 在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD ，又∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1，在等腰直角三角形P AB 中， P A ＝AB ＝4，PB ＝42，所以BN ∶NP ＝3∶1， BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(3)解 因为∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝90°，所以AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B (4,0,0)，C (2，23，0)，D (0，433，0)，P (0,0,4)．由(1)可知，DB →＝(4，－433，0)为平面P AC 的一个法向量，PC →＝(2,23，－4)，PB →＝(4,0，－4)， 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣1 Word版含解析
考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈p与命题p真假相反．4．全称命题、存在性命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为存在性命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．5．充分条件和必要条件(1)若p⇒q且qD⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若pD⇒/q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若pD⇒/q且qD⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．6．在对全称命题和存在性命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．7．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________．答案{0,3}解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．(2016·鹰潭一中月考)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是________．答案{a|a≥2}解析若A⊆B，则a≥2.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于________．答案{x|x<－5或x>－3}解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是________．答案 4解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个．5．已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，A ∪(∁UB )＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．6．下列命题正确的序号是________．(1)命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；(3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题；(4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件． 答案 (1)(3)解析 命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则p 和q 都是真命题，綈p 和綈q 都是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真．7．已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的必要不充分条件．在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为________．答案 1解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题．8．已知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为__________________． 答案 ∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0 解析 根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0”． 9．下列结论正确的是________．(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1,3)； (2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则x ＋2y 的值为3； (3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18；(4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1,3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )， 则f (－x )＝－x ·1＋2－x2(1－2－x ) ＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )， 即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4)．10．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.11．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________．答案 2 012 1 006解析 因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.12．(2016·淄博六中期末)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ，∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．13．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m .∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3， 解得m >2.。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣2 Word版含解析
回扣2 函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．5．函数图象的基本变换(1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连结，可用“及”连结或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b )．8．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则 f [f (1)]等于________． 答案 －2解析 由f [f (1)]＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 [1，32) 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得， ⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 (2,3)解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4．函数y ＝x ·2x|x |的图象大致形状是________．