5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(教学课件)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性)

当 = −1时，sin − 2π = sin.
知识梳理
知识点一：
1.函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T，使得
对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周
期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个
方法二（公式法）

1
= 中 = , 所以
2
2
2
=
= 4
1
2
学以致用
反思感悟
求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常
2π
数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|ω|. （常用方法）
2 ；
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
π
x≠kπ＋ ，k∈Z
解 (1)定义域为 x
2
|
，关于原点对称．因为
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
学以致用
3x 3π
＋
3x
(2)f(x)＝sin 4
针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？
它们的周期分别是多少？
具有周期性
分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。
新知引入
那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？
= sin
当横坐标每隔 2kπ(k ∈ Z) 个单位长度，都会出现纵坐标相同的点。
所以正弦函数也具有周期性的规律，且周期是2kπ(k ∈ Z)。
求f
17π
- 6
的值.
(2)若奇函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x),且 f(3)=0,求 f(2 019)的值.
小试牛刀
答案
1. D
2.
1
（1）
2
（2）2
3. （1）偶函数
4. （1）
3
6
（2）偶函数
（2）0
课堂小结
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的
2 ＝－cos ，x∈R.
4
又 f(－x)＝－cos
3x
3x
4 ＝－cos ＝f(x)，
4
－
3x 3π
＋
所以函数 f(x)＝sin 4
2 是偶函数．
(3)由 1＋sin x≠0 解得 x≠2kπ＋
3π
，k∈Z，
2
1＋sin x－cos2x
所以函数 f(x)＝
的定义域为
1＋sin x
|
x∈R
x≠2kπ＋
某些性质推出使 f(x＋T)＝f(x)成立的 T.
(2)图象法，即作出 y＝f(x)的图象，观察图象可求出 T，如 y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常数，A≠0，
2π
ω>0，x∈R)的周期 T＝ ω .
2 ．判 断 函 数 的 奇偶性 ， 必须坚持 “ 定义域优先 ” 的原则 ，准确求函数定义域
2π 2π
ω＝2，T＝ ω ＝ 2 ＝π.
学以致用
(2)y＝|sin x|.
x
(3) y＝cos ，x∈R；
2
பைடு நூலகம்
解(2)图像法 作图如下：
观察图象可知周期为π.
解(3) 方法一（定义法）
x
+2π
1
x
因为 cos (x＋4π)＝cos 2
＝cos ，
2
2
x
由周期函数的定义知，y＝cos 2的周期为 4π.
)
小试牛刀
2. 求下列函数的最小正周期:
(1)y=sin -4π +
π
6
(2)y=cos|x|.
;
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
π
π
3
2
2
3
4. (1)若函数 f(x)是以 为周期的偶函数,且当 x∈ 0, 时,f(x)= sin x,
π
π π
－ π＝f －3π＋ ＝f －6× ＋ ＝f ＝ .
6
6
2 6



6 2
学以致用
反思感悟
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可
以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x
的函数值的关系,从而可解决求值问题.
探究新知
思考：如何用代数方法解释以上猜想？
正弦函数的图象满足：
当自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应
的函数值相等。
诱导公式：sin + 2π = sin ∈ .
探究新知
诱导公式：sin + 2π = sin ∈ .
当 = 1时，sin + 2π = sin.
π
5
0，
(
)等于
且当 x∈
时，f(x)＝sin
x，则
2
3
1
A.－
2
解析 f
1
B.
2
3
C.－
2
5π
5π

2π
2π

＝f －π＝f ＝f －π
3
3

3
3

＝f
√
3
D.
2
π
π
－ ＝f ＝sin
3
3
π
3
3＝ 2 .
学以致用
1.若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f
为y＝sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现
的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，
任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
知识梳理
(3)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:
2.推得函数周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;
(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;
(3)若 f(x+t)=
(4)若 f(x+t)=-
1
,则函数周期为 2t;
()
1
,则函数周期为 2t.
()
小试牛刀
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(
3π
，k∈Z
2
，显然定义域不关于原点对称．
1＋sin x－cos2x
故函数 f(x)＝
是非奇非偶函数．
1＋sin x
学以致用
反思感悟
判断函数奇偶性的方法技巧
判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．如果是，
再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不
是，那么该函数必为非奇非偶函数．
解
f
5
π
π
π＝f － ＝－f ＝－sin
3
3
3
5π
的值.
3
π
3
3＝－ 2 .
17
π
2.若本例中函数的最小正周期变为2，其他条件不变，求 f － 6 π的值.


解
π
因为 f(x)的最小正周期是2，
所以 f
17


π 1
π
(1)y＝sin2x＋4；


解(1) 方法一
(2)y＝|sin x|;
x
(3) y＝cos ，x∈R；
2
(定义法)




π
π
π
y＝sin2x＋4＝sin2x＋4＋2π＝sin2x＋π＋4， 所以周期为π.






方法二 (公式法)

π
y＝sin2x＋4中


(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求
解．
y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝


.
学以致用 题型二：三角函数的奇偶性及其应用
例 2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin x＋tan x；
3 3π
x＋
(2)f(x)＝sin 4
2
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .
2
(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= .
思考：周期函数的周期唯一吗？
不唯一
若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.
知识梳理
知识点二：
正弦、余弦函数的奇偶性：
正弦函数是
奇函数
，余弦函数是
偶函数
.
判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？
若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，
若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
学以致用 题型一：三角函数的周期问题及简单应用
例1. 求下列函数的周期.

最小正数叫做f(x)的最小正周期.
知识梳理
2.正弦、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函
数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期.最小正周期为2π.
知识梳理
说明：
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小
正数，这个正数是对 x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因
和将式子合理变形是解决此类问题的关键 ．如果定义域关于原点对称 ，再看 f(－x)
与f(x)的关系，从而判断奇偶性(体现了数学运算和逻辑推理的核心素养 )．
本 课 结 束
2
(k∈Z);

(3)要使y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z);
2
(4)要使y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
学以致用 题型三：函数的周期性、奇偶性的综合问题
例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为π，
第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 周期性与奇偶性
学习目标
1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象)
2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算)
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(逻辑推理)
思维导图
设置情景
观察钟表,我们发现钟表上的时针每经过12小时运行一周,分
学以致用
反思感悟
判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能
否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
常用结论：
(1)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);

(2)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+