鸡泽县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

鸡泽县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
2． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
3． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
4． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．
C ．2
D ．6
5． 若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．2
D ．6
6． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
7． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
8． 集合{}{}
2
|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则A
B =（ ）
A ．()1,3
B ．[)1,3
C ．[]1,+∞
D ．[],3e 9． 拋物线
E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80 D ．112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7
B.8
C. 9
D. 10
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.
12．已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t
+（1﹣t ）
，若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）
A ．
B ．
﹣
C ．
﹣1
D ．
13．将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35
D ．
14．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（ ） A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
15．设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
二、填空题
16．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
17．若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为
3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤
当
tanB ﹣
1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
19．函数f （x ）=x ﹣
的值域是 ．
三、解答题
20．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且. （1
）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k P A ·k PB ＝－1
2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
23．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2
133(21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，
21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P
到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.
24．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．
（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．
25．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求p的值及数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=，证明b n≤．
鸡泽县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
2．【答案】A
【解析】
考点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.
3．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2． 故选：C ．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
5． 【答案】A
【解析】解：因为向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥， 所以﹣3=2m ，
解得m=﹣． 故选：A ．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．
6． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，
由z
=2（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2
=2a+2（b ﹣1）i ．
则
，解得．
所以z=1+i ． 故选B ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
7． 【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tan θ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C ． 8． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为{}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥,{}
{}2|9|33B x x B x x =<==-<<,所以
A B ={}|13x x ≤<，故选B.
考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用. 9． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
10．【答案】C. 【
解
析
】
11．【答案】A
【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n =10，i =1；n =5，i =2；n =16，i =3；n =8，i =4；n =4，i =5；n =2，i =6；n =1，i =7，到此循环终止，故选 A. 12．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D 在线段AB 上，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ；
若设AC=BC=a ，则由
得，CE=ta ，CF=（1﹣t ）a ；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A ．
【点评】考查当满足
时，便说明D ，A ，B 三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，
平面向量基本定理，余弦函数的定义．
13．【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 14．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78， ∴3a 2=﹣24，3a 11=78，解得a 2=﹣8，a 11=26， ∴此数列前12项和=
=6×18=108， 故选B ．
【点评】本题考查了等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
15．【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
二、填空题
16．【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【解析】
17．【答案】a≤﹣1．
【解析】解：由x2﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．18．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •（cosA+sinA ）=sinAcosA+
sin 2A=
sin2A+﹣
cos2A=
sin （2A ﹣30°）
≤
，
则sin 2
C ≥sinA •sinB ．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
19．【答案】 （﹣∞，1] ．
【解析】解：设
=t ，则t ≥0， f （t ）=1﹣t 2﹣t ，t ≥0，函数图象的对称轴为t=﹣，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减， ∴f （t ）max =f （0）=1，
∴函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查函数的值域的求法．换元法是求函数的值域的一个重要方法，应熟练记忆．
三、解答题
20．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
． 【解析】
试题分析：（1）由于122a -==⇒()1
4127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭，；（2）由()()2741
44227lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<．设()44lg lg 128a g x x a =+，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 21．【答案】 【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2
b
2＝1， ∴m ＝±b 2
a ，
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a c －a
＝－12，即b 2＝12a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1， 此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 21＋2k 2
＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2x .
22．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2y y a f x x ≤+++等价于|21||23|22
y
y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22
y
y a x x --+≤+．……………………6分
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程12432
2
=+y x 中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k
由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知， 0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，
整理得342
2+=k m …………7分
且211||k k m d +-=，2
21||k
k m d ++=
1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||
2
13k
d d d -= ∴2
2
22121213211|
|4||||)()(k
m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+
||||16
14
3
||42m m m m +
=+-=
…………10分
∵342
2+=k m ∴当0≠k 时，3||>m ∴33
43
13||1||=
+>+
m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d
∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分
综上
1、
2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0， 解得：
a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x ）=0得x=
﹣或x=﹣1， 又∵f （﹣2）=﹣2，f
（﹣）=
﹣，f （﹣1）=0，f
（﹣）=
﹣，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．
25．【答案】
【解析】（1）解：∵数列{a n }满足a 1=3，a n+1=a n +p •3n （n ∈N *
，p 为常数），
∴a 2=3+3p ，a 3=3+12p ，
∵a 1，a 2+6，a 3成等差数列．∴2a 2+12=a 1+a 3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a n+1=a n +p •3n
，
∴a 2﹣a 1=2•3，a 3﹣a 2=2•32，…，a n ﹣a n ﹣1=2•3n ﹣1
，
将这些式子全加起来 得 a n ﹣a 1=3n ﹣3，
∴a n =3n
．
（2）证明：∵{b n }满足b n
=
，∴b n
=．
设f （x ）=，则f ′（x ）=
，x ∈N *
，
令f ′（x ）=0，得x=∈（1，2）
当x ∈（0，
）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＜0，
且f （1）=，f （2）=，
∴f （x ）max =f （2）=，x ∈N *
．
∴b n ≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。