答案 ①解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，－2x ，x <0， y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，且y ＝2x ＞0，排除②④；又y ＝－2x 在(－∞，0)上单调递减，排除③.5．已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)等于________．答案 0解析 由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是________． 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7． a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为________．答案 b <a <c解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c .8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案 c >a >b解析 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9．若函数f (x )定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________．答案 (－1,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1， 即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1,1]．10．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，e 2＋1e] 解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x x＝0， ∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x x(x >0)， 设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ， f 2(x )＝ln x x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2， 发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e. 11．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________． 答案 －14解析 由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14， ∴f (3)＋f (－32)＝－14.12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x ， ∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e≤2·t＋1e t≤2，而2e≤3－te≤3e，∴不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。
2017步步高考前3个月 文科数学(通用版)技巧规范篇 第2篇 看细则、用模板、解题再规范 (word)
[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x －π6)．(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给1分． 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值．解 (1)f (x )＝32－32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin(2x －π6)＋32.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z )．(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12， ∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”)． ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .∵正方形ABCD 中， AE ∥CD 且AE ＝12CD ，评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM，给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD，同样给分；(2)第(2)问，证明P A⊥底面ABCD时缺少1个条件扣1分；证明DE⊥AH时，只要指明点E，F分别为正方形边AB、BC中点，得DE⊥AH，不扣分；证明DE⊥平面P AH，只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，P A∩AH＝A，缺少其他条件不扣分．变式训练2(2015·北京)如图，在三棱锥V—ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V —ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ， 且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V—ABC的体积与三棱锥C—VAB的体积相等，所以三棱锥V—ABC的体积为3 3.模板3数列的通项与求和例3(12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数(i，j∈N*)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……………a n1a n2a n3…a nn(1)求a n1和a4n；(2)设b n＝a4n(a4n－2)(a4n－1)＋(－1)n·a n1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分．变式训练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n－15恒成立即可．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21)．模板4 直线与圆锥曲线的位置关系例4 (12分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．评分细则 (1)第(1)问，无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分； (2)第(2)问，求|OQ ||OP |时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；(3)第(2)问中，无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；(4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；(5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．变式训练4 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)． (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12|PQ |d＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板5 圆锥曲线中的探索性问题例5 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．评分细则第(1)问得分点①求出t的值，得1分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分．第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分；②得出直线AE过定点得3分，只考虑当y20≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y20＝4，且得出此时直线AE过定点，只能得1分；③求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分；④正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分．