多边形及其内角和(课件)八年级数学上册(人教版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么 关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内 角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有 什么关系？ 联系这些问题，考虑外角和的求法.
六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形 的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角 和，即外角和等于
4×180 º－360º=360 º
四边形的内角和是360º
3×180 º－180º=360 º
E
P
多边形的边数
图 形
从一个顶点引出的对角线条数
分割出的三角形的个数
多边形的内角和
3
4
5
6
……
……
……
……
……
n
Hale Waihona Puke (n－2)×180º4× 180º
2× 180º
3× 180º
1× 180º
解：
解：
设这个多边形的边数为n，由题意知(n－2)×180°＝ ×360°，解得n＝3. 所以它是三角形．
(中考·广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )A．5 B．6 C．7 D．8
第十一章
11.3 多边形及其内角和（11.3.1-11.3.2）
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
情景引入
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼——五角大楼
观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
2
C
问题1 我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
多边形的外角和
由 ∠1＋∠BAE＝180°，∠2 ＋ ∠CBF＝180°， ∠3 ＋ ∠ACD＝180°， 得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD ＝540°． 由 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD ＝540°－180° ＝360°．
多边形的对角线
请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
n边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n-3
1
2
3
4
6
n-2
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.
归纳总结
解析：从n边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形，即可得n-2=10，解得：n=12．故选C．
若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________．
设这个多边形的边数为n，由题意知，(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
例2
导引：
9
典例精析
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数；(2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据 多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解 方程求出n，即得多边形的边数．
图 11.3-12
已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．
多边形的内角和与外角和的联系
(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是 六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角 和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个 内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但 外角和不变．
2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
C
典例精析
如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一共转过了多少度呢？
问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外 角和吗？
由 ∠BAD +∠1 =180°， ∠ABC +∠2 =180°， ∠BCD +∠3 =180°， ∠ADC +∠4 =180°，得∠BAD + ∠1 + ∠ABC +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4．由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 －180°×2 =360°．
例4
导引：
解：
典例精析
(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可 利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式： 各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再 说明它们等于360°，即可求出；(2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问 题也可以转化为外角问题来解决.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
内角：多边形相邻两边组成的角
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
一个多边形的内角和是360°，这个多边形是( ) A．三角形 B．四边形C．六边形 D．不能确定
1
B
练一练
一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形
2
解：
设这个正多边形的每个外角的度数是x，则与它相邻的内角的度数是3x＋20°.易得x＋(3x＋20°)＝180°，解得x＝40°.所以这个正多边形的边数是360°÷40°＝9.
B
练一练
一个多边形的内角和是外角和的一半，它 是几边形？
3
(2) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
设这个多边形的边数为n，由题意知(n－2)×180°＝2×360°，解得n＝6. 所以它是六边形．
0°
典例精析
由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决．
一个正多边形的一个内角比它的外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．
1
(中考·宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )A．3 B．4 C．5 D．6
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
11.3.1多边形
多边形的定义及相关概念
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是_________ 边形，它的内角和是________度，外角和是_________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________， 外角和增加__________．
例5
解析：
六
720
360
180°
1.下列命题正确的是（ ）A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
D
典例精析
A
B
C
D
E
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能得到什么结论？
（1）
（2）
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.
解析：根据正多边形的概念得：A、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；B、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；C、既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形，错误，如菱形；D、符合正多边形的定义，正确．故选D．
6×180°－ (6 － 2) × 180°=2×180 ° =360 °.
分析：
解：
思考： 如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数），可以 得到同样结果吗？
归 纳
由上面的思考可以得到：多边形的外角和等于360°.
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等于360°. 如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后 转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各 个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等 于 360°.
问题3 五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试．
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°(解答过程略)．
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
例3
典例精析
考虑以下问题：
11.3.2多边形的内角和
思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？
A
B
C
D
2×180 º=360 º
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边 形内角和公式吗？
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360°∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180°这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例1
解：
典例精析
一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
1
已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．
2
解：
设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六边形．
解：
设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15.
