数学_2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 函数f(x)=
log 2(x−1)x+2
的定义域是________．
2. 己知全集U =R ，集合A ={x||x +1|>2, x ∈R}，B ={x|
x−2x
≤0，x ∈R}，则(∁U A)∩
B =________．
3. 已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f −1(x)过点(2, 4)，则f(x)的解析式是________f(x)=√x ．
4. 方程
7⋅3x 9x −2
=2的解是________．
5. 己知数列{a n }是公差为2的等差数列，若a 6是a 7和a 8的等比中项，则a n =________．
6. 已知向量a →
=(cosθ,sinθ)，b →
=(1,−2)，若a →
 // b →
，则代数式2sinθ−cosθ
sinθ+cosθ的值是________． 7. 三阶行列式|−sinx
0−1
6cosx
2sinx −540
|(x ∈R)中元素4的代数余子式的值记为f(x)，则函数f(x)的最小值为________．
8. 各项都为正数的无穷等比数列{a n }，满足a 2=m ，a 4=t ，且{x =m
y =t 是增广矩阵[3−122
012]的线性方程组{a 11x +a 12y =c 1a 21x +a 22y =c 2的解，则无穷等比数列{a n }各项和的数值是________． 9. (√x 3
√x
)15
的二项展开式中的常数项是________． 10. 把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里．则恰好有一个盒子空的概率是________（结果用最简分数表示）．
11. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为4π
3，则圆锥的体积是________cm 3．
12. 从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是________．
13. 设向量α→
=(a, b)，β→
=(m, n)，其中a ，b ，m ，n ∈R ，由不等式|α→
⋅β→
|≤|α→
|⋅|β→
|恒成立，可以证明（柯西）不等式(am +bn)2
≤(a 2
+b 2
)(m 2
+n 2
)（当且仅当α→
 // β→
，即an =bm 时等号成立），己知x ，y ∈R +，若√x +3√y <k ⋅√x +y 恒成立，利用柯西不等
式可求得实数k 的取值范围是________．
14. 己知数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =n ，(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前2016项的和S 2016的
值是________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. 己知实数a，b满足ab>0，则“1
a <1
b
成立”是“a>b成立”的（）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 既非充分又非必要条件
16. 己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m // n，m⊥α⇒n⊥α；
②α // β，m⊊α，n⊊β⇒m // n；
③m // n，m // α⇒n // α；
④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β；
其中正确命题的序号是（）
A ①④
B ②③
C ①②④
D ①③④
17. 某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是（）
A f(x)=1
2x−1+1
2
B f(x)=lg1−x
1+x
−2x C f(x)=x
2x−1
−1
2
x D f(x)=−2x−3
x
18. 己知z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是（）
A z12+z22+z32=0，则z1=z2=z3=0
B z12+z22+z32>0，则z12+z22>
−z32 C z12+z22>−z32，则z12+z22+z32>0 D z1¯=−z1（z¯为复数z的共轭复数），则z1纯虚数．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. 已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示.
(1)连结BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)连结A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1−BCA 1的体积．
20. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx +c （ω>0，x ∈R ，c 是实数常数）的图象上的一个最高点(π
6, 1)，与该最高点最近的一个最低点是(
2π3
, −3)．
（1）求函数f(x)的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且AB →
⋅BC →
=−1
2
ac ，角A 的取值
范围是区间M ，当x ∈M 时，试求函数f(x)的取值范围．
21. 我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f(x)与第x 天近似地满足f(x)=8+8
x （千人），且参观民俗文化村的游客人
均消费g(x)近似地满足g(x)=143−|x −22|（元）．
（1）求该村的第x 天的旅游收入p(x)（单位千元，1≤x ≤30，x ∈N ∗）的函数关系； （2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？ 22. 已知函数f(x)=
ax 2+bx+c x+d
（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x ≠−d ）.