变式训练5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127为定值．模板6 函数的单调性、极值与最值例6 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．评分细则(1)函数求导正确即给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围给2分．变式训练6已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对任意x∈(0,1)，有f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)e x，g′(x)＝(－2ax＋1－a)e x.①当a＝0时，g′(x)＝e x>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.②当a＝1时，对于任意x∈(0,1)，有g′(x)＝－2x e x<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.a ．若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b ．若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a)＝2a e12aa，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板7 导数与函数零点、 不等式问题例7 (12分)f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．评分细则第(1)问得分点1．若导函数求错，不得分．2．若f′(1)＝0解错，只得2分．第(2)问得分点1．若没求定义域，其他正确，不扣分．2．没进行分类讨论的，不得分．漏一类扣2分．3．没有结论的扣1分．4．利用其他方法求解的，同样得分．变式训练7 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设b ＝2－a ，求f (x )的零点的个数；(2)设a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小． 解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0)．①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数， 又f (12)＝1－a4＋ln 2，∴当0≤a ＜4(1＋ln 2)时，函数f (x )没有零点； 当a ＝4(1＋ln 2)时，函数f (x )有一个零点； 当a >4(1＋ln 2)时，函数f (x )有两个零点．②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上递减，在(12，－1a )上递增，在(－1a ，＋∞)上递减， 又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点．当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上递减，f (x )有一个零点． 当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上递减，在(－1a ，12)上递增，在(12，＋∞)上递减，f (x )只有一个零点．综上，0≤a ＜4(1＋ln 2)时无零点； a <0或a ＝4(1＋ln 2)时有一个零点； a >4(1＋ln 2)时有两个零点．(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)， 则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝1－4xx ，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。
2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分 抢分周计划 第5周 Word版含答案
周练14+4·锁定128分强化训练(5)【强化训练】锁定128分强化训练(5)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知复数z=2-3i1i+(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第象限.2.已知集合M={x|x2-2x-8≤0}，集合N={x||x|≥3}，那么M∩N=.3.以点(2，-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.4.将四个人(含甲、乙)分成两组，每组两人，则甲、乙为同一组的概率为.5.已知函数f(x)=3log020xx xx>⎧⎨≤⎩，，，，那么f19f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有个.(第6题)7.执行如图所示的流程图，如果输入的x，t均为2，那么输出的S=.(第7题)8.若变量x，y满足约束条件1-1y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=.9.如图，在三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF 的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为.(第9题)10. 若cos π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3，则cos 5π6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin 2π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭= .11. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M ，N 为AC 边上的两个动点，且满足2，则BM u u u u r ·BN u u ur 的取值范围为 .12. 已知斜率为3的直线l 过椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点.若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 .13. 已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，则1a +1b +1c 的最小值为 .14. 设k ，b 均为非零常数，给出如下三个条件： ①{a n }与{ka n +b }均为等比数列； ②{a n }为等差数列，{ka n +b }为等比数列； ③{a n }为等比数列，{ka n +b }为等差数列，其中一定能推导出数列{a n }为常数列的是 .(填序号)题号 1 2 3 4 5 6 7答案题号 8 9 10 11 12 13 14答案二、 解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 22A +(cos B-3sin B )cos C=1.(1) 求角C 的大小；(2) 若c=2，且△ABC 3，求a ，b.16. (本小题满分14分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1=3，a n+1=2S n +3(n ∈N *). (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n =(2n-1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y=f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f (x )=2x-32a x +1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a-1对一切x>0恒成立，求实数a的取值范围.18.(本小题满分16分)如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头.