提升套餐练06-【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练(解析版)

提升套餐练06
一、多选题
1．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：
对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人 B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg
D ．他们健身后，原来体重在区间[]110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】AD 【解析】 【分析】
根据直方图计算健身前后体重分别在区间[)90,100、[)100,110、[]110,120的人数以及平均数，进而可得出结论. 【详解】
体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，故A 正确； 他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了
()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=，故C 错误；
因为图（2）中没有体重在区间[]110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题考查直方图的应用，考查频数以及平均数的计算与应用，考查计算能力，属于基础题. 2．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A ．若,(0,)a b ∈+∞，则
2b a a b
+；
B ．若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x y x +⋅
C ．若a ∈R ，0a ≠，则
4
4a a
+； D ．若,x y ∈R ，0xy <，则2x y
y x
+≤-. 【答案】AD 【解析】 【分析】
由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D 正确，选项B ，C 错误. 【详解】
解：对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b a
a b a b
+⨯=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，即
选项A 正确；
对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x +⋅B 错
误；
对于选项C ，当0a <时，
4
4a a
+显然不成立，即选项C 错误； 对于选项D ，0xy <，则0,0y x x y -
>->，则[()()]2()()2x y x y x y
y x y x y x
+=--+-≤--⨯-=-，当且仅当
()()x y
y x
-=-，即x y =-时取等号，即选项D 正确， 即四个推段中正确的为AD ，
故答案为：AD. 【点睛】
本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.
3．已知向量(2
2cos 3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质
的描述正确的是 （ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的周期为π C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】
运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】
解：()2
2cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
， 当6
x k π
π=
+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；
()f x 的周期22
T π
π=
=,选项B 描述准确； 当512x π=
时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
4．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCD
B ．若B
C DE ⊥时，直线EA 与平面ABC
D 所成的角的正弦值为104
C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABC
D 的中心
D ．若平面CD
E ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 【答案】AC 【解析】 【分析】
推导出BC ⊥平面CDE ，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；设CD 的中点为F ，连接EF 、
AF ，证明出EF ⊥平面ABCD ，找出直线EA 与平面ABCD 所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断
B 选项的正误；利用反证法可判断
C 选项的正误；计算出线段BM 和EN 的长度，可判断
D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD
DE D =，所以BC ⊥平面CDE ，
BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；
设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥. 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD
平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .
EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，
223EF CE CF =-=225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=6
sin 4
EF EA θ=
=
，B 项错误；
连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确； 连接FN ，
FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，
F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则1
12
FN BC =
=， 又3EF
=222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+BM EN ≠，D 项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
二、解答题
5．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，3sin b a
B =
. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =3b c -的取值范围. 【答案】（1）6
π
；（2）(4,43. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan A 的值，进而求得角A 的大小.
（2）利用正弦定理求出,b c 的表达式，利用辅助角公式进行化简，然后根据三角函数值域的求法，求得
3b c -的取值范围.
【详解】 （1）由
3sin cos b a B A =及正弦定理得：sin 3sin cos B A
B A
=
， ∴3
tan A =
， 又∵0,2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴6
A π
=
.
（2）28sin a R
A
，
)
531323sin 83sin 8cos 62b c R
B C B B B B π⎫⎡⎤
⎛⎫-=-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎦⎝⎭
8sin 6B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
又∵ABC 为锐角三角形， ∴,32B ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，即,663B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
(34,43b c -∈. 【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查辅助角公式以及三角函数值域的求法，属于中档题. 6．已知数列{}n a 满足132
a =
，且()1112,22n n n a a n n *
--=+≥∈N .
（1）求证：数列{}
2n
n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析，21
2n n n a +=；（2）2552n
n
n S +=-. 【解析】 【分析】
（1）将等式111
22
n n n a a --=
+变形为11222n n n n a a --=+，进而可证明出{}2n n a 是等差数列，确定数列{}2n
n
a 的首项和公差，可求得2n
n
a
的表达式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n S .
【详解】 （1）因为()
111
2,22
n n n a a n n *--=
+≥∈N ，所以11222n n n n a a --=+，即11222n n n n a a ---=， 所以数列{}
2n
n a 是等差数列，且公差2d =，其首项123a =
所以23(1)221n
n a n n =+-⨯=+，解得21
2n n
n a +=； （2）2313572121
22222
n n n n n S --+=
+++⋅⋅⋅++，① 42313572121
222222
n n n S n n +-+=+++⋅⋅⋅++，② ①-②，得23111112131112132142212222222212
n n n n n S n n -++⎛⎫
⨯⨯- ⎪
++⎛⎫⎝⎭=+⨯++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-1
52522n n ++=-， 所以25
52n n
n S +=-. 【点睛】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，
AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2SA AB BC ===，1AD =.