六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形 的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角 和，即外角和等于
4×180 º－360º=360 º
四边形的内角和是360º
3×180 º－180º=360 º
E
P
多边形的边数
图 形
从一个顶点引出的对角线条数
分割出的三角形的个数
多边形的内角和
3
4
5
6
……
……
……
……
……
n
Hale Waihona Puke (n－2)×180º4× 180º
2× 180º
3× 180º
1× 180º
解：
解：
设这个多边形的边数为n，由题意知(n－2)×180°＝ ×360°，解得n＝3. 所以它是三角形．
(中考·广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )A．5 B．6 C．7 D．8
第十一章
11.3 多边形及其内角和（11.3.1-11.3.2）
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
情景引入
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼——五角大楼
观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
2
C
问题1 我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
多边形的外角和
由 ∠1＋∠BAE＝180°，∠2 ＋ ∠CBF＝180°， ∠3 ＋ ∠ACD＝180°， 得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD ＝540°． 由 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD ＝540°－180° ＝360°．
多边形的对角线
请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
n边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n-3
1
2
3
4
6
n-2
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.
归纳总结
解析：从n边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形，即可得n-2=10，解得：n=12．故选C．
若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________．
设这个多边形的边数为n，由题意知，(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
例2
导引：
9
典例精析
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数；(2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据 多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解 方程求出n，即得多边形的边数．
图 11.3-12
已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．
多边形的内角和与外角和的联系
(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是 六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角 和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个 内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但 外角和不变．
2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
C
典例精析
如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一共转过了多少度呢？
问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外 角和吗？
由 ∠BAD +∠1 =180°， ∠ABC +∠2 =180°， ∠BCD +∠3 =180°， ∠ADC +∠4 =180°，得∠BAD + ∠1 + ∠ABC +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4．由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 －180°×2 =360°．
例4
导引：
解：
典例精析
(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可 利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式： 各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再 说明它们等于360°，即可求出；(2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问 题也可以转化为外角问题来解决.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
内角：多边形相邻两边组成的角
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
一个多边形的内角和是360°，这个多边形是( ) A．三角形 B．四边形C．六边形 D．不能确定
1
B
练一练
一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形
2
解：
设这个正多边形的每个外角的度数是x，则与它相邻的内角的度数是3x＋20°.易得x＋(3x＋20°)＝180°，解得x＝40°.所以这个正多边形的边数是360°÷40°＝9.
B
练一练
一个多边形的内角和是外角和的一半，它 是几边形？
3
(2) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
设这个多边形的边数为n，由题意知(n－2)×180°＝2×360°，解得n＝6. 所以它是六边形．
0°
典例精析
由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决．
一个正多边形的一个内角比它的外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．
1
(中考·宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )A．3 B．4 C．5 D．6
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
11.3.1多边形
多边形的定义及相关概念
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是_________ 边形，它的内角和是________度，外角和是_________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________， 外角和增加__________．
例5
解析：
六
720
360
180°
1.下列命题正确的是（ ）A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
D
典例精析
A
B
C
D
E
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能得到什么结论？
（1）
（2）
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.
解析：根据正多边形的概念得：A、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；B、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；C、既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形，错误，如菱形；D、符合正多边形的定义，正确．故选D．
6×180°－ (6 － 2) × 180°=2×180 ° =360 °.
分析：
解：
思考： 如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数），可以 得到同样结果吗？
归 纳
由上面的思考可以得到：多边形的外角和等于360°.
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等于360°. 如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后 转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各 个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等 于 360°.
问题3 五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试．
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°(解答过程略)．
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
例3
典例精析
考虑以下问题：
11.3.2多边形的内角和
思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？
A
B
C
D
2×180 º=360 º
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边 形内角和公式吗？
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360°∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180°这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例1
解：
典例精析
一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
1
已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．
2
解：
设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六边形．
解：
设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15.