已知tan∠MON=-3，OA=6 km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，6105km.现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q.(1) 求水上旅游线AB的长；(2) 若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h 时的半径为r=3at(a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以182 km/h的速度自码头A开往码头B，问：实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行?(第18题)【强化训练答案】锁定128分强化训练(5)一、填空题1.三【解析】z=(2-3i)(1-i)(1i)(1-i)+=2-2i-3i-32=-12-52i，实部、虚部均小于0，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.2.{x|3≤x≤4}【解析】因为M={x|-2≤x≤4}，N={x|x≤-3或x≥3}，所以M∩N={x|3≤x≤4}.3.(x-2)2+(y+1)2=252【解析】将直线x+y=6化为x+y-6=0，圆的半径，所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=25 2.4.13【解析】设4个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本事件有(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，丙乙)，共3种，满足要求的事件只有(甲乙，丙丁)，共1种，所以其概率为1 3.5.14【解析】因为f19⎛⎫⎪⎝⎭=log319=log33-2=-2，所以f19f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=f(-2)=2-2=14.6. 6【解析】分数在[80，100]内的频率为(0.025+0.015)×10=0.4，而分数在[90，100]内的频率为0.015×10=0.15.设分数在[90，100]内的样本数据有x个，则由16 x=0.40.15，得x=6.7. 7【解析】循环体部分的运算为：第一步，M=2，S=5，k=2；第二步，M=2，S=7，k=3.故输出的结果为7.8.-9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图象可知m=3，n=-3，所以mn=-9.(第8题)9.10【解析】因为AEFACDSSVV=1··sin21··sin2AE AF CADAC AD CAD∠∠=16，V总=6ABEFV=12，则四棱锥B-ECDF的体积为10.10.-23+【解析】设t=π6-θ，则cos t=33，那么cos5π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭-sin2π-6θ⎛⎫⎪⎝⎭=cos(π-t)-sin2t=-23+.11.322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设B(0，0)，A(2，0)，C(0，2)，D(1，1)，则利用MN=2可设N(x0，2-x0)，M(x0-1，3-x0)，其中x0∈[1，2]，那么BMu u u u r·BNu u u r=2(2x-3x0+3)∈322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则BMu u u u r·322BN⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦u u u r，.(第11题)12. 63 【解析】设直线l 方程为y=3(x-c )，点O 关于直线l 的对称点为P (m ，n )，则n·3-1m n m 3-c 22⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎩，，解得m=32c ，由题意知32c=2a c ，解得e=63.13. 9 【解析】因为a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，所以1a +1b +1c=a b c a +++a b c b +++a b c c ++ =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c=3+b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c a a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c b +b c ≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=13时，取等号.14. ①②③ 【解析】①易得(k ·a n +b )2=(k ·a n-1+b )(k ·a n+1+b )，即k 22n a +2kba n +b 2=k 2a n-1a n+1+kb (a n-1+a n+1)+b 2，因为2n a =a n-1a n+1，且kb ≠0，所以2a n =a n-1+a n+1，即证. ②由①知k 22n a +2kba n +b 2=k 2a n-1a n+1+kb (a n-1+a n+1)+b 2，因为2a n =a n-1+a n+1，所以2n a =a n-1a n+1，即证.③易得2(k ·a n +b )=(k ·a n-1+b )+(k ·a n+1+b )，且k ≠0，故2a n =a n-1+a n+1，又2n a =a n-1a n+1，即证.二、 解答题 15. (1) 由2cos 22A +(cossin B )cos C=1，得cos A+cos B cosC-sin B cos C=0，即-cos(B+C )+cos B cosC-sin B cos C=0，展开得sin B sinsin B cos C=0，因为sin B ≠0，所以tanC=，又C ∈(0，π)，所以C=π3.(2) 因为三角形面积为12ab sin π3，所以ab=4.①由余弦定理得4=(a+b )2-2ab-ab ，故a+b=4，②， 联立①②，解得a=b=2.16. 当n ≥2时，由a n+1=2S n +3，得a n =2S n-1+3， 两式相减，得a n+1-a n =2S n -2S n-1=2a n ，所以a n+1=3a n ，所以1n n a a =3.当n=1时，a 1=3，a 2=2S 1+3=2a 1+3=9，则21a a =3. 所以数列{a n }是以a 1=3为首项，公比为3的等比数列， 所以a n =3×3n-1=3n .(2) 由(1)得b n =(2n-1)a n =(2n-1)×3n .所以T n =1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n ， ① 3T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1， ② ①-②得-2T n =1×3+2×32+2×33+…+2×3n -(2n-1)×3n+1 =3+2×(32+33+…+3n )-(2n-1)×3n+1=3+2×2-13(1-3)1-3n -(2n-1)×3n+1=-6-(2n-2)×3n+1. 所以T n =(n-1)×3n+1+3.17. (1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(-∞，0)上的单调性即可.由题设得f'(x )=2+332a x ，令f'(x )=0，得x=-a.①当a ≤0时，f'(x )>0，故f (x )在区间(-∞，0)上单调递增.②当a>0时，当x ∈(-∞，-a )时，f'(x )>0，所以f (x )在区间(-∞，-a )上单调递增. 当x ∈(-a ，0)时，f'(x )<0，所以f (x )在区间(-a ，0)上单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(-∞，0)，(0，+∞)；当a>0时，f (x )的单调增区间为(-∞，-a )，(a ，+∞)，单调减区间为(-a ，0)，(0，a ). (2) 因为f (x )为奇函数，所以当x>0时，f (x )=-f (-x )=-32-2-1a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2x+32a x -1. ①当a<0时，要使f (x )≥a-1对一切x>0恒成立，即2x+32a x ≥a 对一切x>0恒成立.