（1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ；
（2）当2SM MB =时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求当sin θ取最大值时点N 的位置. 【答案】（1）见解析；（26（3）即点N 在线段CD 上且115
ND =
【解析】 【分析】
（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；
（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN ，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN 与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】
（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．
在
中，ME 为中位线，∴//ME BC 且1
2
ME BC =
， ∵//AD BC 且1
2
AD BC =
，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．
∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．
（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，
由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点． 于是2142(0,,)3333AM AB AC =
+=，即42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00
AM n AC n ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--． 另外易知平面SAB 的一个法向量为m ()1,0,0=， 所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m n m n
⋅66
=
． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<． 由于42M 0,
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN 102x,2x ,33⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭．
所以
2
21sin 40104104140155
3993MN m x MN m
x x x x
θ⋅==
=-+⋅-⋅+， 可知当40
1153208x 269
-
=-
=，即26x 15=时分母有最小值，此时
有最大值，
此时，2622N ,,01515⎛⎫
⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND =． 【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．
8．某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[
)60,80的为二等品.现
分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：
()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中
随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；
()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种
零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）5
6
；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值； （2）由题意知随机变量X ～B （3，45
），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
()1由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，
这100件样本零件中有一等品：()0.040.030.01510040(++⨯⨯=件)， 二等品：1004060(-=件)，
所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，
则()36
310C 5P A 1C 6
=-=；
()2由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，
这100件样本零件中，一等品的频率为()0.040.060.040.0250.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2；
将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，
则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4X B 3,5⎛
⎫
⎪⎝⎭
～， 所以()0
303141
P X 0C ()()55125==⋅⋅=
，
()1213
1412
P X 1C ()()55125==⋅⋅=， ()2
1231448P X 2C ()()55125==⋅⋅=，
()30331464
P X 3C ()()55125
==⋅⋅=
；
X ∴的分布列为：
X 0
1
2
3
P
1125 12125 48125 64125
所以数学期望为()E X 3.55
=⨯= 【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.
9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为6
3
，焦距为2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个
不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；
（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、
D 和点71,44Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
共线，求k .
【答案】（Ⅰ）2
213
x y +=；
（Ⅱ6；（Ⅲ）1. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22
,a b 的值，代入可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；
（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】
（Ⅰ）由题意得222c =，所以2c =
又6
3
c e a =
=
，所以3a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=；
（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，
由22
13
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()
222
36443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，21233
4
m x x -=，
则()
2
2
2
212121264114m AB k x k x x x x ⨯-+-++-， 易得当20m =时，max ||6AB =AB 6； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
则221133x y += ①，222
233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122
213
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
11213k x x k =-
-+， 又1112y k x =
+，代入①式可得131712
47
x x x --=+，所以13147y y x =+，
所以11117124747x y C x x ⎛⎫--
⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y
D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
,． 故
3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛
⎫- ⎪
⎭=+⎝
， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
将点,C D 的坐标代入化简可得12
12
1y y x x -=-，即1k =． 【点睛】
本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x =+-变形为
221212||1()4AB k x x x x =++-关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.
10．（本小题满分12分）设函数()()2
2ln 11
x f x x x =+++.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x 在(1-22-+，上单调递减，在()
-22,+∞单调递增；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明
见解析．
【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数()f x 求导，再对x 的取值范围进行讨论，即可得()f x 的单调性；（Ⅱ）
设()()2
2ln 11
x g x x ax x =++
-+，先对函数()g x 求导，再对a 的取值范围进行讨论函数()g x 的单调性，进而可得a 的最小值；（Ⅲ）先由已知条件求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和，再把1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-转化为()()11
1ln 112123
n n n n ++
<+++++，由（Ⅱ）可得()()
2
ln 121x x x x ++<+， 0x >，令1x n =，可得()1111
ln 1ln 21n n n n n
⎛⎫+-+
-< ⎪+⎝⎭，进而可证()()111
ln 112123n n n n
++<++++
+，即可证1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-．
试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()1-+∞，， ()()
22
42
1x x f x x ++=
+'1分
当122x -<<-+ ()0f x '<，当22x >-+ ()0f x '>2分
所以函数()f x 在(1
-22-+，上单调递减，在()
-22,++∞单调递增. 3分 （Ⅱ）设()()2
2ln 11x g x x ax x =++
-+，则 ()()
()()()
2
2
22
2
1211
42
112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫
=
-=
-=--+- ⎪+⎝⎭
++'
因为x ≥0，故211101x ⎛⎫
-<--≤ ⎪+⎝⎭
5分
（ⅰ）当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[
)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ；
（ⅱ）当12a <<时， 021a <-<，若220,
a a
x ⎛-+-∈ ⎝
⎭
，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而
()00g =，所以当220,a a
x ⎛-+-∈ ⎝⎭
时， ()0g x >，即()f x ax >； （ⅲ）当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[
)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >； 综上， a 的最小值为2. 8分
（Ⅲ）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以
1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1
1
1a =为首项，1为公差的等差数列， 故
1n n a =， 1n a n =， 111
n a n +=+9分 1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
- ⇔ ()()111
ln 112123n n n n
++
<++++
+
由（Ⅱ）知2a =时， ()2
2ln 121
x x x x ++
≤+， 0x >， 即()()
2
ln 121x x x x ++<+， 0x >. 10分
法一：令1
x n
=
，得()111ln 21n n n n n ++<+， 即()1111ln 1ln 21n n n n n
⎛⎫+-+
-< ⎪+⎝⎭ 因为
()()()1111ln 1ln ln 12121n
k n
k k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣
⎦∑11分 所以()()11
1
ln 112123
n n n n
++
<+++
++12分 故1
1ln 2n n n n
a S a a ++>-12分 法二：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
- ⇔ ()()
1111ln 12321n
n n n +++
+
>+++ 下面用数学归纳法证明．
（1）当1n =时，令1x =代入()()
2
ln 121x x x x ++<+，即得11ln24>+，不等式成立
（2）假设()
*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即()()
11
11ln 123
21k k k k +
+++
>+++ 则1n k =+时， ()()11
1111ln 123
1211
k k k k k k +
+++
+>++++++ 令11x k =+代入()()
2
ln 121x x x x ++<+，得
()()121ln 11212k k k k k +>+++++ ()()()()()()
121
ln 1ln 1ln 211211212k k k k k k k k k k k +++
+>++++++++++
()()()()()()
211
ln 2ln 221222k k k k k k k k +++=++
=++
+++
即()()
111121ln 223
122k k k k +
+++
+>++++ 由（1）（2）可知不等式()()
11
11ln 123
21n n n n +
+++
>+++对任何n *N ∈都成立. 故1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-12分 考点：1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．
视频。