(1)若a =0，函数f(x)的图象关于点(−1, 3)成中心对称，求b ，d 的值；
(2)若函数f(x)满足条件(1)，且对任意x 0∈[3, 10]，总有f(x 0)∈[3, 10]，求c 的取值范围； (3)若b =0，函数f(x)是奇函数，f(1)=0，f(−2)=−3
2，且对任意x ∈[1, +∞)时，不等
式f(mx)+mf(x)<0恒成立，求负实数m 的取值范围． 23. 已知数列{a n }，满足a 2=6，
a n+1−a n +1a n+1+a n −1
=1
n
(n ∈N ∗)，
（1）已知b 1=1，b n+1=a
n+1
n(n+1)(n ∈N ∗)，求数列{b n }所满足的通项公式；
（2）求数列{a n } 的通项公式；
（3）己知lim n →∞
n 2n =0，设c n =a n n⋅2n ，(n ∈N ∗)，常数(c ≠0, c ∈R)，若数列{c n }是等差数列，记S n =c 1c +c 2c 2+c 3c 3+...+c n c n ，求lim n →∞S n ．
2014年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）答案
1. {x|x>1}
2. {x|0<x≤1}
3. f(x)=√x
4. x=2log32
5. 6n−40
3
6. 5
7. −6
8. 32
9. 5005
10. 9
16
π
11. 2048√5
3
12. √58
7
13. k>√10
14. 1017072
15. C
16. A
17. B
18. C
19. 解：(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，
则AD是BC边上的中线．
∵ 点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，
∴ BC⊥AD，BC⊥A1O，
∵ AD∩A1O=O．
∴ BC⊥平面ADA1．
∴ BC⊥AA1．
又AA1 // CC1，
∴ 异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
∴ CC1⊥BC，BC=CC1=B1C1=BB1=2，
即四边形BCC1B1为正方形．
∴ 异面直线AA1与BC1所成角的大小为π
．
4
(2)∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2， ∴ AD =√3，AO =2
3AD =
2√3
3
， A 1O =√AA 12
−AO 2=
2√63
． ∴ V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅A 1O =2√2， ∴ V A 1−B 1C 1CB =V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ABC =4√2
3， ∴ V C 1−BCA 1=V A 1−BCC 1=1
2V A 1−BCC 1B 1=2√23
． 20. ∵ f(x)=√3sinωx +cosωx +c ＝2(
√3
2
sinωx +1
2cosωx)+c
＝2sin(ωx +π
6)+c ，
∴ f(x)max ＝2+c ＝1，f(x)min ＝−2+c ＝−3，
∴ c ＝−1； 又T
2=
2π3
−π6=π
2， ∴ T =
2πω
=π，
∴ ω＝2，
∴ f(x)＝2sin(2x +π
6)−1．
由2kπ−π2
≤2x +π6
≤2kπ+π2
(k ∈Z)，得：kπ−π3
≤x ≤kπ+π
6
(k ∈Z)，
∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3, kπ+π
6](k ∈Z)；
依题意，AB →
⋅BC →
=|AB →
|⋅|BC →
|cos <AB →
，BC →
>=ca ⋅cos(π−B)=−1
2ac ， ∴ cosB =12，又0<B <π， ∴ B =π
3．
∴ A ∈(0, 2π3
)，即M ＝(0, 2π
3
)；
∴ 当x ∈(0, 2π3
)时，2x +π6
∈(π6
, 3π
2
)，
∴ sin(2x +π
6)∈(−1, 1]，
∴ f(x)＝2sin(2x +π
6)−1∈(−3, 1]． 即函数f(x)的取值范围为(−3, 1]． 21. 解：（1）依题意有p(x)=f(x)⋅g(x)
=(8+8
x
)(143−|x −22|)(1≤x ≤30, x ∈N ∗)
={8x +
968
x
+976，(1≤x ≤22,x ∈N ∗)
−8x +1320x +1312(22<x ≤30,x ∈N ∗
)
； （2）①当1≤x ≤22，x ∈N ∗时， p(x)=8x +
968x
+976≥2√8x ×
968x
+976=1152（当且仅当x =11时，等号成立）
∴ p(x)min =p(11)=1152（千元）， ②当22<x ≤30，x ∈N ∗时， p(x)=−8x +
1320x
+1312，
考察函数y =−8x +1320x
，可知函数y =−8x +
1320x
在(22, 30]上单调递减，
∴ p(x)min =p(30)=1116（千元）， 又1152>1116，
∴ 日最低收入为1116千元．
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）．
∵ 803.52（万元）>800（万元）， ∴ 该村在两年内能收回全部投资成本．
22. 解：(1)∵ a =0， ∴ f(x)=
bx+c x+d
=b +
c−bd x+d
．
类比函数y =k
x (x ≠0)的图象，可知函f(x)的图象的对称中心是(−d, b). 又∵ 函f(x)的图象的对称中心(−1, 3)， ∴ {b =3,d =1.