而当x=-2a>0时，有-a+4a ≥a ，所以a ≥0，与a<0矛盾.所以a<0不成立.②当a=0时，f (x )=2x-1>-1对一切x>0恒成立，故a=0满足题设要求. ③当a>0时，由(1)可知f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，+∞)上是增函数， 所以f (x )min =f (a )=3a-1>a-1，所以a>0时也满足题设要求. 综上，实数a 的取值范围是[0，+∞).18. (1) 以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为y=-3x ，Q (x 0，3)(x 0>0).11(第18题) 010=610，及x 0>0，得x 0=3，所以Q (3，3)，所以直线AQ 的方程为y=-(x-6)，即x+y-6=0.由-3-60y x x y =⎧⎨+=⎩，，得-39x y =⎧⎨=⎩，，即B (-3，9)，所以22(-3-6)9+=92，即水上旅游线AB 的长为2 km .(2) 由题意可得P (3，9)，生成t h 时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC=182t ，0≤t ≤12，所以C (6-18t ，18t ).强水波不会波及游轮的航行，即PC 2>r 2对t ∈102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，恒成立.PC 2=(18t-3)2+(18t-9)2>r 2=9at ，当t=0时，上式恒成立；当t ≠0时，即t ∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，时，a<72t+10t -48.令g (t )=72t+10t -48，t ∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，，g (t )=72t+10t -48≥245-48，当且仅当t=5∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，时等号成立，所以在0<a<24548时r<PC 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行.。
2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练6 含解析
“锁定70分”专项练61．已知集合A＝{x|(x－4）（x＋2）〈0}，B＝{－3，－1,1，3,5}，则A∩B＝________。
答案{－1,1,3}2．复数错误!的共轭复数是________．答案错误!＋错误!i3．命题“∀x∈R，都有log2x〉0成立”的否定为________．答案∃x0∈R，使log2x0≤0成立4．已知p：x〉1,y>1,q:x＋y>2,xy>1，则p是q的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要5．将函数f(x）＝sin(2x＋错误!)的图象向左平移φ（φ>0）个单位后，得到的函数图象关于y轴对称,则φ的最小值为________．答案错误!解析将函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图象向左平移φ(φ〉0）个单位后，可得函数f（x）＝sin［2(x＋φ)＋错误!]＝sin(2x＋2φ＋错误!）的图象．再根据得到的函数图象关于y轴对称，可得2φ＋错误!的最小正值为错误!，∴φ＝错误!.6．已知｛a n｝为等差数列，且a6＝4，则a4a7的最大值为________．答案18解析设等差数列的公差为d，则a4a7＝（a6－2d）（a6＋d)＝（4－2d）（4＋d）＝－2(d＋1）2＋18,即a4a7的最大值为18。
7．已知向量b为单位向量，向量a＝（1,1），且|a－错误!b|＝错误!，则向量a,b的夹角为________．答案错误!解析因为b为单位向量，向量a＝（1,1)，所以|a|＝错误!,｜b|＝1，因为｜a－错误!b｜＝错误!⇒a2－2错误!a·b＋2b2＝6,即2－2错误!a·b＋2＝6⇒a·b＝－错误!，cos〈a，b〉＝错误!＝－错误!，所以向量a，b的夹角为错误!。
8．已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且错误!⊥错误!.若△PF1F2的面积为9，则b＝________。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练7 Word版含解析
“锁定70分”专项练71．复数z ＝5＋i 1＋i的虚部为________． 答案 －22．命题p ：∃x 0∈R ，x 0>1的否定是____________．答案 ∀x ∈R ，x ≤13．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥l ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 必要不充分4．(2016·课标全国甲改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为______________．答案 x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 5．(2016·四川雅安天全中学期中)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n 且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n 2－n ＋2解析 a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n ，采用累加法可得a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＝n 2－n .∴a n ＝n 2－n ＋2.6．(2016·江西金溪一中期中)已知下列四个等式：21×1＝222×1×3＝3×423×1×3×5＝4×5×624×1×3×5×7＝5×6×7×8…依此类推，猜想第n 个等式为__________________．答案 2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )解析 观察给出的四个等式可以发现第n 个等式的左边是2n 乘上从1开始的n 个奇数，右边是从(n ＋1)开始的n 个连续正整数的积，根据这一规律即可归纳出第n 个等式为2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )．7．在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF→＝________.答案 109解析 ∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，如图建立平面直角坐标系，∵AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，∴E (23，23)，F (43，13)，AE →·AF →＝109. 8．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________． 答案 32π解析 圆锥的母线l ＝r 2＋r 2＝2r .V 1＝a 3，S 1＝6a 2，V 2＝13πr 3，S 2＝πrl ＝2πr 2. ∵V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，∴a ＝r . ∴S 1S 2＝6a 22πr2＝32π. 9．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5tan B ＝6ac a 2＋c 2－b 2，则sin B 的值是________．答案 35解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴5tan B ＝6ac a 2＋c 2－b 2＝6ac 2ac cos B ＝3cos B， ∴5sin B ＝3，∴sin B ＝35. 10． A ，B ，C 三点与D ，E ，F ，G 四点分别在一个以O 为顶点的角的不同的两边上，则在A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，O 这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________．答案 42解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C 38－C 34－C 35＝42.11．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．答案 6解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.12．(2016·课标全国乙改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线， ∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.13．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心，研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________.答案 82解析 由f (x )＝x 3＋sin x ＋2知当x 1＋x 2＝2×0时，f (x 1)＋f (x 2)＝2×2.∵－1＋1＝2×0，－1920＋1920＝2×0，…， ∴f (－1)＋f (1)＝2×2，f ⎝⎛⎭⎫－1920＋f ⎝⎛⎭⎫1920＝2×2，…，则f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1) ＝20×2×2＋2＝82.14．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：对∀x ∈(0，＋∞)，都有f (2x )＝2f (x )；当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x ，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是________．①对∀m ∈Z ，有f (2m )＝0；②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9；④函数f (x )在区间(a ，b )单调递减的充分条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)”． 答案 ①②④解析 ①f (2m )＝f (2·2m －1)＝2f (2m －1)＝… ＝2m －1f (2)，正确； ②取x ∈(2m,2m ＋1)，则x 2m ∈(1,2]，f ⎝⎛⎭⎫x 2m ＝2－x 2m ，从而f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝22f ⎝⎛⎭⎫x 22＝…＝2m f ⎝⎛⎭⎫x 2m ＝2m ＋1－x ，其中，m ＝0,1,2，…，所以f (x )∈[0，＋∞)，正确；③f ()2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，假设存在n 使f (2n ＋1)＝9，即存在x 1，x 2,2x 1－2x 2＝10，又2x 变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在，所以该命题错误；④根据②可知：由②知当x ⊆(2k,2k ＋1)时，f (x )＝2k ＋1－x 单调递减，为减函数，因此函数f (x )在区间(a ，b )单调递减的充分条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)，”所以正确，故答案为①②④.“。
2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练2 含解析
“锁定70分”专项练21．(2016·课标全国丙改编）设集合A＝{0，2，4，6，8,10｝，B＝{4,8｝，则∁A B等于________．答案｛0,2，6，10｝2．若复数z满足z i＝1＋2i,则z的共轭复数是________．答案2＋i解析∵z i＝1＋2i，∴z＝错误!＝2－i，∴错误!＝2＋i。
3．(2016·北京改编）设a，b是向量，则“｜a|＝|b｜”是“｜a ＋b｜＝｜a－b|”的______________条件．（填“充分不必要"“必要不充分"“充要”或“既不充分也不必要”）答案既不充分也不必要解析若|a|＝｜b｜成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以｜a＋b|＝｜a－b｜不一定成立；反之，若｜a＋b|＝|a－b|成立，则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等，所以｜a｜＝｜b|不一定成立，所以“｜a｜＝|b｜”是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ），其中0<φ〈2π，若f(x)≤｜f(错误!)｜对x ∈R 恒成立，且f (错误!)〉f （π)，则φ＝________。
答案 错误!解析 若f （x ）≤｜f （错误!)|对x ∈R 恒成立，所以f (x )max ＝|f (π6）｜＝｜sin(2×错误!＋φ)｜＝｜sin （错误!＋φ)｜, 即错误!＋φ＝k π＋错误!，k ∈Z ，又0〈φ〈2π，所以φ＝错误!或φ＝错误!，当φ＝错误!时,f （错误!）＝sin(π＋错误!）＝－sin 错误!＝－错误!，f （π)＝sin(2π＋错误!)＝sin 错误!＝错误!，f （错误!)＜f (π），不合题意，当φ＝错误!时，f （错误!)＝sin(π＋错误!）＝－sin 错误!＝错误!，f (π）＝sin （2π＋错误!)＝sin 错误!＝－错误!，f （错误!）＞f (π)，符合题意, 所以φ＝错误!。
2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练5 含解析
“锁定70分”专项练51．已知全集U＝R，N＝{x|x(x＋3)<0}，M＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合是________．答案{x|－1≤x〈0｝2．若复数z满足（1－2i）z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z等于________．答案－错误!＋错误!i3．命题：“∀x∈R，x2＋x＋1〉0”的否定是______________．答案∃x0∈R,x20＋x0＋1≤04．已知p：α为第二象限的角，q：sin α>cos α，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要5．等差数列｛a n}的前n项和为S n，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于________．答案52解析若a3＋a7＋a11＝12，则有3a7＝12，∴a7＝4，∴S13＝错误!＝13a7＝52.6．已知函数f(x)＝2cos（ωx＋φ）(ω>0，－错误!<φ<错误!）图象的一个对称中心为（2,0)，直线x＝x1,x＝x2是图象的任意两条对称轴，且|x1－x2｜的最小值为3，且f（1)〉f(3），要得到函数f（x)的图象可将函数y＝2cos ωx的图象向________平移________单位．答案右错误!解析由两条对称轴的距离｜x1－x2｜的最小值为3，可得T＝6,∴6＝错误!，ω＝错误!，又函数f（x）＝2cos(ωx＋φ）图象的一个对称中心为（2，0），则错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，∵－错误!〈φ〈错误!,∴φ＝－错误!,f（x）＝2cos(错误!x－错误!)，满足f（1）>f （3)，故可将函数y＝2cos ωx的图象向右平移错误!个单位长度得到函数f(x）的图象．7．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案4 5解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为错误!＝错误!。
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“锁定70分”专项练
“锁定70分”专项练1
1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个． 答案 4
2．(2016·课标全国甲改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.