(2)由(1)知，f(x)=3+c−3
x+1．
依据题意，对任x 0∈[3, 10]，恒f(x 0)∈[3, 10]． ①c =3，f(x)=3，符合题意；
②c <3时，对任x ∈[3, 10]，恒f(x)=3+c−3x+1
<3，不符合题意；
③c >3，函f(x)=3+
c−3
x+1
在[3, 10]上是单调递减函数，且满足f(x)>3．
因此，只需f(3)≤10即可解得，3<c ≤31． 综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．
(3)依据题设，{f(x)+f(−x)=0,
f(1)=0,f(−2)=−3
2,
解得{a =1,c =−1,d =0,
于是f(x)=x −1
x ． 由{f(mx)+mf(x)<0,m <0,
x ≥1, 得2mx −1
mx −
m x <0，
∴ (2x 2−1)m 2>1， ∵ m <0， ∴ m <√2x 2−1
.
因此，m <√2x 2−1min
． ∵ 函数y =√2x 2−1
≥1)在[1, +∞)是增函数，
∴ y min =y(1)=−1．
∴ 所求负实数m 的取值范围m <−1． 23. 解：（1）∵
a n+1−a n +1a n+1+a n −1
=1
n
，
∴ (n −1)a n+1−(n +1)a n =−(n +1)．
∴ 当n ≥2(n ∈N ∗)时，有a n+1(n+1)n −a n n(n−1)=1n −1
n−1． 又∵ b n+1=a
n+1n(n+1)，a 2=6，
∴ b n+1−b n =1n
−
1
n−1
，b 2=3．
∴ 数列{b n }的递推公式是b 1=1，b 2=3，b n+1−b n =1
n
−
1n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，
（2）由（1）可知，b n+1−b n =1
n −1
n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，
∴ b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+(b n−2−b n−3)+...+(b 2−b 1)+b 1=2+1
n−1， ∴ a n =n(n −1)b n =n(2n −1)(n ≥2, n ∈N ∗)， 又a 2=6，可求得a 1=1． 当n =1时，符合公式．
∴ 数列{a n }的通项公式a n =n(2n −1)． （3）由（2）知，c n =n(2n−1)n+c
．
又{c n }是等差数列， 因此，当且仅当c n =
n(2n−1)n+c =2n −2c −1+
c(2c+1)n+c
是关于n 的一次函数或常值函数，即
c =−1
2
．
于是，c n =2n ，
∴ S n =c 1c +c 2c 2+c 3c 3+...+c n c n =2•(−1
2)+4•(−1
2)2+...+2n•(−1
2)n ， ∴ −1
2
S n =2•(−1
2
)2+4•(−1
2
)3+...+2n•(−12
)n+1，
∴ 两式相减可得32S n =2•(−12)+2•(−12)2+2•(−12)3+...+2•(−12)n −2n•(−1
2)n+1， ∴ S n =−4
9+4
9•(−1
2)n −4n
3
•(−1
2)n+1， ∴
lim
n →∞
S n =−49．。