3．已知命题p ：“m ＝1”，命题q ：“直线mx －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(－π2＜φ＜0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (π6
)＝________.
答案 23
解析 由图可知，T ＝2(11π12－7π12)＝2π3＝2πω
， 所以ω＝3，又f (7π12)＝A cos(7π4
＋φ)＝0， 所以7π4＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z ， 即φ＝k π－5π4
，k ∈Z ， 又因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π4
. 所以f (x )＝A cos(3x －π4
)．
由f (π2)＝A cos(3×π2－π4)＝－A sin π4＝－23
， 所以A ＝223
， 所以f (π6)＝223cos(π2－π4)＝223sin π4＝23
. 5．甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25
，那么三人中恰有两人合格的概率是________．
答案 715
解析 所求概率为P ＝23×34×35＋13×34×25＋23×14×25＝715
. 6．(2016·课标全国甲改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为________．
答案 12π
解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π.
7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，
则z ＝y ＋1x ＋1的范围是________． 答案 [12，32
] 解析 在直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0.
由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1
表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12
.
8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1C 所在直线所成角的大小是________． 答案 60°
解析 作A 1B ∥D 1C ，连结B 1D 1，易证∠B 1CD 1就是A 1B 与B 1C 所在直线所成的角，由于
△B 1CD 1是等边三角形，因此∠B 1CD 1＝60°.
9．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32
，则双曲线C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0
解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1， C 1的离心率为a 2－b 2
a
， 双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1， C 2的离心率为a 2＋b 2
a
， ∵C 1与C 2的离心率之积为
32
， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32
， ∴(b a )2＝12，b a ＝22
， 双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.
10．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．
答案 [32e
，1) 解析 设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，
由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，
∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)， ∴当x <－12
时，g ′(x )＜0， 当x >－12
时，g ′(x )＞0， ∴当x ＝－12时，g (x )取最小值－2e －12
， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e ＞0，
直线y ＝ax －a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，
故－a ＞g (0)＝－1且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，
解得32e
≤a <1. 11．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．
答案 10 000
解析 i ＝0，S ＝0⇒i ＝1，S ＝1⇒i ＝2，S ＝4⇒i ＝3，S ＝9…
由此可知S ＝i 2，所以当i ＝100时，S ＝10 000.
12．已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4的系数为1，则a ＝________.
答案 2
解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4 的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1, 所以a ＝2.
13．函数y ＝ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]
解析 根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，
x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 14．已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.
答案 －16
解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，
所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.
∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，
OA ＝2OD ＝23×32＝33
， 由于AD 平分∠A ，∠BOC ，
所以，OB →＋OC →＝2OD →＝－OA
→，
同理，OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →， 所以，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)
＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB →＝|OB →|2cos 120° ＝|OA →|2cos 120°
＝(
33)2×(－12)＝－16.。